指数函数及其性质

一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念

1、如果x?a,a?R,x?R,n?1，且n?N?，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a

的n 次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号?na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

2、式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n 为偶数时，a?0．

3、根式的性质：(na)n?a；当n为奇数时，

nnnan?a；当n为偶数时，

?a (a?0)． an?|a|???a (a?0) ?mn（二）分数指数幂的概念

1、正数的正分数指数幂的意义是：a?nam(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的正分数指数幂等于0． 2、正数的负分数指数幂的意义是：a分数指数幂没有意义．

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a0=1 (a ?0) a?p ? 1/ap (a?0；p?N?) 4、指数幂的运算性质

? mn1m1?()n?n()m(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的负aaar?as?ar?s(a?0,r,s?R) (ar)s?ars(a?0,r,s?R) (ab)r?arbr(a?0,b?0,r?R)

5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念

一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 1 指数函数的定义是一个形式定义； 注意：○

2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． ○

三、指数函数的图象和性质 函数名称 定义 xx指数函数 函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数 a?1 y0?a?1 y?ax y?axy图象 y?1 (0,1)Oy?1 O(0,1) x 定义域 xR 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在R上是增函数 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) （0,+∞） 图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1． 非奇非偶 在R上是减函数 y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0) 在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴； 在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x轴． x在第一象限内，a越大图象越高，越靠近a变化对 y轴； 图象影响 在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)] （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R （3）对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)，总有f(1)?a （4）当a?1时，若x1?x2，则f(x1)?f(x2) 四、底数的平移

对于任何一个有意义的指数函数：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

即“上加下减，左加右减”

五、幂的大小比较

常用方法（1）比差（商）法：

（2）函数单调性法；

（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B

与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y1=34,y2=35

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：y1=（1/2）4,y2=34,

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较 ①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、

1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与

x“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向时，ax大于1，异向时ax小于1.

对数函数及其性质

一、对数与对数的运算 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果ax?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：

x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式）

说明：① 注意底数的限制a?0，且a?1；

②a?N?logaN?x； ③注意对数的书写格式．logaxN

两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数lgN；

② 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

ab＝ N?logaN＝ b

底数 指数 对数 （二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么：

M?logaM－logaN； N1M3 logaMn?nlogaM (n?R)． ④ logMn?loga○ anlogbab⑤ loga?b ⑥ aa?b

2 loga① loga(M·N)?logaM＋logaN；○

⑦ loga1=0 ⑧ log a a=1 ⑨ a log a N=N ⑩ log a a b=b 注意：换底公式

logab?logcb（a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）．

logca1n． logab； ②logab?logbam推论(利用换底公式) ①logambn?二、对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函

数的定义域是（0，+∞）．

注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?2log2x，

y?log5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 5② 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)．

三、对数函数的图像和性质： 函数名称 定义 对数函数 函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 yx?10?a?1 yx?1y?logax 图象 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 O(1,0)y?logax (1,0)xOx (0,??) R 图象过定点(1,0)，即当x?1时，y?0． 非奇非偶 在(0,??)上是增函数 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) logax?0(x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对图象影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． 在第一象限内，a越大，图象越靠近x轴 在第一象限内，a越小，图象越靠近x轴 在第四象限内，a越大，图象越靠近y轴 在第四象限内，a越小，图象越靠近y轴 四、对数的平移、大小比较与指数函数类似

反函数

一、反函数定义

设函数y?f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y?f(x)中解出x，得式子x??(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x??(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x??(y)表示x是y的函数，函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数，记作