从而A有有限子覆盖{A1,?,An}，因此Y是X的一个紧致子集. ………………8分

29、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集.证明：A也是X的一个紧致子集.

证明：设A是任意一个由X中的开集构成的A的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员A1,?,An使得?Ai?A. …………………………………4分

i?1n由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得UA有有限子覆盖{A1,?,??Ai,从而有?Ai?A,从而

i?1i?1nnAn}，因此A是X的一个紧致子集. ………………………………8分

A?A30、设X是一个Hausdorff空间，A 是它的一个非空集族，由X的紧致子集构成，证明：的一个紧致子集.

证明：对于任意A?A，易知A是一个闭集，从而集. ………………………………………………………4分 取A0?A，则有

A?AA?AA是XA是X的一个闭

由于A0是紧致的，从而是A0的一个紧致子集，易知A?A0，

A?AA也是X的一个紧致子集. ………8分

31、设f:X?Y是连续的一一对应，其中X是紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，证明f:X?Y是一个同胚映射.

证明：要证明f:X?Y是一个同胚映射， 只需证明f?1:Y?X连续，进而只需证明f是闭映射.

设A是X的闭集，由X是紧致空间，从而A是X的一个紧致子集，故f(A)是Y的一个紧致子集，……4分

由于Y是一个Hausdorff空间，因此f(A)是Y的一个闭集，从而f是闭映射. …………………………………………………………8分

32、Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的紧致子集，证明A是X的紧致子集.

证明：对于A的由X的开集构成的任一开覆盖A ，即A?B?AB,这样，就有A =A?Y ?B?A(B?Y),

若令A?{B?Y|B?A} , A就是由Y的开集构成的A的一个开覆盖，……………………………3分 由于

~A是Y的紧致子集，必有有限的子覆盖B1?Y,B2?Y,......Bn?Y,即

iA?i?1,2,...n?(B?Y)=(i?1,2,...,n?B)?Y,从而A??B,于是{B,B,...,Bii12n}就是A的由X的开集构成的开

i?1,2,...,n覆盖，且是A的一个子覆盖，故A为X的紧致子集. ………………………………………………………8分

21

33、Y是拓扑空间X的子空间，若A是X的紧致子集，证明A是Y的紧致子集.

证明：对A的任意由Y的开集构成的开覆盖B，即A?存在X的开集AB，使得B?AB?Y，

于是{AB|B?B,B?AB?Y}就是A的由X的开集构成的开覆盖，…3分 从而必有有限的子覆盖{AB1,AB2,......ABm}，即 A?Bij?1,2,...,mB?B?B,由于Y是X的子空间，对每一个B?B,必

?A，当然有

A?A?Y?(Bjj?1,2,...,m?A)?Y=

j?1,2,...,m?(ABj?Y)?j?1,2,...,m?Bj，

即 { B1,B2,...,Bm}为A的由Y的开集构成的有限开覆盖，

且为B的子覆盖。故A为Y的紧致子集. ………………………8分 34、设X是一个Hausdorff空间.如果A是X的一个不包含点x?X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U,V使得U?V??.

证明：设A是X的一个紧致子集，x?A?.对于每一个y?A,由于X是一个Hausdorff空间，故存在

x的一个开邻域

Uy和

y的一个开邻域

Vy使得

Uy?Vy??. ………………………………………………4分

集族{ Vy|y?A }显然是由X中的开集构成的A的一个覆盖，它有一个有限子覆盖，设为

nn{ Vy1,Vy2,,Vyn}，令U?i?1Uyi和V?i?1Vy,它们分别是点x和A的开邻域，且易知

iU?V??. ……………8分

35、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.

证明：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，设对于任意x?A，有x和A的开邻域U和V使

得U?V??， …………………4分

从而U?(A?{x}??)，故x?d(A)，所以d(A)?A，即

A是一个闭

集．………………………………………………………………8分 36、证明每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间．

证明：设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中不属于集合A的任意一点，由于紧致空间中的闭子集是紧致的，所以A是X的一个紧致子集，…………………………………………4分

从而点x和A分别有开邻域U和V使得U?V??，这说明X是一个正则空间．………………………………………………………8分

37、设X是一个Hausdorff空间．如果A,B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使

22

得U?V??．

证明：设A,B是X的两个无交的紧致子集，对于?x?A，点x和B分别有开邻域Ux,Vx使得

Ux?Vx??，……………………………4分

显然集族{ Ux|x?A }是紧致子集A的一个覆盖，它由X中的开集构成，由A是一个紧致子集，所

nn以它有一个有限子覆盖，设为{Ux,,Ux}，令U?Ux,V?Vx，易知U?V??． ……8

分

1ni?1ii?1i23

得分 阅卷人 一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，

共18分)

1、已知X?{a,b,c,d,e},下列集族中， 是X上的拓扑.…… （ ）

① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T?{X,?,{a},{a,b}}

④ T?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}}

2、已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}是 ……………… （ ①φ ② X ③ {a} ④ {b} 3、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},则Y的商拓扑是 （ ① {?,Y,{[3]},{[2],[3]}} ② {?,Y,{[3]}} ③ {?,Y,{[3]},{[1],[2]}} ④ {?,Y}

4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是 ……………………… （ ①连通性 ② T2 ③ 正则 ④正规

5、设X?{1,2}，T?{X,?,{2}}，则(X,T)是 ………………（ ）① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ T3

6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是 …………………… （ ）① 连通性 ② 紧致性 ③ 正则性 ④ 可分性

1、③ 2、② 3、① 4、②③ 5、① 6、①②③④ 得分 阅卷人 二、简答题（每题4分，共32分）

）

）

24

）