习题1.2

1. 按行列式定义,计算下列行列式(要求写出过程): (1)

aa20abb2; (2)

1logbatan?; (3)

logab11sin?; cos?01?11111a000. e(4) b00dc; (5) 10?1?1; (6) 0b0d分析 计算2阶行列式和3阶行列式可用对角线法则. 解 (1)

aa2bb2=ab?ba;

22 (2)

1logabtan?10alogba1=1?logbalogab?1?1?0;

(3)

sin?=tan??cos??sin??0; cos?0c=0?0?0?ac?0?0?bd?0?0?0?ab?0?0?cd?0; 0?1111?1=1?1?1?(?1)?(?1)?(?1)?1?1?1?1?1?(?1) 1 (4) b00d1 (5) 1?1 ?(?1)?1?1?1?(?1)?1?1?1?1?1?1?1?4;

a(6) 000bc=abe?0c0?00d?0b0?cda?00e?abe?acd. e0d2. 在6阶行列式aij中, 下列项应该取什么符号? 为什么? (1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a54a11a66a25; (3) a21a53a16a42a65a34; (4) a51a13a32a44a26a65. 解 (1) 因?(234516)??(312645)?4?4?8, 所以取正号;

另一种方法是: a23a31a42a56a14a65=a14a23a31a42a56a65, 因?(431265)?6, 所以取正号. (2),

(3), (4) 也可这样做, 不再列出.

(2) 因?(345162)??(234165)?7?4?11, 所以取负号; (3) 因?(251463)??(136254)?6?5?11, 所以取负号; (4) 因?(513426)??(132465)?6?2?8, 所以取正号.

3. 当i?___, k=___时a1ia32a4ka25a53成为5阶行列式aij中一个取负号的项,为什么? 解

i和k只能取

1,4或者

,?4,1.不妨先假设i?1k4, 则

a1ia32a4ka25a53=a11a32a44a25a53, 这个项的符号就是(?1)?(13425)??(12453)?(?1)4??1, 不符

合要求. 那么当i?4,k?1时a1ia32a4ka25a53=a14a32a41a25a53, 它和a11a32a44a25a53相比就是交换了列指标1和4的位置, 因?(12453)与?(42153)相比改变了奇偶性, 所以. 故应填i?4,k?1. a14a32a41a25a的符号为负534. 若(?1)?(4k1i5)??(12345)a41ak2a13ai4a55是5阶行列式aij中的一项, 则当i?___,

k=___时该项的符号为正, 当i?___, k=___时该项的符号为负, 为什么?

解 此问和问题3类似, i和k只能取2,3或者3,2.不妨先假设i?2,k?3, 则符号为

(?1)?(43125)??(12345)=(?1)5?(?1), 所以取的是负号. 那么由问题3的分析可知当i?3,k?2时符号取正. 所以当i?3,k?2时该项的符号为正, 当i?2,k?3时该项的符号为负.

5. 写出4阶行列式aij中包含因子a42a23的项, 并指出正负号.

解 参照习题1.1的第6题知, 4阶行列式aij中包含因子a42a23的项有a11a23a34a42和

a14a23a31a42. 由于?(1342)?2，故a11a23a34a42取正号; ?(4312)?5，故a14a23a31a42取

负号.

6. 写出4阶行列式aij中所有取负号且包含因子a23的项. 解 类似于第5题可推知, 4阶行列式中包含a23的项为

?) 1取负号; a11a23a32a44 ?(1324?) 2取正号; (也可由(1)取负号推知(2)取正号) a11a23a34a42 ?(1342? 3取负号; a12a23a34a41 ?(2341)取正号; (也可由(3)取负号推知(4)取正号) ?) 2a12a23a31a44 ?(2314取负号; ?) 5a14a23a31a42 ?(4312取正号. (也可由(5)取负号推知(6)取正号) ?) 6a14a23a32a41 ?(4321所以所求的项为a11a23a32a44, a12a23a34a41, a14a23a31a42.

7. 按行列式定义, 计算下列行列式((4)中n?1, 并均要求写出计算过程):

?1(1) a0a0?20; (2)

0b?300100c00b00a12a22?00; 0d?a1,n?1?a2,n?1?00?a1n0?. 00a1a2a3b3000a4b4000a5a11b1b2(3) c1c2d1d2e1e2a21b50; (4) ?an?1,10an10?101an?1,2?0解 (1)由对角线法则, a0?20=(?1)?(?2)?(?3)?0?0?0?1?ab?1?(?2)?0

b?3 ?(?1)?0?b?0?a?(?3)?(?6)?ab?ab?6; (2) 根据定义aij4?4=

j1j2j3j4?(?1)?(j1j2j3j4)a1j1a2j2a3j3a4j4.

a0在行列式

0000c00b0000的通项中, 只有a11a23a32a44这一项的因子中不含零, 所以 0d原式=(?1)?(1324)a11a23a32a44=?a11a23a32a44=?abcd. (3) 根据定义aij=

5?5j1j2j3j4j5?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5.

a1a2a3a4a5b1b2在行列式c1c2d1d2e1e2b3b4b5000的通项中每一个项a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5中最后三个因子000000a3j3,a4j4,a5j5分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数, 而行列式最后三行中均只有

二个数不为零, 所以这三个因子中至少一个取零. 这样行列式的每一项中都含有因子零, 所以每项都为零, 从而行列式为零.

(4) 根据定义aij=

n?nj1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn, 该展开式通项a1j1a2j2?anjna11a21中anjn取自

a12a22?0?a1,n?1a1n?a2,n?1?00?0?的第n行, 现在第n行中除了an1外其余元素都

00?an1an?1,1an?1,2?为零. 故若jn?1, 则对应的行列式展开式中的那一项一定为零, 求和时可不考虑. 因此只要考虑jn?1的项. 同样对于行列式的第n?1行中除了an?1,1和an?1,2外其余元素都为零, 且因jn?1, 从而jn?1只能取2了. 依次类推, 行列式展开式的所有项中除去列指标

j1j2?jn?n(n?1)?1对应的项外都为零. 又因为?(n(n?1)?1)?=(?1)1n(n?1)21n(n?1), 所以原式2a1na2,n?1?an?1,2an1.

a110a22a3200a23a330a140=a11a22a33a44?a14a23a32a41 0a4400a418. 问

为什么错? 正确答案是什么?

解 错, 原因在于没有搞清楚4阶行列式定义而把2,3阶行列式的对角线法则误认为对4阶行列式也成立. 4阶和4阶以上的行列式没有对角线法则. 正确答案为:

a11a22a33a44?a14a23a32a41?a11a23a32a44?a14a22a33a41.

具体解法可参考习题1.4第5题之(3).

9. 若n阶行列式D?aij中元素aij(i,j?1,2,?,n)均为整数, 则D必为整数, 这结论对不对? 为什么?

解 对. 行列式的值是行列式中取自所有不同行不同列的元素乘积的代数和, 而整数经

加,减,乘之后仍然为整数.

00?0?10?. 0000??1??10. 计算n(n?1)阶行列式?0?1?0?10?0解 方法一 该行列式的展开式只有一项不为零, 即a1na2,n?1?an1, 而该项带有的符号为(?1)?(n(n?1)?1)?(?1)n(n?1)2, 所以原式=(?1)n(n?1)2?(?1)?(?1)nn(n?1)2.

方法二 直接利用第7题第(4)小题的结论得: 原式=(?1)

n(n?1)2?(?1)?(?1)nn(n?1)2.