有x?{x}?,y?{y}?.从而X是一个T1空间.
*17、设(X,T)是一个T1空间，?是任何一个不属于X的元素.令X?X?{?}和T?T?{X}，试
**说明拓扑空间(X,T)是一个T0空间. 答案：对任意x,y?X,x?y,若x,y都不是?，则从而x,y各有一个开邻域U,V,使得x?V,y?U;若x,y中有一x,y?X.由于X 是一个T1空间，
个是?，不妨设x??,则y有开邻域X不包含?.由以上的讨论知，对X*中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X是T0空间.
18、若X是一个正则空间，试说明：对?x?X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得
***V?U. 答案: 对?x?X,设U是x的任何一个开邻域，则U的补集U?是一个不包含点x的
一个闭集.由于X是一个正则空间，于是x和U?分别有开邻域V和W,使得V?W??，因此
V?W?，所以V?W???W??U.
19、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个
开邻域V,使得V?U. 答案：设A是X的任何一个闭集，若A是空集，则结论显然成立.下设A不是空集，则对A的任何一个开邻域U，则U的补集U?是一个不包含点A的一个闭集. 由于
X是一个正规空间，于是A和U?分别有开邻域V和W,使得V?W??，因此V?W?，所以
V?W???W??U.
20、试说明T1空间X的任何一个子集的导集都是闭集.
答案：设A是X的任何一个子集，若A是空集，则d(A)??，从而A的导集是闭集.下设A不是空集，则对?x?(d(A))?,则x有开邻域U,使得(U?{x})?A??，由于X是T1空间，从而U?{x}是开集，故
U?{x}?(d(A))?,于是U?(d(A))?,所以(d(A))?是它每一点的邻域，故(d(A))?是开集，因此
d(A)是闭集.
21、试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.
答案：如果X的无穷子集的A没有凝聚点，则对于任意x?X，有开邻域Ux，使得
(Ux?A)?{x}??，于是X的开覆盖{Ux|x?X}没有有限子覆盖，从而X不是紧致空间，矛盾.
故紧致空间X的无穷子集必有凝聚点. 22、如果X?Y是紧致空间，则X是紧致空间.
答案：考虑投射P由于P从而由X?Y紧致知X是1:X?Y?X，1:X?Y?X是一个连续的满射，一个紧致空间.
23、如果X?Y是紧致空间，则Y是紧致空间.
答案：考虑投射P2:X?Y?Y，由于P2:X?Y?Y是一个连续的满射，从而由X?Y紧致知Y是一个紧致空间.
24、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集.
答案：如果A 是Y的任意一个由X中的开集构成的覆盖，则B=A?{Y?}是X的一个开覆盖.设B 1是B的一个有限子族并且覆盖X.则B 1?{Y?}便是A 的一个有限子族并且覆盖Y，从而Y是紧致子集.
六、证明题（每题8分）
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1、设f:X?Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集.
证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得
f(X)?A?B …………………………………………… 3分
于是f?1(A),f?1(B)是X的非空子集，并且：
(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A))?(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A)) ?f?1((A?B)?(A?B))??所
以
f?1(A),f?1(B)是
X的非空隔离子集 此外，
f?1(A)?f?1(B)?f?1(A?B)?f?1(f(X))?X，这说明X不连通，矛盾.从而f(X)是Y的一个
连通子集. ………………………… 8分
2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y则或者Y?A,或者Y?B.
证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分
由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
?A?B,
A?Y??,则Y?B………………… 8分
3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y则或者Y?A,或者Y?B.
证明：因为A,B是X的闭集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的闭集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分
由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
?A?B,
A?Y??,则Y?B………………… 8分
4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个连通子集.
证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z?A?B.因此
Y?A?B ………………………………… 3分
由于Y是连通的，所以Y?A或者Y?B,如果Y?A，由于Z?Y?A，所以Z?B?A?B??，因此 B?Z?B??,同理可证如果Y?B，则A??,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分
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5、设{Y?}???是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果通子集. 证明：若
Y??????,则
Y????是X的一个连
Y????是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A,B使得
Y?????A?B………………………………………… 4分
Y????,不失一般性，设x?A,对于每一个???，由于Y?连通，从而
任意选取x?Y?????A及
B??,矛盾，
所以
Y????是连通的. ………………………………………… 8分
6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A?B??,则A?B.
证明：若B?X,则结论显然成立.
下设B?X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而A?B是X的子空间A的一个既开又闭的子集………………………………… 4分
由于A?B??及A连通，所以A?B?A，故A?B.………… 8分 7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界?(A)??.
??证明：若?(A)??,由于?(A)?A?A?,从而
??A??A???(A??A??)?(A?A?)?(A??A?)?(A?A??),
故A ,A?是X的隔离子集 ………………………………………… 4分
因为A是X的非空真子集,所以A和A?均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以
?(A)??. ……………………………………………… 8分
8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.
证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，设为V ,因为X是可数补空间，x
因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}.
于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道：
?X?{x}? 因为Xy?X?{x}? {y}?? Vyy?X?{y}?
?{x}是一个不可数集，而
y?X?{x}? Vu?是一个可数集，矛盾.
从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分
9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.
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证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，设为V ,因为X是有限补空间，x 因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}.
于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道：
?X?{x}? 因为Xy?X?{x}? {y}?y?X?{y}? Vy?
?{x}是一个不可数集，而
y?X?{x}? Vu?是一个可数集，矛盾.
从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分
10、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第二可数性公理，证明：Y也
满足第二可数性公理.
证明：设X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基.由于f:X?Y是一个开映射，
B ?{f(B)|B?B}是由
Y中开集构成的一个可数
族. …………………………………………………………3分 下面证明B是Y的一个基.设U是Y的任意开集，则f使得f?1?1(U)是X中的一个开集.因此存在B 1?B,
(U)?B?B 1B.由于f是一个满射，所以有U?f(f?1(U))?B?B 1f(B),从而U是B中
某些元素的并，故B是Y的一个基.这说明Y也满足第二可数性公理. ……8分
11、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第一可数性公理，证明：Y也
满足第一可数性公理.
证明：对?y?Y,由于f:X?Y是一个满射，所以存在x?X,使得f(x)?y,由于X满足第一可数性公理，故在点x处存在一个可数邻域基，设为V x,又由于f:X?Y是一个开映射，则是Y中点y的一个可数邻域族. …………3分 V y ?{f(V)|V?Vx }下面证明V y是Y中点y的一个邻域基.设U是Y中点y的任意邻域，则f域.因此存在V?V x,使得V?f?1?1(U)是X中点x的一个邻
(U).因此f(V)?U,从而V y是Y中点y的一个邻域基.这说明
Y也满足第一可数性公理. ……………………………………………………8分 12、A是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点.
证明：若A没有凝聚点，则对任x?A,一定存在x的一个邻域Ux，
使得：Ux?A?{x},由于X满足第二可数性公理，设B是它的可数基，故一定存在一个Bx?B,
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