海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学（理科） 2015.11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1. 已知集合P?x|x2?x?2?0，M???1,0,3,4?，则集合P??M中元素的个数为

A.1 B.2 C. 3 D.4 2. 下列函数中为偶函数的是 A.y?

12 B. y?lgx Ｃ. y??x?1? D.y?2x x

3. 在?ABC中,?A?60?, AB?2,AC?1, 则AB?AC的值为 A. 1 B. ?1 C.

11 D.? 224. 数列?an?的前n项和为Sn，若Sn?Sn?1?2n?1(n?2)，且S2?3，则a1?a3的值为 A. 1 B. 3 C. 5 D.6 5. 已知函数f(x)?cos4x?sin4x，下列结论中错误的是 ．．

A. f(x)?cos2x B. 函数f(x)的图象关于直线x?0对称 C. f(x)的最小正周期为π D. f(x)的值域为[?2,2] 6. “x?0”是“x+sinx?0”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 如图，点O为坐标原点，点A(1,1). 若函数y?a（a?0，且a?1）及 xy 1 ANMO y?logbx（b?0，且b?1）的图象与线段OA分别交于点M，N，

且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a,b满足 A. a?b?1 B. b?a?1 C. b?a?1 D. a?b?1

1 x ??1, x??1?28. 已知函数f(x)??x, ?1?x?1，函数g(x)?ax?x?1. 若函数y?f(x)?g(x)恰好有

?1, x?1?2个不同零点，则实数a的取值范围是 A.(0,??) B.(??,0)(2，+?) C.(??,?)(1,+?) D. (??,0)(0,1)

12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9.

?212xdx?______.

10. 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 若c?4，sinC?2sinA，sinB?15，则4a?____,S?ABC?_____.

11. 已知等差数列?an?的公差d?0，且a3?a9?a10?a8. 若an?0，则n? . 12. 已知向量a?(1,1)，点A(3,0), 点B为直线y?2x上的一个动点，若AB//a，则点B的坐标为______.

13. 已知函数f(x)?sin(?x??)(??0). 若f(x)的图象向左平移与f(x)的图象向右平移

π个单位所得的图象 3π个单位所得的图象重合，则?的最小值为______. 6a?an14. 对于数列{an}，若?m,n?N*(m?n)，都有m?t（t为常数）成立，则称数列{an}m?n具有性质P(t).

（i） 若数列{an}的通项公式为an?2n，且具有性质P(t)，则t的最大值为______； （ii）若数列{an}的通项公式为an?n2? 是______.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

a，且具有性质P(10)，则实数a的取值范围 n15. （本小题满分13分）

已知等比数列{an}的公比q?0，其前n项和为Sn，若a1?1, 4a3?a2a4. （Ⅰ）求公比q和a5的值； （Ⅱ）求证：

16.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?3sin(2x?)?cos(2x?). （Ⅰ）求f()的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.

17. （本小题满分13分）

如图，在四边形ABCD中，AB?8,BC?3,CD?5,?A? （Ⅰ）求BD的长；

（Ⅱ）求证：?ABC??ADC?π.

18. （本小题满分13分）

已知函数f(x)?ASn

?2. an

π3π3π6?1,cos?ADB?. 37DCB13x?x2?ax?1，曲线y?f(x)在点(0,1)处的切线为l. 3（Ⅰ）若直线l的斜率为?3，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)是区间[?2,a]上的单调函数，求a的取值范围.

19.（本小题满分14分）

已知由整数组成的数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且a1?a, 2Sn?anan?1. （Ⅰ）求a2的值； （Ⅱ）求{an}的通项公式；

（Ⅲ）若n?15时，Sn取得最小值，求a的值.

20.（本小题满分14分）

已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]?1，[?1.2]??2，[1]?1. 对于函数f(x), 若存在m?R且m?Z,使得f(m)?f([m])，则称函数f(x)是?函数. （Ⅰ）判断函数f(x)?x2?x，g(x)?sinπx是否是?函数；（只需写出结论）

（Ⅱ）设函数f(x)是定义在R上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是?函数，求

13T的最小值；

（Ⅲ）若函数f(x)?x?理科 ：

15．解：（Ⅰ）法一：因为{an}为等比数列， 且4a3?a2a4，

所以4a3?a32，所以a3?4，

---------------------------1分 因为q2?

a是?函数，求a的取值范围. xa3a3??4， a11

---------------------------2分 所以q??2. 因

为

an?0，所以q?0，即q?2

---------------------------3分

所以a5?a1q4?16. （此处公式2分，结果1分） --------------------------6分