2003年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2003?全国）已知x∈（﹣A．
B．﹣
C．
D．﹣
，0），cosx=，则tan2x等于（ ）
2．（5分）（2003?全国）圆锥曲线A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 3．（5分）（2003?全国）设函数
的准线方程是（ ） D．ρsinθ=2
若f（x0）＞1，则x0的取值
范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） ﹣1）∪（1，+∞）
4．（5分）（2003?全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（ ） A．
B．
C．
D．2
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，
5．（5分）（2003?全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为A．
B．
C．
时，则a等于（ ） D．
6．（5分）（2003?全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A．2πR2
B．
C．
D．
7．（5分）（2003?全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（ ） A．1
B． C． D．
，0），直线
8．（5分）（2003?全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（
y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（ ）
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A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
的反函数f﹣1（x）=
9．（5分）（2003?全国）函数f（x）=sinx，x∈（ ）
A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1] B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]
C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1] D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]
10．（5分）（2003?全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（ ） A．（，1）
B．（，）
C．（，）
D．（，）
等于（ ）
11．（5分）（2003?全国）A．3
B． C． D．6
12．（5分）（2003?全国）棱长都为球的表面积为（ ） A．3π B．4π C．3
D．6π
的四面体的四个顶点在同一球面上，则此
二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分） 13．（4分）（2003?全国）在作答）
14．（4分）（2003?全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是 ． 15．（4分）（2003?全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）
的展开式中，x3的系数是 （用数字
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16．（4分）（2003?全国）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2003?全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．
18．（12分）（2003?全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．
19．（12分）（2003?全国）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．
20．（12分）（2003?全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
方向300km的海面P处，并以
20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为
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60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（12分）（2003?全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE
与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．
22．（14分）（2003?全国）（1）设{an}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6
9 10 12
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ …
①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； ②求a100
（2）设{bn}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排
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