58、设X?X1?X2??X59、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P5是X到X5的投射，则P5是（ ） ,X6的积空间.P6是X到X6的投射，则P6是（ ）
① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
6① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 60、设X1和X2是两个拓扑空间，X1?X2是它们的积空间,A?X1，B?X2，则有（ ）
①A?B?A?B ②A?B?A?B ③(A?B)?A?B ④?(A?B)??(A)??(B) 答案：② 61、有理数集Q是实数空间R的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 62、整数集Z是实数空间R的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 63、无理数集是实数空间R的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若Y?Z?Y, 则Z为( )
①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：② 65、设X1,X2是平庸空间，则积空间X1?X2是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案：③ 66、设X1,X2是离散空间，则积空间X1?X2是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：① 67、设X1,X2是连通空间，则积空间X1?X2是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：④ 68、实数空间R中的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④ 69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案：③ 70、实数空间R中的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案：④ 71、下列叙述中正确的个数为（ ）
（Ⅰ）单位圆周S1是连通的； （Ⅱ）R?{0}是连通的
（Ⅲ）R2?{(0,0)}是连通的 （Ⅳ）R2和R同胚
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 72、实数空间R( )
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 73、整数集Z作为实数空间R的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
5
74、有理数集Q作为实数空间R的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 75、无理数集作为实数空间R的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 76、正整数集Z?作为实数空间R的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 77、负整数集Z?作为实数空间R的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 78、2维欧氏间空间R2
（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 79、3维欧氏间空间R3（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案：② 81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案：② 82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案：②83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案：② 84、设X是一个拓扑空间，若对于?x,y?X,x?y,均有{x}?{y},则X是( ) ① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：① 85、设X?{1,2}，T?{X,?,{1}}，则(X,T)是( )
① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：① 86、设X?{1,2}，T?{X,?,{2}}，则(X,T)是( )
① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 道路连通空间 答案：① 87、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1}}，则(X,T)是( )
① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④
88、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{2，3}}，则(X,T)是( ) ① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④
6
89、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1，3}}，则(X,T)是( )
① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④ 90、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1，2}}，则(X,T)是( )
① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④ 91、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是( )
①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：① 92、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，
则X是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间 答案：③ 93、设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，
则X是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间 答案：③
94、设X是一个拓扑空间，若对?x?X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得V?U,则X是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间 答案：①
95、设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,
使得V?U,则X是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间 答案：② 96、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{2，3}}，则(X,T)是( )
①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正规空间 答案：④
3}，T?{X,?,{2},{13}}，，则(X,T)是( ) 97、设X?{1,2，①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正规空间 答案：④ 98、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{3},{1，2}}，则(X,T)是( )
①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正则空间 答案：④ 99、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是( )
①T2空间 ② 正则空间 ③ T4空间 ④ 正规空间 答案：④
3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是( ) 100、设X?{1,2，①T2空间 ② 正则空间 ③ T4空间 ④ 正规空间 答案：④
3}，T?{X,?,{2},{3},{2,3}}，则(X,T)是( ) 101、设X?{1,2，①T2空间 ② 正则空间 ③ T4空间 ④ 正规空间 答案：④
102、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（ ）
① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案：③ 103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）
① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案：③ 104、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（ ）
① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③
7
105、紧致的Hausdorff空间中的紧致子集是（ ）
① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③ 106、拓扑空间X的任何一个有限子集都是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 答案：② 107、实数空间R的子集A?{1,2,3}是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：② 108、实数空间R的子集A?{1,2,3,4}是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：② 109、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集，则X是（ ）
① T1空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案：① 二．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
?1理由：设X是离散空间，因为对任意A?Y，都有f（A)?X,Y是拓扑空间，f:X?Y是连续映射，
由于X中的任何一个子集都是开集，从而f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的.
2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( )答案:×
理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而X,??T 1?T 2；
（２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２；
（３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而?U?T’U?T1,
?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２；综上有T1?T２也是X的拓扑．
3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ）答案:√
理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的开集，从而f:X?Y连续. 4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ ）答案:√
理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{p}是X的开子集，且有?p??A??p????，即p?d?A?,从而 d(A)??.
5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ ）答案：×
理由：设A?{y},则对于任意x?X,x?y,x有唯一的一个邻域X，且有y?X?(A?x),从而
X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X?(A?y)??,所以有
d?A??X?A??.
6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ ）答案：√
理由：对于任意x?X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，即x?d(A)，所以有d?A??X.
7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得A?B??,A?B?X（ ）答案：√ 理由：设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得A?B?X,显然
AB??，并且这时有:B?B?X?(B?A)?(B?B)?B 从而B是X的一个闭子集，同理可证
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