_2.2
直线和圆的参数方程
2．2.1 直线的参数方程
[对应学生用书P25]
[读教材·填要点]
1．直线的参数方程：经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?x＝x0＋tcos α，
?(t为参数)． ?y＝y0＋tsin α，
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．
2．过点M0(x0，y0)且与平面向量a＝(l，m)平行的直线l的参数方程为?x＝x0＋lt?t∈R ?y＝y0＋mt
当M0M―→与a同向时，t取正数；当M0M―→与a反向时，t取负数． [小问题·大思维]
π
1．经过点M(1,5)且倾斜角为3的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是什么？
提示：根据直线参数方程的定义，易得 π
x＝1＋t·cos??3，
?πy＝5＋t·sin??3，
1
x＝1＋2t，??即?
3
y＝5＋??2t.
2
?x＝－1－?2t，
2．已知直线l的参数方程为?
2
?y＝2＋?2t为何值？
(t为参数)，则直线l的斜率
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3π
x＝－1＋tcos??4，提示：直线l的参数方程可化为?3π
y＝2＋tsin??4，＝－1.
3π
故直线的斜率为tan 4
[对应学生用书P25]
直线参数方程的求法
[例1] 已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)和点N(－2,6)的距离．
[思路点拨] 本题考查直线参数方程的求法及其简单应用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角α，然后写出直线l的参数方程．
3
[精解详析] 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为4.设直线的倾斜角为α，
334
则tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5. 又点P(1,1)在直线l上，
4
??x＝1＋5t，
所以直线l的参数方程为?3y＝1＋??5t.
因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上． 4
由1＋5t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5. 因为点N不在直线l上，故根据两点的距离公式， 可得|PN|＝?1＋2?2＋?1－6?2＝34.
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．
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其中k＝tan α，α为直线的倾斜角，代入上式，得 x－x0y－y0sin απ
y－y0＝cos α·(x－x0)，α≠2，即cos α＝sin α. 记上式的比值为t，整理后得 ?x＝x0＋tcos α，? ?y＝y0＋tsin α.
π
1．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝4，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．
2
?x＝3＋?2t，
解：设直线的参数方程为?
2
??y＝4＋2t.将它代入3x＋2y－6＝0得 ??2?2?
3?3＋t?＋2?4＋t?＝6，
2?2???112解得t＝－5， 112
∴|MP0|＝|t|＝5.
直线的参数方程的应用(直线与圆)
?x＝－1＋3t，
[例2] 已知直线的参数方程为?它与曲线(y－2)2－x2＝1交于
?y＝2－4t，A，B两点．
(1)求|AB|的长；
(2)求点P(－1,2)到线段AB中点C的距离．
[思路点拨] 本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应用．解答本题需先求出直线l的参数方程，然后根据相关概念及性质求解即可．
[精解详析] (1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2＋
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6t－2＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2， 62
则t1＋t2＝－7，t1t2＝－7. 所以，线段|AB|的长为
10
32＋?－4?2|t1－t2|＝5?t1＋t2?2－4t1t2＝723.
t1＋t23
(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为2＝－7.
所以，由t的几何意义可得点P(－1,2)到线段AB中点C的距离为?3?15?－7?＝. 32＋?－4?2·
??7
不用求出A，B两点的坐标，根据直线参数方程中t的几何意义，再根据根与系数的关系即可求出AB及点P到AB中点C的距离．
π
2．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝6. (1)写出直线l的参数方程．
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P 到A，B两点的距离之积． π
x＝1＋tcos ??6，解：(1)直线的参数方程为?π
y＝1＋tsin??6.3
?x＝1＋?2t，即?
1y＝1＋??2t.
3?x＝1＋?2t，(2)把?
1y＝1＋??2t
代入x2＋y2＝4，
31
得(1＋2t)2＋(1＋2t)2＝4，t2＋(3＋1)t－2＝0，
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