1．李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。 解：（1）5000×（1+4×10%）=7000（元） （2）5000×（1+10%）4.33=7556.8（元）

2．把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年末的存款累计额。

解：5000（1+8%）5×（1+11%）5=12385（元）

3．李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利11%下1990年1月1日的现值。（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。 解：（1）10000×（1+11%）-4=5934.51（元） （2）10000×（1-11%）4=6274.22（元）

4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴ i(2)，⑵ i, ⑶ d(3)。

i(2))?1200；所以i(2)??0.4 解：⑴ 1000?(1?2i(2)2)；所以i?0.44 ⑵1?i?(1?2(n)i(m)md?1?n(1?)?1?i?(1?d)?(1?)⑶；

mnd(3)3?1(3)(1?)?(1?i)?0.34335 所以， ；d3

5．当n?1时，证明：d证明：①d因

?d(n)???i为

(n)?i。

，

?d(n)

(n)(n)(n)d(n)nddd0122331?d?(1?)?Cn?1?Cn??Cn?()?Cn?()??

nnnn?1?d(n)d?d所以得到，；

②

(n)

d(n)??

(n)d?m(1?e(n)??m)；e??m?1??C?()?C?()?C?()???1?mmmmm

?2n?23n?34n?4?

所以，d?m[1?(1??m)]??(n)??i③

(n)i(n)ni[1?]?1?i， 即，n?ln(1?)?ln(1?i)??nn

?所以，i(n)?n?(en?1)

?e?1?n?C?()?C?()?C?()???1?

mmmmm??2n?23n?34n?4?i(n)?n[(1?)?1]??

n④

i(n)(n)?i

(n)(n)(n)iiin0122(n)in[1?]?C?1?C??C?()???1?i[1?]?1?i，nnn

nnnn所以，

i(n)?i

m6．证明下列等式成立，并进行直观解释： ⑴

am?n?am?van1?vm?n?i；

nmm?n1?vmm1?vv?vm?va?v?ni，ii解：am?na，m

mmm?n1?v?v?vma?van??am?n所以，mi

a?a?vsm?nmn⑵

a解：m?n1?v?im?n，

m；

am1?v?immm?nv?vm?vsn?，

i

mmm?n1?v?v?vma?vsn??am?n所以，mi

⑶

sm?n?sm?(1?i)anm；

nm?nm(1?i)m?1(1?i)?1(1?i)?(1?i)mms?(1?i)s?(1?i)?解：m，niii

mm?nm(1?i)?1?(1?i)?(1?i)ms?(1?i)an??sm?n所以，mi⑷

sm?n?sm?(1?i)anm。

解：（同上题）略。

7．某人今年30岁， 其计划每年初存300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%，后20年为12%，求每年能取的养老金额。

20s?s?(1?i)?s20210解：3010(1?i1)10?1(1?i)?1202??(1?i2)?

i1i2所以60岁时存款有

300?s30?59759.5（元）

，可得X=7774.12（元）

X?a?s由此知，2020

8．某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第2年起，每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续下去。假设存款的利率为8%，求每次能够提取的最大金额。

1X?A??X??5000?s20?228809.82。所以X解：

i

?18304.79（元）

9．证明：

⑴

an?i?an?s1?an；

证明：

an?1?vn??i1?vnii????ani??，所以

s1?(1?i)?1??an?s1?an；

a?n⑵

1?e?n??an?1?vn?en??1?(1?i)?n?。

n?1?(e)??n??1?e?n?

?sn?⑶

?1(e)?1?n??证明：

sn?(1?i)?1???en??1

?

10．假设每年第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元时不在增加，并一直保持每年1000元的水平连续收付。假设年利率为12%，求这一年金的现值。

a?100a1?100(Ia)9?1000a?解：

?100(1?i)?100?1??8?8(1?i)?8ai19

?1000??v?4362.94i

1．依据生命表的基础填充下表：

x

0 1 2 3 4 5 6

lx

1000 (900) 750 (600) 300 (120) 0

dx

100 (150) (150) (300) (180) (120)

px

0.9 (5/6) 0.8 (0.5) (0.4) (0)

qx

0.1 (1/6) (0.2) (0.5) 0.6 (1)

x)，计算： 3.已知lx?1000(1?120⑴l0，l120，d33，20p30，30q20；

⑵25岁的人至少再活20，最多活25年的概率； ⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。

1200)?0l?1000(1?)?1000l120?1000(1?0解：⑴120；d33?l33?l34?1000?125120?3

p?l502030?7?l20?l50l；30q20309l?0.320

⑵205q?l45?l50125l?

2519⑶55p?(l8038325l)?(19)?0.07464644925

4．若lx?100000(c?xc?x)，l35?44000，求：⑴c的值；

⑵生命表中的最大年龄； ⑶从出生存活到50岁的概率；

⑷15岁的人在40～50岁之间死亡的概率。

解：⑴l?100000(c?3535c?35)?44000。所以，c=90

⑵lx?100000(90?x90?x)?0，所以，??90 l504⑶50p0?l? 013⑷2510q15?l40?l50l?2。

153

120

5．证明并作直观解释：

⑴nmqx?npx?n?mpx；

lx?n?lx?n?mlx?nlx?n?mq????npx?n?mpx

证明：nmxlxlxlx⑵

nqx?npx?qx?n；

lx?n?lx?n?1lx?nlx?nlx?n?1qx?????npx?qx?n

lxlxlxlx?n证明：n⑶n?mpx?npx?mpx?n。

lx?n?mlx?nlx?n?m???npx?mpx?nn?mpx?证明： lxlxlx?n

6．证明：

⑴

????x0??xlx?t?x?tdt?lxt；

⑵

0px?x?tdt?1；

?p?p?(???)txtxxx?t⑶；

?x?px??tpx??x?tt⑷。

?t证明：⑴⑵

???x0lx?t?x?tdt?lx?0?lx???x?lx?l??lx

???xt0px?x?tdt????x0lx?t?1?1??xdlx?t???lxlx?tlx01dlx?t?1??(lx???x?lx)?1lx；

Dlx?t?lx?Dlx?lx?t??lx?t()?tpx??x?xlx(lx)2⑶

Dlx?tDlx?tlx?tDlx?tDlx???(?)?tpx?(?x??x?t)

lxlxlxlx?tlxDlx?tlx?tDlx?t??lx?t()?????tpx??x?ttpx??⑷?t。 ?xlxlxlxlx?t7．分别在死亡均匀分布，死亡力恒定和鲍德希假设下，用课本附表1给出的生命表计算： 14⑴

q25；⑵51q402?；⑶

150。

3解：⑴14略。

q25?1?tpx??t?q251d25116.9802????0.000305754l254?95650.15

8．若l40?7746，l41?7681，计算⑴死亡均匀分布假设； ⑵鲍德希假设； ⑶假设lx?140： 4?1000100?x

14解：⑴

?40q40??0.008409068?1?t?q40；

xqnxqn?1404???tpx?e???t⑵

可令t?1,pxl41??e??l40

???0.008426834?⑶

4014qx??0.0084445731?(1?t)qx与n无关。

。

9．证明在鲍德希规律下，

?s(x)?1?证明：

x?

ns(x?n)?s(x?n?1)1qx??s(x)??x与n无关。

所以，

1某人10岁买了定期生存保险，这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金，以附表2转换函数值计算这一年金现值。

N10?8?1?N10?8?8?12000?88a10?2000?2000?0.22775?455.5（元） 解：

N102．证明下列等式成立，并解释其含义。

⑴

??x?1ax?vpxa；

Nx?1Nx?Dx??x?1?vpxa??x?1ax???a证明： DxDx⑵

??x?1?vpxa??x?1； a证明：

??x?1?vpxa??x?1a??x?1?vpxa??x?1a

所以，

??x:n?ax:n?(1?nEx)a⑶；

ax:n证明：

Nx?1?Nx?n?1DX?nNx?1?Dx?(Nx?n?1?DX?n)?(1?nEx)??(1?)?DxDxDx

Nx?Nx?n??x:n??aDxn⑷

nax?v?npx?ax?n；

n证明：

Nx?n?1Nx?n?1Nx?n?1nax??nEx??v?npx??vn?npx?ax?nDxDxDx?n nExm；

a?a?v?p?amxx:n?mx:mx?m:n⑸

证明：

ax:n?max:m?Nx?1?Nx?n?m?1?DxNx?1?Nx?m?1DxNx?m?1?Nx?m?n?1Nx?m?1?Nx?m?n?1?Dx?mDxNx?1?Nx?m?1Nx?m?1?Nx?m?n?1Nx?1?Nx?m?n?1????ax:n?mDxDxDx

vm?mpx?ax?m:n?mEx?m?ax:m?v?mpx?ax?m:n⑹

??x?(1?i)ax?1px?1?a

Nxpx?1?Nxpx?1?Nx??x?px?1?p?a???(1?i)ax?1 x?1证明：

Dx1Ex?1?Dx?1v?px?1?Dx?1

3．某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购买了每月给付k元的生存年金。假设购买后次月开始给付，求k值。

12?11112k?a?12k?(a50?)?12k?(12.26683?)?500002?1224解：

k?338.62(12)50

4．给付50岁的人每月200元，第一次从60岁开始，共付10年的生存年金转换函数表达式。

解：

2400?1010a(12)50?2400?10E50?a60:10(12)13?2400?10E50?(a60??a70)

247．以转换函数表达下面变动年金的现值。对（x）第一年末给付1000元，以后每年比上年增加给付500元，，当年给付金额达到5000元时，又以每年1000元的幅度递减，直到1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止。

解：

500v?500(Ia)x:8?1000?v(Da)x?9:4?1000?v?ax?14

p?x?(1?r)px，证明以利率i和p?x为基础计算的终身年金

9148．假设对所有x，有现值与以i??'i?r和px为基础计算的终身年金现值相等。 1?r解：以i,px为计算基础

1t'''ax??tEx??v?tp??()?px?px?p?1x?t1?it?1t?1 1tt??()?(1?r)?px?px?1?px?t1?it'x??i?r以i?1?r'、

px计算

1tax??tEx??v?tpx??()?px?px?1?px?t1?it?1t?11?rt

??()?px?px?1?px?t1?it??x),i?0.10，求50岁的人投保100000元终身寿险的精1．假设lx?1000(1?115算现值。

解：

dx?lx?lx?t?11000?(t?1)

1151100000A50?100000?l50

?[vt?0115t?1?(1?t)]

2．某保单规定，若被保险人在投保后20年内死亡，则在第20年末给付1单位保险金，若被保险人在投保20年以后死亡，则在死亡年年末给付1单位保险金。写出对（x）的保单精算现值的表达式。

解：

19?A??(v20tqx)??(vt?1tqx)t?0t?20?v20?(t?019tqx)?20Ax

3．某人在30岁时投保了10000元延期25年的定期寿险，求这一保单的精算现值。

解：

mAx:nMx?m?Mx?m?n??v?tqx?Dxt?mm?nt?1

1000030A25:20所以，

M55?M75?10000D251069.6405?403.7249

?10000?298.8022286.35

4．证明：

证明：

Ax?vqx?vpxAx?1，并说明其意义。

MxMx?1Ax?,Ax?1?,Cx?vx?1?dxDxDx?1Mx?Cx?Mx?1,Dx?vx?lx,Dx?1?vx?1?lx?1,vpxDx?Dx?1Cx?Mx?1vpx(Cx?Mx?1)v?px?Cxv?px?Mx?1?Ax????DxDx?1Dx?1Dx?1lx?1x?1v?.v?dxlxdx??v?px?Ax?1?v?v?px?Ax?1?v?qx?v?px?Ax?1x?1lxv?lx?1即（X）寿险精算现值等于在第一年内死亡赔付vqx，在一年后死亡赔付的精算现值

vpxAx?1之和。

dAx?Ax(?x??)??x，并说明其意义。

5．证明：

dxMxA??证明：xDxdAx?dx??xDy??ydyDx

?d?xDy??ydyDxdx???Dx??xDx??Dy??ydy?Dxx?(Dx)2

???Dxvxlnv?lx?vx?lxlx??Ax??x??Ax??x??Ax(lnv?)??xxDxlxvlx?Ax(?x??)??x

6．假设死亡概率

qx?n变成为qx?n?k（为常数），其他年龄的死亡率不变，试

n?1n证明Ax将增加kv解：

px(1?Ax?n?1)。

?1Ax?lxn?1t?0?vt?0t?1?t?1?dx?t??vt?1?tqxt?0n?1npx?(qx?n?k)?????v?tqxAx?vAxt?n?1t?1v??tqx?v?tqx?kvt?1?n?1npx?t?n?1t?1v??tqx??Ax?vn?1npx?k?kvn?1npx??Ax?vn?1?npx?k(1?t?n?1t?1v??tqx)

t?n?1?Ax?vn?1npx?k(1?Ax?n?1)增加值：

vn?1npx?(qx?n?k)

7．假设ax?15.5，Ax?0.25，求利率i的值。

?(1?i)Ax?1?iax0.25?(1?i)?1?15.5?i解：

1?i?21

8.假设某人从30岁开始投保终身寿险，若在投保第一年死亡，则给付1000元，以后每多活一年后

死亡，给付额增加3000元，达到16000元时，又以每多活一年给付额减少4000元递减，当给付额降为4000元时保持不变。以转换函数的形式写出这一保单的精算现值表达式。

解：

Ax?1000A30:6?3000vp30(IA)131:5?4000v66p30(DA)136:3?4000v99p30A39M30?M36?D36R31?R36?5M36?1000?3000vp30D30D31?4000v

66

3M31?R37?5R40M399p30?4000v9p30D36D39