物理竞赛极限法 下载本文

4(2)当h2 =L>h0 ,无论F为何值,都不可能使杆滑倒,这种现象即称为自锁。

5例9:放在光滑水平面上的木板质量为M ,如图5—8所示,板上有质量为m的小狗以与木板成θ角的初速度v0(相对于地面)由A点跳到B点,已知AB间距离为s 。求初速度的最小值。

解析:小狗跳起后,做斜上抛运动,水平位移向右,由于水平方向动量守恒,木板向左运动。小狗落到板上的B点时,小狗 和木板对地位移的大小之和,是小狗对木板的水平位移。 图5—8

由于水平方向动量守恒,有:mv0cosθ = Mv ,即:v =①

小狗在空中做斜抛运动的时间为:t =

2v0sin? ② gmv0sin? M又:s + v0cosθ?t = vt ③ 将①、②代入③式得:v0 =Mgs (M?m)sin2?当sin2θ = 1 ,即θ =

Mgs?时,v0有最小值,且v0min =。

M?m4例10:一小物块以速度v0 = 10m/s沿光滑地面滑行,然后沿光滑 曲面上升到顶部水平

的高台上,并由高台上飞出,如图5—9所示。当高台的高度h多大时,小物块飞行的水平距离s最大?这个距离是多少?(g取10m/s2)

解析:依题意,小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前,小物块受重力和支持力,由于支持力不做功,物块的机械能守恒,物块从高台上飞出后,做平抛运动,其水平距离s是高度h的函数。

设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v,根据机械能

守恒定律:

图5—9 112mv0=m v2 + mgh ① 22小物块做平抛运动的水平距离s和高度h分别为: s = vt ②

1h =gt2 ③

222v0v02h2以上三式联立解得:s =v?2gh= 2()?(h?)2 g4g4g2022v0v0当h == 2.5m时,s有最大值,且smax == 5m 。

4g2g第 5 页

例11:军训中,战士距墙s ,以速度v0起跳,如图5—10所示,再用脚蹬墙面一次,使身体变为竖直向上的运动以继续升高,墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ 。求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ 。

解析:人体重心最大总升高分为两部分,一部分是人做斜上抛运动上升的高度,另一部分是人蹬墙所能上升的高度。

如图5—10—甲,人做斜抛运动,有:vx = v0cosθ ,vy = v0sinθ-gt

s1重心升高为:H1 = s0tanθ-g ()2

v0cos?2图5—10

脚蹬墙面,利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加,即:

Δ(mvy) = mΔvy = Σf(t) = ΣμN(t) Δt = μΣN(t) Δt 而:ΣN(t) Δt = mvx

所以:Δvy = μvx ,人蹬墙后,其重心在竖直方向向上的速度为:

v?y= vy + Δvy = vy + μvx ,继续升高H2 =

2v?y2g

2v0重心总升高:H = H1 + H2 =(μcosθ + sinθ)2-μs0

2g当θ = arctan

图5—10—甲

例14:如图5—13所示,劲度系数为k的水平轻质弹簧,

左端固定,右端系一质量为m的物体,物体可在有摩擦的水平桌面上滑动,弹簧为原长时位于O点,现把物体拉到距O为A0的P点按住,放手后弹簧把物体拉动,设物体在第二次经过O点前,

在O点左方停住,求:

(1)物体与桌面间的动摩擦因数μ的大小应在什么范围内?

(2)物体停住点离O点的距离的最大值,并回答这是不是物体在运动过程中所能达到的左方最远值?为什么?(认为动摩擦因数与静摩擦因数相等)

解析:要想物体在第二次经过O点前,在O点左方停住,则需克服摩擦力做功消耗掉全部弹性势能,同时还需合外力为零即满足平衡条件。

(1)物体在距离O点为l处停住不动的条件是:

a.物体的速度为零,弹性势能的减小等于物体克服滑动摩擦力

图5—13

所做的功。

b.弹簧弹力≤最大静摩擦力 对物体运动做如下分析:

12①物体向左运动并正好停在O点的条件是:kA0= μmgA0

21时,重心升高最大。 ?

得:μ =

kA0 ① 2mgkA02mg②若μ<零,则有:

?,则物体将滑过O点,设它到O点左方B处(设OB = L1)时速度为

第 6 页

112kA0-kL21= μmg (A0 + L1) ② 22kA若物体能停住,则kL1≤μmg ,得:μ≥0 ③

3mg③如果②能满足,但μ<滑动的距离越远。

kA0,则物体不会停在B处而要向右运动。μ值越小,则往右3mgkA1设物体正好停在O处,则有:kL21= μmgL1 ,得:μ =0

4mg2要求物体停在O点左方,则相应地要求μ>

kA0 4mgkA04mg综合以上分析结果,物体停在O点左方而不是第二次经过O点时,μ的取值范围为:<μ<

kA0 2mg(2)当μ在

kA0kA0≤μ<范围内时,物体向左滑动直至停止而不返回,由②式可求3mg2mg出最远停住点(设为B1点)到O点的距离为:

A2?mg2mgkA0L = A0-= A0-()() =0

3mgkk3当μ<

kA0A时,物体在B1点(OB1 =0)的速度大于零,因此物体将继续向左运动,3mg3kA0A,L1 =0,如果停留在B1点3mg3但它不可能停在B1点的左方。因为与B1点相对应的μ =的左方,则物体在B1点的弹力大于

kA0kA,而摩擦力μmg0,小于弹力大于摩擦力,所以33A0,但这不是物体在运动过程中所3物体不可能停住而一定返回,最后停留在O与B1之间。

所以无论μ值如何,物体停住与O点的最大距离为

能达到的左方最远值。

例15:使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触,分开之后,小球获得电量q 。今让小球与大球反复接触,在每次分开后,都给大球补充电荷,使其带电量恢复到原来的值Q 。求小球可能获得的最大电量。

解析:两球接触后电荷的分配比例是由两球的半径决定的,这个比例是恒定的。 根据两球带电比例恒定,第一次接触,电荷量之比为所以:qm =

Qq Q?qQ?qQQ?qQ,最后接触电荷之比为,有=,qqmqqm(此题也可以用递推法求解。)

例16:一系列相同的电阻R ,如图5—14所示连接,求AB间的等效电阻RAB 。 解析:无穷网络,增加或减小网络的格数,其等效电阻不变,所以RAB跟从CD往右看的电阻是相等的。因此,有:

第 7 页

RAB = 2R +

RABR,解得:RAB = (3+ 2)R

RAB?R

例17:如图5—15所示,一个U形导体框架,宽度L = 1m ,其所在平面与水平面的夹角α = 30°,其电阻可以忽略不计,设匀强磁场为U形框架的平面垂直,磁感应强度B = 1T ,质量0.2kg的导体棒电阻R = 0.1Ω ,跨放在U形框上,并且能无摩擦地滑动。求:

(1)导体棒ab下滑的最大速度vm ;

(2)在最大速度vm时,ab上释放出来的电功率。

解析:导体棒做变加速下滑,当合力为零时速度最大,以后保持匀速运动

(1)棒ab匀速下滑时,有:mgsinα = BIl

而I =

Blvmgsin??R,解得最大速度vm == 0.1m/s RB2l2

图5—14

图5—15

(2)速度最大时,ab释放的电功率P = mgsinα?vm = 0.1W

针对训练

1.如图5—16所示,原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内,弹簧的一

端固定在槽的O端,另一端连接一小球,这一装置可以从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置。设弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述(a)、(b)两种情况下,分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0 。(a)在转动过程中,发现小球距原水平面的高度变化出现极大值,且极大值hm为40厘米,(b)在转动的过程中,发 现小球离原水平面的高度不断增大。

图5—16

2.如图5—17所示,一滑雪运动员自H为50米高处滑至O点,由于运动员的技巧(阻力不计),运动员在O点保持速率v0不变,并以仰角θ起跳,落至B点,令OB为L ,试问α为30°时,L的最大值是多大?当L取极值时,θ角为多大?

3.如图5—18所示,质量为M的长滑块静止放在光滑水平面上,左侧固定一劲度系数为K且足够长的水平轻质弹簧,右侧用一不可 伸长的细轻绳连接于竖直墙上,细线所能承受的最大拉力为T 。使一质量为m ,初速度为v0的小物体,在滑块上无摩擦地向左运动,而后压缩弹簧。

(1)求出细线被拉断的条件; (2)滑块在细线拉断后被加速的过程中,所能获得的最大的图5—17 左向加速度为多大?

(3)物体最后离开滑块时相对于地面速度恰为零的条件是什么?

4.质量m = 2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端,导

轨及支架ABCD形状及尺寸如图5—19所示,它只能绕通过支架

图5—18

D点的垂直于纸面的水平轴转动,其重心在图中的O点,质量M

= 4.0kg ,现用一细线沿轨拉铁块,拉力F = 12N ,铁块和导轨之间的摩擦系数μ = 0.50,

第 8 页