初三冲刺必备
二次函数的动点问题
1.如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为?010，?，，?84?，顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E?4，0?出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P，Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）若点P，Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ?90?的点P有 个．
?b4ac?b2?（抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是??，?．
2a4a??2
y D s 28 C A P B 20 O E Q x O 10 图②
t 图①
[解] （1）作BF?y轴于F．
?A?010，?，B?8，4?，
?FB?8，FA?6．
1
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?AB?10．
（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．
又?AB?10，10?10?1． ?P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：作PG?y轴于G，则PG∥BF．
?GAAPFA?GAAB，即6?t10． ?GA?35t．
?OG?10?35t．
?OQ?4?t，
?S?12?OQ?OG?12?t?4????10?3?5t??．
即S??310t2?195t?20． 19??b2a??5?19，且0192??≤?3?33≤10， ??10???当t?193时，S有最大值． 此时GP?4765t?15，OG?10?3315t?5， ?点P的坐标为??7631??15，5??．
方法二：当t?5时，OG?7，OQ?9，S?12OG?OQ?632．设所求函数关系式为S?at2?bt?20．
?抛物线过点?10，28?，??63??5，2??，
?100a?10b?20?28??，???25a?5b?20?63
2.
2
8分）（
初三冲刺必备
3?a??，??10?? ?b?19.?5??S??3219t?t?20． 1051919b195?????，且0≤≤10， 32a?3?32?????10??当t?19时，S有最大值． 37631，OG?， 此时GP?155?7631??点P的坐标为?，?．
?155?（4）2．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
． 2. 如图①，Rt△ABC中，?B?90，?CAB?30．它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点
??B的坐标为(5，53)，AB?10，点P从点A出发，沿A?B?C的方向匀速运动，同
时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）求?BAO的度数．
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．
（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标． （4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，?OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，?OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点
P沿这两边运动时，使?OPQ?90?的点P有几个？请说明理由．
3
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y C 30 S B Q P D 10 O x O 5 t （第29题图①）A （第29题图②）
解: （1）∠BAO?60?．
（2）点P的运动速度为2个单位/秒． （3）P(10?t，3t)（0≤t≤5）
?S?12(2t?2)(10?t) ?????t?9?21212???4． ?当t?92时，S有最大值为1214， 此时P??1193??2，2??． ??（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ?90?的点P有2个． ①当点P与点A重合时，∠OPQ?90?，
当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，
作∠OPM?90?交y轴于点M，作PH?y轴于点H，
由△OPH∽△OPM得：OM?2033?11.5， 所以OQ?OM，从而∠OPQ?90?．
所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ?90?的点P有1个． ②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ?12?1033?17.8． 4
y Q M BC H ( P) D O A x 第29题图①