练习4.2 方差
一、填空
1. 设X为随机变量，且E（X）?1,E(X2)?2,则D(X)?_______. 2. 设X~N(0，?2)，则D(aX?b)?_______.
（X）?2.4,D（X）?1.44,则二项分布的参数3. 已知随机变量X服从二项分布，且En? , p? 。
（X）存在，且E4. 设随机变量X的期望E（X）?a,E（X2）?b,c为常数，则
D（cX)? . （X）?3，D（X）?5. 设随机变量X服从某一区间上的均匀分布，且E度为 , P{X?2}? , P{1?X?3}? .
1，则X的概率密3（X）? , 6. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},则ED（X）? .
（X）? . 7. 设X为一随机变量，若D(10X?1)?10,则DX2X21?1)?2?1)?,则8. 设随机变量X的期望EX为一非负值，且E(,D(222E（X）? 。
29. 若随机变量X~N(?,?),则Y?X?3服从 分布。 231??010. 若随机变量X1,X2,X3相互独立，且服从相同的两点分布?则X??Xi服?，
i?1?0.80.2?（X）? , D（X）? . 从 分布，且E二、设随机变量X的分布律为P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,,其中0?p?1为常数，
（X）求D。
?x?x2?2e2?,x?0（X）三、设随机变量X的概率密度为f(x)???，其中??0的常数，求D。
?0, x?0?四、（1）设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E（Xi）?i,D(Xi)?5?i,i?1,2,3,4,设
2Y?2X1?X2?3X3?1（Y）X4,求D.
222(2)设随机变量X与Y相互独立，且X~N(720,30),Y~N(640,25),求
Z1?2X?Y,Z2?X?Y的分布。
五、证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.
六、设(X,Y)的联合分布律如下表所示，求E(X?Y),E(XY),D(X?Y),D(XY). 1 2 3 Y X -1 0 0 2/15 1/15 5/15 3/15 4/15
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练习4.3 协方差与相关系数
一、填空
（Y）?9，?XY?0.5，则D(2X?3Y)? . 1. 设D(X)?4，D(XY?)2. 设两随机变量X与Y的方差分别为25和16，相关系数为0.4，则D2D(X?2Y)? 。
? ；
3. 设X与Y是两相互独立的随机变量，其概率分布分别为：X~N(0,1),Y在（?1，1）上服从均匀分布，则cov(X,Y)= 。
4.如果存在常数a,b(a?0),使P{Y?aX?b}?1,且0?D(X)???,那么为 。
5. 如果X与Y满足D(X?Y)?D(X?Y),则必有X与Y 。 二、设随机变量(X,Y)具有概率密度f(x，y)???XY?1, |y|?x,0?x?1,求cov(X,Y)。
0, 其它 ?三、设随机变量X与Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求D(X?Y)及D(X?Y).
?四、已知三个随机变量X、Y、Z中，E(X)D(X)?D(Y)?D(Z)?1,E(W),D(W).
E(Y?)E1(Z)?? 1,,求
?XY?0,?XZ?,?YZ??1212,设W?X?Y?Z?122?, x?y?1五、设随机变量(X,Y)具有概率密度f(x，y)???,试证X与Y是不相关
??0, 其它 的，但是X与Y不是相互独立的。
（X）?20, E(Y)?3, E（Y）?34, 六、设X与Y是两个随机变量，已知E(X)?2, E22?XY?0.5,
求：（1）E(3X?2Y)，E(X?Y);（2）D(3X?2Y)，D(X?Y). 七、假设随机变量X在区间[0,2]上均匀分布，求X与|X-1|的相关系数?
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第五章 大数定律和中心极限定理
一、设随机变量X的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率P{|X?E(X)|?7.5}的值。
二、设某批产品的次品率为p?0.1,现从这批产品中随机地抽取1000件，求抽得次品数在90到100件的概率。
三、设某单位有200台电话机，每台电话大约有5%的时间要使用外线通话，若每台电话是否使用外线是相互独立的，问该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用。 四、设一大批电子元件中，合格品占
1，从中任意选购6000个，试问把误差?限定为多少6时，才能保证合格品的频率与概率之差的绝对值不大于?的概率为0.99？此时，合格品数在哪个范围内？
五、如果?(x)为正的单调递增函数，而E[?(|X|)]?m存在，试证明P(|X|?t)?m. ?(t)六、掷均匀硬币4000次，求正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过0.01的概率。 七、设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？
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