以MN为直径的圆上，且
23，求k的取值范围. ?e?22??2??2x2y2,???. 【答案】（1）（2）???,???1；?U?44123????【解析】 【分析】
（1）由椭圆的离心率求出a、b的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点A?x1,y1?、B?x2,y2?，联立直线y?kx与椭圆的方程，列出韦达定理，由题意得出AF2?BF2，
uuuuruuuur可得出F2A?F2B?0，
【详解】
（1）由题意得c?3，
c3，?a?23. ?a22x2y2又因为a?b?c，?b?3，所以椭圆的方程为??1；
123222?x2y2?1??222222（2）由?a2b2，得?b?ak?x?ab?0.
?y?kx??a2b2设A?x1,y1?、B?x2,y2?，所以x1?x2?0，x1x2?2， 22b?ak依题意，OM?ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2?BF2.
uuuuruuuur因为F2A??x1?3,y1?，F2B??x2?3,y2?，
uuuuruuuur2所以F2A?F2B??x1?3??x2?3??y1y2??1?k?x1x2?9?0.
即
?a2?a2?9??1?k2?a2k2??a2?9?a4?18a2?8181?9?0，将其整理为k?. ??1?4242?a?18aa?18a2因为
23，所以23?a?32，12?a2?18. ?e?222??2??21??,?,+??. 所以k?，即k???U???448????【点睛】
本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，考查计算能力，属于中等题.
19．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是??x?1?2cos?(?为参数)，以原点O为极点，x轴
?y?2sin???正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为?cos???(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
????2. 4?(Ⅱ)已知直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，求PA?PB. 【答案】（1）(x－1)2＋y2＝4,直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3. 【解析】 【分析】
(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于t的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解. 【详解】
(1)由曲线C的参数方程
(α为参数)
(α为参数)，
两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4； 由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.
ρcosθ－ρsinθ＝2，
(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)．
|PB|＝|t1|·|t2|， 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·
将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，
t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3. 则Δ>0，由韦达定理可得t1·20．已知函数f(x)?ax(a?0). ex（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a?1时，如果方程f(x)?t有两个不等实根x1,x2，求实数t的取值范围，并证明x1?x2?2. 【答案】（1）当a?0时，f(x)的单调递增区间是(??,1)，单调递减区间是(1,??)；当a?0时，f(x)的单调递增区间是(1,??)，单调递减区间是(??,1)；（2）?0,?，证明见解析. 【解析】
??1?e?【分析】
（1）求出f(x)，对a分类讨论，分别求出f(x)?0,f(x)?0的解，即可得出结论；
???（2）由（1）得出f(x)?t有两解时t的范围，以及t,x1,x2关系，将x1?x2?2，等价转化为证明
?x1?x2??ex?x12?1?ex1?x2?1mm?2，不妨设x1?x2，令m?x1?x2，则m?0,e?1，即证(m?2)e?m?2?0，
构造函数g(x)?(x?2)e?x?2(x?0)，只要证明对于任意x?0,g(x)?0恒成立即可. 【详解】
（1）f(x)的定义域为R，且f?(x)?xa(1?x). xe由
1?x1?x?0?0，得x?1. ，得；由x?1xxee故当a?0时，函数f(x)的单调递增区间是(??,1)， 单调递减区间是(1,??)；
当a?0时，函数f(x)的单调递增区间是(1,??)， 单调递减区间是(??,1).
（2）由（1）知当a?1时，f(x)?x1f(x)?f(1)?. ，且maxexe当x?0时，f(x)?0；当x?0时，f(x)?0.
?当0?t?1时，直线y?t与y?f(x)的图像有两个交点， e?实数t的取值范围是?0,?. Q方程f(x)?t有两个不等实根x1,x2，
??1?e??x1x2?t?t，?x1?tex1，x2?tex2， ，x1x2eex1?x2. x2e?e?x1?x2?t?ex1?ex2?，即t?xx要证x1?x2?2，只需证te1?e2?2，
??x1?x2??ex?即证
e?ex11?ex2?x2?2，不妨设x1?x2.
令m?x1?x2，则m?0,em?1，
则要证
m?em?1?em?1m?2，即证(m?2)e?m?2?0.
令g(x)?(x?2)e?x?2(x?0)，则g?(x)?(x?1)e?1. 令h(x)?(x?1)e?1，则h?(x)?xe?0，
xxxx?h(x)?(x?1)ex?1在(0,??)上单调递增，?h(x)?h(0)?0.
?g?(x)?0，?g(x)在(0,??)上单调递增， ?g(x)?g(0)?0，即(x?2)ex?x?2?0成立，
m即(m?2)e?m?2?0成立.?x1?x2?2.
【点睛】
本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 21．已知函数
（1）讨论（2）当
的单调性； 时，
，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．对a分类讨论，即可得出单调性． （2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，当x=-1时，0≤-+1恒成立．当x＞-1时，a
令g（x）
=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【详解】 解法一：（1）①当
时，
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