并写出插值余项。

四、（10分）证明对任意的初值x0，迭代格式xn?1?cosxn均收敛于方程x?cosx的根，

且具有线性收敛速度。

五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数f(x)?4x3?1，求其在??Span{1,x,x2}中关于

权函数?(x)?1的最佳平方逼近多项式。（可用数据：

p0(x)?1,p1(x)?x,p2(x)?六、(12

分

)(1)

试

导

出

321x?） 22切

比

雪

夫

(Chebyshev)

正

交

多

项

式

Tn(x)?cos(narccosx)(n?0,1,2,?,x?[?1,1])的三项递推关系式：

T0(x)?1,??T1(x)?x,? ?????Tn?1(x)?2xTn(x)?Tn?1(x)(n?1,2,?)（2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分I?能得到积分的精确值？并计算它。

?2x2?1x(2?x)0dx，问当节点数n取何值时，

h?y?y?(K1?K3)n?1n?2?K1?f(xn,yn)七、（10分）验证对?t,?为2阶格式. ?K2?f(xn?th,yn?thK1)??K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1)

参考答案1 一、1．?(a)?6，cond1(A)=6.

2．f[xn,xn?1,xn?2]=3，f[xn,xn?1,xn?2，xn?3]=0. 3．b=－2，c=3.

?163?,k?024．?2；q2(x)?x?x?.

510??0,k?0

5

5．a?(?12,12);lii?0(i?1,2,3)

二、(1) H(x)??14225x3?263450x2?2331450x?25 (2) R(x)?194!16??52(x?14)(x?1)2(x?94),??(14,94).

三、（1）L?23;（2）x??3.347;（3）线性收敛. 四、A?C?1016129,B?9,???5;求积公式具有5次代数精度，是Gauss型的. 五、?＝1712，?0＝，?1＝－4；截断误差主项为348h3y???(xn). 六、（1）?(BJ)?0.6,?(BGS)?0.6?1,因此两种迭代法均收敛.

（2）当11?0.6?a?0时，该迭代公式收敛.

参考答案2 一、1．2

2．xf(xn)n?1?xn?f?(x(n?0,1,?)

n)3．1, 0 4．7,

257 5．(1132,1),(2,4) ?(k?1)15(k6. ?x1??3??13x)2,1 (k?1)12?x(k?1)2??20x17. x20??,x1?233; 1 8. 是, 1

6

??200??00????13000??1?1??2二、(1) L??2?40??,U???01?230??? ?0?13?5?????001?3??00?14???4??0001??u15?l62u25?l63u35?l64u45)(2)

l65?a65?(l61u;55

u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)三、 H(x)?x?2x(x?1)(x?2),R(x)?f(4)(?)4!x(x?1)2(x?2)?x(k?1)(k)1?bb1??x四、(1) ?2??(k?1)2(k?1), ??1 ?x2?2??x时收敛

1? (2) ?x(k?1)1?b1?1x(k)(k)1?x2?22, 收敛 ?(k?1)b21(k)(k?x?4?2x?1)22?x1五、收敛 七、（1）

213f(4)?13f(12)?233f(4) （2）2 (3)

13 八、p?n时为0，p?n?1时为1

参考答案3 一、1．4

2．发散

3．f??(x*)?0

7

4．xn?1?xn?f(xn)f(xn)(n?0,1,?),xn?1?xn?3(n?0,1,?)

f?(xn)f?(xn)5．

8?602, 49 6.

lgxx2?1

7. x3 8.

73 二、(2) 先交换2、3两行，交换1、2两行，

?100?L???0.666710??321??00,U??00.66670.3333?,P??10????0.33330.51????000.5??????01(3) (?1.5,1,4.5)?

三、H(x)??x?11x(x?1)?9x(x?1)2,R(x)?f(4)(?)4!x(x?1)3 五、p0?125p1 六、n?1，?2

1?0?0?

??8