4（2）当h2 =L＞h0 ，无论F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。

5例9：放在光滑水平面上的木板质量为M ，如图5—8所示，板上有质量为m的小狗以与木板成θ角的初速度v0（相对于地面）由A点跳到B点，已知AB间距离为s 。求初速度的最小值。

解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移向右，由于水平方向动量守恒，木板向左运动。小狗落到板上的B点时，小狗 和木板对地位移的大小之和，是小狗对木板的水平位移。 图5—8

由于水平方向动量守恒，有：mv0cosθ = Mv ，即：v =①

小狗在空中做斜抛运动的时间为：t =

2v0sin? ② gmv0sin? M又：s + v0cosθ?t = vt ③ 将①、②代入③式得：v0 =Mgs (M?m)sin2?当sin2θ = 1 ，即θ =

Mgs?时，v0有最小值，且v0min =。

M?m4例10：一小物块以速度v0 = 10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到顶部水平

的高台上，并由高台上飞出，如图5—9所示。当高台的高度h多大时，小物块飞行的水平距离s最大？这个距离是多少？（g取10m/s2）

解析：依题意，小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s是高度h的函数。

设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v，根据机械能

守恒定律：

图5—9 112mv0=m v2 + mgh ① 22小物块做平抛运动的水平距离s和高度h分别为： s = vt ②

1h =gt2 ③

222v0v02h2以上三式联立解得：s =v?2gh= 2()?(h?)2 g4g4g2022v0v0当h == 2.5m时，s有最大值，且smax == 5m 。

4g2g第 5 页

例11：军训中，战士距墙s ，以速度v0起跳，如图5—10所示，再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ 。求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ 。

解析：人体重心最大总升高分为两部分，一部分是人做斜上抛运动上升的高度，另一部分是人蹬墙所能上升的高度。

如图5—10—甲，人做斜抛运动，有：vx = v0cosθ ，vy = v0sinθ－gt

s1重心升高为：H1 = s0tanθ－g ()2

v0cos?2图5—10

脚蹬墙面，利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加，即：

Δ(mvy) = mΔvy = Σf(t) = ΣμN(t) Δt = μΣN(t) Δt 而：ΣN(t) Δt = mvx

所以：Δvy = μvx ，人蹬墙后，其重心在竖直方向向上的速度为：

v?y= vy + Δvy = vy + μvx ，继续升高H2 =

2v?y2g

2v0重心总升高：H = H1 + H2 =(μcosθ + sinθ)2－μs0

2g当θ = arctan

图5—10—甲

例14：如图5—13所示，劲度系数为k的水平轻质弹簧，

左端固定，右端系一质量为m的物体，物体可在有摩擦的水平桌面上滑动，弹簧为原长时位于O点，现把物体拉到距O为A0的P点按住，放手后弹簧把物体拉动，设物体在第二次经过O点前，

在O点左方停住，求：

（1）物体与桌面间的动摩擦因数μ的大小应在什么范围内？

（2）物体停住点离O点的距离的最大值，并回答这是不是物体在运动过程中所能达到的左方最远值？为什么？（认为动摩擦因数与静摩擦因数相等）

解析：要想物体在第二次经过O点前，在O点左方停住，则需克服摩擦力做功消耗掉全部弹性势能，同时还需合外力为零即满足平衡条件。

（1）物体在距离O点为l处停住不动的条件是：

a．物体的速度为零，弹性势能的减小等于物体克服滑动摩擦力

图5—13

所做的功。

b．弹簧弹力≤最大静摩擦力 对物体运动做如下分析：

12①物体向左运动并正好停在O点的条件是：kA0= μmgA0

21时，重心升高最大。 ?

得：μ =

kA0 ① 2mgkA02mg②若μ＜零，则有：

?，则物体将滑过O点，设它到O点左方B处（设OB = L1）时速度为

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112kA0－kL21= μmg (A0 + L1) ② 22kA若物体能停住，则kL1≤μmg ，得：μ≥0 ③

3mg③如果②能满足，但μ＜滑动的距离越远。

kA0，则物体不会停在B处而要向右运动。μ值越小，则往右3mgkA1设物体正好停在O处，则有：kL21= μmgL1 ，得：μ =0

4mg2要求物体停在O点左方，则相应地要求μ＞

kA0 4mgkA04mg综合以上分析结果，物体停在O点左方而不是第二次经过O点时，μ的取值范围为：＜μ＜

kA0 2mg（2）当μ在

kA0kA0≤μ＜范围内时，物体向左滑动直至停止而不返回，由②式可求3mg2mg出最远停住点（设为B1点）到O点的距离为：

A2?mg2mgkA0L = A0－= A0－()() =0

3mgkk3当μ＜

kA0A时，物体在B1点（OB1 =0）的速度大于零，因此物体将继续向左运动，3mg3kA0A，L1 =0，如果停留在B1点3mg3但它不可能停在B1点的左方。因为与B1点相对应的μ =的左方，则物体在B1点的弹力大于

kA0kA，而摩擦力μmg0，小于弹力大于摩擦力，所以33A0，但这不是物体在运动过程中所3物体不可能停住而一定返回，最后停留在O与B1之间。

所以无论μ值如何，物体停住与O点的最大距离为

能达到的左方最远值。

例15：使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触，分开之后，小球获得电量q 。今让小球与大球反复接触，在每次分开后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q 。求小球可能获得的最大电量。

解析：两球接触后电荷的分配比例是由两球的半径决定的，这个比例是恒定的。 根据两球带电比例恒定，第一次接触，电荷量之比为所以：qm =

Qq Q?qQ?qQQ?qQ，最后接触电荷之比为，有=，qqmqqm（此题也可以用递推法求解。）

例16：一系列相同的电阻R ，如图5—14所示连接，求AB间的等效电阻RAB 。 解析：无穷网络，增加或减小网络的格数，其等效电阻不变，所以RAB跟从CD往右看的电阻是相等的。因此，有：

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RAB = 2R +

RABR，解得：RAB = (3+ 2)R

RAB?R

例17：如图5—15所示，一个U形导体框架，宽度L = 1m ，其所在平面与水平面的夹角α = 30°，其电阻可以忽略不计，设匀强磁场为U形框架的平面垂直，磁感应强度B = 1T ，质量0.2kg的导体棒电阻R = 0.1Ω ，跨放在U形框上，并且能无摩擦地滑动。求：

（1）导体棒ab下滑的最大速度vm ；

（2）在最大速度vm时，ab上释放出来的电功率。

解析：导体棒做变加速下滑，当合力为零时速度最大，以后保持匀速运动

（1）棒ab匀速下滑时，有：mgsinα = BIl

而I =

Blvmgsin??R，解得最大速度vm == 0.1m/s RB2l2

图5—14

图5—15

（2）速度最大时，ab释放的电功率P = mgsinα?vm = 0.1W

针对训练

1．如图5—16所示，原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一

端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一装置可以从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置。设弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述（a）、（b）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0 。（a）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40厘米，（b）在转动的过程中，发 现小球离原水平面的高度不断增大。

图5—16

2．如图5—17所示，一滑雪运动员自H为50米高处滑至O点，由于运动员的技巧（阻力不计），运动员在O点保持速率v0不变，并以仰角θ起跳，落至B点，令OB为L ，试问α为30°时，L的最大值是多大？当L取极值时，θ角为多大？

3．如图5—18所示，质量为M的长滑块静止放在光滑水平面上，左侧固定一劲度系数为K且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一不可 伸长的细轻绳连接于竖直墙上，细线所能承受的最大拉力为T 。使一质量为m ，初速度为v0的小物体，在滑块上无摩擦地向左运动，而后压缩弹簧。

（1）求出细线被拉断的条件； （2）滑块在细线拉断后被加速的过程中，所能获得的最大的图5—17 左向加速度为多大？

（3）物体最后离开滑块时相对于地面速度恰为零的条件是什么？

4．质量m = 2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端，导

轨及支架ABCD形状及尺寸如图5—19所示，它只能绕通过支架

图5—18

D点的垂直于纸面的水平轴转动，其重心在图中的O点，质量M

= 4.0kg ，现用一细线沿轨拉铁块，拉力F = 12N ，铁块和导轨之间的摩擦系数μ = 0.50，

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