用二次函数解决问题

1．如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．

（1）当m=﹣1，n=4时，k= ，b= ； 当m=﹣2，n=3时，k= ，b= ；

（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论； （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：

如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED． ①当m=﹣3，n＞3时，求

的值（用含n的代数式表示）；

2

②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为 ； 当四边形AOED为正方形时，m= ，n= ．

2．抛物线y=x﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C． （1）求点A，B，C的坐标；

（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）． ①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；

②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

+

的值最小，求

2

1

3．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点． （1）∠OBA= °． （2）求抛物线的函数表达式．

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

4．如图，已知抛物线y=ax+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m． （l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；

（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；

（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

5．一次函数y=x的图象如图所示，它与二次函数y=ax﹣4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C． （1）求点C的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为D．

①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式； ②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

2

6．如图，已知抛物线y=﹣x+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动． （1）直接写出抛物线的解析式： ；

（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？

（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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7．如图，已知二次函数y1=﹣x+过A、B的直线为y2=kx+b．

2

x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，

（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标； （2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；

（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

8．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．

①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；

②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．

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