【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论： （1）一个正方体可以内接一个正四面体；
（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径． 则球的半径R=
，
∴球的表面积为3π， 故选：A．
【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为体的对角线长
二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分） 13．（4分）（2003?全国）在字作答）
【考点】DA：二项式定理．
a，外接球直径等于长方
a．
的展开式中，x3的系数是 ﹣
（用数
【专题】11 ：计算题． 【分析】首先根据题意，写出
的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，
将其代入二项展开式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，对于有Tr+1=C99﹣r?x9﹣r?（﹣令9﹣2r=3，可得r=3， 当r=3时，有T4=﹣故答案﹣
．
x3，
，
）r=（﹣）r?C99﹣r?x9﹣2r，
【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．
14．（4分）（2003?全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是 （﹣1，0） ．
【考点】4H：对数的运算性质；7E：其他不等式的解法．
【专题】13 ：作图题；44 ：数形结合法．
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【分析】在坐标系中画出函数f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，图象，结合图象判定即可．
【解答】解：利用作图法可以判断f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1， 相交于（﹣1，0）前者是单调递减，后者是单调递增． 所以只有﹣1＜x＜0时，log2（﹣x）＜x+1成立 故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查对数函数的图象，数形结合法解不等式，是中档题．
15．（4分）（2003?全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种．（以数字作答）
【考点】D5：组合及组合数公式．
【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；32 ：分类讨论．
【分析】分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．
【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43?A33=24种 4色全用时涂色方法：C21?A44=48种 所以不同的着色方法共有72种． 故答案为：72
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【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．
16．（4分）（2003?全国）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是 ①④⑤ （写出所有符合要求的图形序号）．
【考点】LS：直线与平面平行．
【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．
【分析】能得出l⊥面MNP，关键是看平面MNP中有没有与1垂直的直线，逐一判断即可．
【解答】解：如图，设正方体为ABCD﹣A1B1C1D1．
在题图①中，连结AB1，则AB1⊥MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影， ∴l⊥MN．同理，l⊥MP． ∴l⊥平面MNP．故①符合．
在题图②中，延长MP交C1D1的延长线于E，连结NE，若l⊥面MNP，则l⊥NE．
又C1D是l在平面CDD1C内的射影，CD1⊥C1D， ∴l⊥CD1．∴l⊥平面CDD1C1，矛盾．∴②不符合．
在题图③中，平面MNP与题图①中的平面MNP不是同一平面，它们又过同
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一点，
∴题图③不符合．
在题图④中，l⊥MP，l⊥MN，
∴l⊥平面MNP．延长PM交AB于F，取CD的中点G，则GN∥MP，
∴G∈平面MNP．连结FG交BC于H，则H∈平面MNP，可证H是BC的中点． ∴题图④与题图⑤中的平面MNP实为同一平面． ∴⑤也符合． 答案：①④⑤
【点评】点评：本题要先想象直观判断哪些图形符合，再加以推理，考查了空间想象能力、反证法、线面的位置关系等知识，通过这个试题可看出试题在向增加思维量、综合考查同学们的各种能力转化．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2003?全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．
【考点】A1：虚数单位i、复数；87：等比数列的性质；A8：复数的模．
【专题】11 ：计算题．
【分析】本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．
【解答】解：设z=（rcos60°+rsin60°i）， 则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2=|z|?|z﹣2|， 即：（z﹣1）（﹣1）=|z|∴r2﹣r+1=r
整理得r2+2r﹣1=0． 解得r=
﹣1，
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，