2(1＋3t)＋2－t－1＝0.
3?413?
解得t＝－5，N的坐标为?－5，5?.
???9??3?90
∴|MN|2＝?5?2＋?5?2＝25，
????310|MN|＝5.
x＝1＋2t，???x＝－1＋2t，
10．已知直线l1的参数方程为?l2的参数方程为?5
y＝－?y＝－1＋4t，?2－t.?
试判断l1与l2的位置关系．
解：法一：将直线l1的参数方程化为普通方程，得y＝2x＋1；将l2的参数1
方程化为普通方程，得y＝－2x－2.
?1?因为k1·k2＝2×?－2?＝－1，所以两直线垂直．
??
法二：由参数方程知l1与向量a1＝(2,4)平行，l2与向量a2＝(2，－1)平行． 又2×2＋4×(－1)＝0，∴l1⊥l2， 即两条直线垂直．
5π
11．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为6. (1)写出直线l的参数方程；
?x＝2cos θ，?(2)设此直线与曲线C：(0≤θ≤2π)交于A，B两点，求|PA|·|PB|； ?y＝4sin θ(3)设A，B中点为M，求|PM|. 解：(1)直线l的参数方程是 5π3
?x＝－3＋tcos＝－3－?62t，?5π1y＝3＋tsin＝3＋??62t.
(2)消去曲线C中的参数，得4x2＋y2－16＝0， 把直线的参数方程代入曲线C的普通方程， 1??3??
得4?－3－t?2＋?3＋2t?2＝16，
?2???
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化简为13t2＋12(1＋43)t＋116＝0. 由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|， 116∴|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝13. t1＋t2(3)由t的几何意义知，中点M对应的参数为2， |t1＋t2|6?1＋43?
∴|PM|＝2＝.
13
2．2.2 圆的参数方程
[对应学生用书P28]
[读教材·填要点]
如图，质点以匀角速度ω做圆周运动，圆心在原点，半径为R，记t为时间，运动开始时t＝0，质点位于点A处，在时刻t，质点位于点M(x，y)处，θ＝ωt，
??????x＝Rcos ωt，
θ为Ox轴正向到向径OM所成的角，则圆的参数方程为?(t≥0)，
y＝Rsin ωt??x＝Rcos θ，
也可写成?(0≤θ≤2π)．
?y＝Rsin θ
?x＝x0＋Rcos θ，
若圆心在点M0(x0，y0)处，半径为R，则圆的参数方程为?
?y＝y0＋Rsin θ(0≤θ≤2π)．
[小问题·大思维]
?x＝Rcos θ，
1．方程?(0≤θ≤2π)是以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的
?y＝Rsin θ参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？
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?x?
提示：以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的标准方程为x＋y＝R，即?R?
??
2
2
2
2
?y?＋?R?2＝1. ??
x??R＝cos θ，令?y??R＝sin θ，
?x＝Rcos θ，
则? ?y＝Rsin θ.
?x＝2cos θ，
2．参数方程?(0≤θ≤π)表示什么曲线？
?y＝1＋2sin θ
提示：表示圆心为(0,1)，半径为2的圆的上半部分即半圆(包括端点)．
[对应学生用书P29]
[例1] 点M在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O为原点，x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为φ.以φ为参数，求圆的参数方程．
[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法．解答此题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．
[精解详析] 如图，设圆心为O′，连接O′M.
求圆的参数方程
①当M在x轴上方时， ∠MO′x＝2φ. ?x＝r＋rcos 2φ，∴? y＝rsin 2φ.?②当M在x轴下方时， ∠MO′x＝2φ， ?x＝r＋rcos?－2φ?，∴?
y＝－rsin?－2φ?.?
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?x＝r＋rcos 2φ，即? ?y＝rsin 2φ.③当M在x轴上时， π
对应φ＝0或φ＝±2. 综上得圆的参数方程为 ?x＝r＋rcos 2φ，ππ?－2≤φ≤2. ?y＝rsin 2φ，
(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的．另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．
(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如?x＝r＋rcos φ，本题如果把参数方程写成?φ的意义就改变了．
?y＝rsin φ，
1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________． 解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0， 4t4t2
得x＝，y＝，
1＋t21＋t24t
?x＝
?1＋t2，
∴参数方程为?4t2
??y＝1＋t2.4t??x＝1＋t2，
答案：?4t2??y＝1＋t2
圆的参数方程的应用 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn