（二）常见概率分布

1．Discrete uniform distribution 离散型均匀分布

所有可能的结果概率相等，且结果是不连续的 股票报价是离散的。 2．Binomial distribution

二项式分布，来源于贝努力试验（bernoulli） 是做n次贝努力试验（如抛掷硬币）

E（X）=np

Variance of X=np(1-P)（此处是方差公式，标准差还要开根号） 3．continious uniform distribution 连续均匀分布

4．Normal distribution

X~（μ， σ^2） （1） 决定其形态的变量有μ和σ两个，当μ=0且 σ=1时为标准正态分布 （2） Skewness=0，kurtosis=3 （3） 如果X、Y都服从正态分布，那么aX+bY也服从正态分布 （4） 两尾逐渐接近X轴但不相交，英文表达为：the tail gets thin and go to zero but extend infinitely。 （5） 置信区间

（6）

standard normal distribution

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Z-value

5．Lognormal distribution 对数正态分布

（1）如果lnX服从正态分布，则X服从对数正态分布 （2）右偏

（3）随机变量取值一定是正数

（三）其他 1．第一安全比率

Roy’s safety-first criterion （第一安全比率）越大，那么投资面临的shortfall risk（价格掉到某个水平之下的风险）越低。

RL为某一警戒收益率，也被称为threshold level return 用第一安全比率来选择组合： 2．Monte carlo simulation & historical simulation 两种分析方法的比较

MC考虑进了极特殊的情况，缺点是需要复杂的假设分布 HS操作简单，但是没有考虑极端情况

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六、sampling and estimation

（一）相关概念 1．抽样：

Simple random sampling——简单随机抽样 Systematic sampling——系统抽样

Stratified random sampling——分层随机抽样

Sampling error——抽样误差，是样本统计量与总体参数的差值，由于抽样造成的误差。如mean的抽样误差=?x—? 2．Data分类：

Time-series data——时间序列，如不同公司不同时间段数据对比

Cross-sectional data——横截面数据，如同一时间段上不同公司数据对比 Longitudinal data——纵向数据 Panel data——横向数据 3．Centra limit theory

中心极限定理

从总体population中进行简单随机抽样

当样本容量n≥30且总体均值方差已知（分别为?，σ^2），那么无论总体服从什么分布，仍有以下结论：

?x~N（?，σ^2/n）（样本均值服从正态分布） 4．Standard error of the sample mean

总体方差已知用中体，未知用样本方差

（二）估计方法 1．Point estimate

点估计

即用单个样本统计量估计总体参数，例如?x即为?的点估计量 2．Student’s T distribution

（1）正态分布的普遍形式，对称

（2）决定t分布的变量为自由度n-1，自由度越大越接近正态分布 （3）低峰肥尾，因为不要求与正态分布的离散程度一样

（4）相同的显著性水平下，t分布比正态分布对应的置信区间更宽 3．Confidence interval估计 （1）步骤

Level of significance——显著性水平α Degree of confidence——置信度1—α

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Reliability factor——Zα/2

以总体均值置信区间估计为例，可以有以下两种公式

由于公式所示，σ上升或者n下降会让置信区间变宽 估计方法选择：

总体方差已知用Z，总体方差未知用t，非正态总体小样本不可估计 α和Zα/2是反向变化的。 （2）结果的表述方法

4．好的估计量特点

（1）unbiased 无偏性——E(?x)= ?

（2）efficient 有效性——选择方差小的估计量

（3）consistent一致性——当样本size越大，估计越来越准确（常考）6．误差分类

（1）data-mining bias，把偶然当必然

（2）sample selection bias，无意识地选择了一些特定样本

（3）survivorship bias存活偏差，比如hedge fund会高估收益率 （4）look ahead bias用将来才能知道的数据 （5）time-period bias

七、Hypothesis test

（一）假设检验步骤 1．Critical value method

关键值法

（1）设H0和Hα

set null hypothesis and alternative hypothesis H0原假设——比较怀疑的放在原假设里 Hα备择假设——想证明的放在备择假设里 等号一般在原假设

One tailed & two tailed hypothesis （2）确定Test statistic 检验统计量的确定

（不用记，只对t分布和Z分布有用）

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