A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足A?B??,A?B?X.

8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( )案：√

理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B?A?，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A?B?X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空. 9、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（ ）答案：√

理由:设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基，对于每一个x?X,易知

B x?{B?B|x?B}是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族，从而X在点x处有

可数邻域基，故X满 足第一可数性公理.

10、若拓扑空间X满足第二可数性公理，则X的子空间Y也满足第二可数性公理（ ）答案：√

理由：由于X满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B，因为Y是X的子空间，则

B| Y?{B?Y|B?B}是Y的一个可数基，从而X的 子空间Y也满足第二可数性公理.

11、若拓扑空间X满足第一可数性公理，则X的子空间Y也满足第一可数性公理（ ）答案：√

理由：由于X满足第一可数性公理，所以对?x?Y,X在点x处有一个可数邻域基V x，因为Y是X的子空间，则V |x Y?{V?Y|V?V x}是Y在点x的一个可数邻域基，从而X的子空间Y也满足第一可数性公理.

12、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{2},{3},{2,3}}，则(X,T)是T3空间.( )答案：×

理由：因为{1,3}是X的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是T3空间. 注：也可以说明X不是T1空间．

13、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是T3空间.( )答案：×

理由：因为{2,3}是X的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是T3空间.注：也可以说明X不是T1空间．

14、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是T1空间.( )答案：×

理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是T1 空间． 注：也可以考虑点２和点３.

15、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是T4空间.( )答案：×

理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是T1 空间．故(X,T)是T4空间. 注：也可以考虑点２和点３.

16、T3空间一定是T2空间.（ ）答案：√

理由：因为T3空间是正则的T1空间，所以对于T3空间X中的任意不同的两点x,y?X，{y}是X中的闭集，由于X是正则空间，从而对于x,{y}它们有各自的开邻域U,V使得U?V??，所以X是

T2空间.

17、T4空间一定是T3空间.（ ）答案：√

理由：因为T4空间是正规的T1空间，所以对于T4空间X中的任意点x和不包含x的闭集A，由于{x}也是一个闭集及X是正规空间，故存在{x},A的开邻域U,V使得U?V??，这说明X是正则空间，因此X是T3空间.

18、设A,B是拓扑空间X的两个紧致子集，则A?B是一个紧致子集.( )答案：√

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理由：设A 是一个由X中的开集构成的A?B的覆盖，由于A和B都是X的紧致子集，从而存在A

的有限子族 A 1 A 故A1 ?A2是A 的有限子族且覆盖A?B，所以A?B是2 分别是A和B的覆盖，紧致子集.

19、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：√

理由：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，则对于任何x?X，若x?A，则易知x不是A的

凝聚点，因此A?A，从而A是一个闭集. 三．名词解释(每题2分)

1．同胚映射 答案：设X和Y是两个拓扑空间.如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和

f?1:Y?X 都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚.

2、集合A的内点 答案：设X是一个拓扑空间，A?X.如果A是点x?X的一个邻域，则称点x是集合A的一个内点.

3、集合A的内部 答案：设X是一个拓扑空间，A?X.则集合A的所有内点构成的集合称为集合

A的内部.

4．拓扑空间(X,T)的基 答案：设(X,T)是一个拓扑空间，B是T的一个子族.如果T中的每一个元素是B中的某些元素的并，则称B是拓扑T的一个基.

5．闭包 答案：设X是一个拓扑空间，A?X.集合A与集合A的导集d(A)的并A?d(A)称为集合A的闭包.

6、序列 答案：设X是一个拓扑空间，每一个映射S:Z??X叫做X中的一个序列. 7、导集 答案：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.

8、不连通空间 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称X是一个不连通空间.

9、连通子集 答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是

X的一个连通子集.

10、不连通子集 答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间，则称Y是X的一个不连通子集.

11、A 1空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为A 1空间.

12、A 2空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A 2空间.

13、可分空间 答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间.

14、T0空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T0空间.

15、T1空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T1空间.

16、T2空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是T2空间.

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17、正则空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间.

18、正规空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.

19、完全正则空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果对于?x?X和X中任何一个不包含点x的闭集B存在一个连续映射f:X?[0,1]使得f(x)?0以及对于任何y?B有f(y)?1，则称拓扑空间X是一个完全正则空间.

20、紧致空间 答案：设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间.

21、紧致子集 答案：设X是一个拓扑空间，Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集.

22、可数紧致空间 答案：设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间.

23、列紧空间 答案：设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间.

24、序列紧致空间 答案：设X是一个拓扑空间. 如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X是一个序列紧致空间. 五．简答题（每题4分）

1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A?B.试说明d(A)?d(B).

答案：对于任意x?d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U?(A?{x})??,由于A?B，从而

U?(B?{x})?U?(A?{x})??，因此x?d(B)，故d(A)?d(B).

2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明g?1?1由f:X?Y是连续映射，故f(g(W))是X的一开集，因此 (gf:X?Z也是连续映射.

?1答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y?Z是一个连续映射，从而g(W)是Y的一个开集，

f)?1(W)?f?1(g?1(W))是X的开集，所以gf:X?Z是连续映射.

3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集.

答案：对于?x?A?,则x?A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U?(A?{x})??,因此U?A??，即U?A?,所以对任何x?A?,A?是x的一个邻域，这说明A?是一个开集. 4、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A的补集A?是一个开集，则A是一个闭集.

答案：设x?A,则x?A?,由于A?是一个开集，所以A?是x的一个邻域，且满足A??A??,因此

x?A,从而A?A,即有A?A，这说明A是一个闭集.

5、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[0]},{[0],[1]}}

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6、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T .

答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 7、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?1]},{[?1],[1]}} 8、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?2],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?2]},{[?2],[1]}} 9、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T .

答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 10、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T .

答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 11、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T .

答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 12、离散空间是否为A2空间?说出你的理由.

答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是A2空间.至多含有可数多个点的离散空间是A2空间.

13、试说明实数空间R是可分空间.答案: 因为Q是可数集，且R的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q都有非空的交，因此Q?R，故实数空间R是可分空间. 14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.

答案: 设X是一个度量空间, 对?x?X，则所有的以x为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x处的一个可数邻域基，从而X满足第一可数性公理. 15、设X是一个T1空间，试说明X的每一个单点集是闭集.

答案：对?x?X，由于X是T1空间，从而对每一个y?X,y?x，点y有一个邻域U使得x?U，即U?{x}??，故y?{x}，因此{x}?{x},这说明单点集{x}是一个闭集. 16、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，试说明X是一个T1空间.

答案：对于任意x,y?X,x?y，{x},{y}都是闭集，从而{x}?和{y}?分别是y和x的开邻域，并且

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