所以可由余弦定理计算得A1C1＝
7a， 2
所以A1C1∥OC且A1C1＝OC，
故四边形OCC1A1是平行四边形， 所以CC1∥A1O.
又CC1?平面A1BD，A1O?平面A1BD， 所以CC1∥平面A1BD.
111
18．解：(1)S△ABC＝×2×23＝23，三棱锥P-ABC的体积为V＝S△ABC×PA＝×23×2
233＝43
3
.
(2)取PB的中点E，连接DE，AE， 则ED∥BC，
所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角． 在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，
cos∠ADE＝22＋22
－23
2×2×2＝4
，
因此，异面直线BC与AD所成的角的余弦值是3
4
.
19．解：(1)连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点． 又∵E是侧棱SC的中点，∴OE∥SA. 又OE?平面BDE，SA?平面BDE， ∴直线SA∥平面BDE.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，－22，0)，
9
B(0，22，0)，S(0，0，22)，C(－22，0，0)． ∴BD＝(0，－42，0)，BC＝(－22，－22，0)，
→
SB＝(0，22，－22)．
设平面SBC的法向量为n＝(x，y，1)，
?则有??n·→SB＝0，?22y－22＝0，
??n·→即?
BC＝0，?－22x－22y＝0，
解得???y＝1，
?∴n＝(－1?
x＝－1，，1，1)．
直线BD与平面SBC所成的角记为θ，
?→?则sin θ＝?
n·BD??＝42＝3. ?
|n||→BD|??3×42320．(1)证法1：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC且EF＝AD＝BC.
∴四边形EFBC是平行四边形． ∴H为FC的中点．
又∵G是FD的中点，∴HG∥CD. ∵HG?平面CDE，CD?平面CDE， ∴GH∥平面CDE. 证法2：连接EA，
∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点． ∴在△EAB中，GH∥AB. 又∵AB∥CD，∴GH∥CD.
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE， ∴GH∥平面CDE.
(2)解：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，且FA⊥AD， ∴FA⊥平面ABCD.
∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，
∴FA＝2，BD＝4－x2
(0＜x＜2)．
∴S2
?ABCD＝CD·BD＝x4－x.
10
122
∴V(x)＝S?ABCD·FA＝x4－x(0＜x＜2)．
33
(3)解：要使V(x)取得最大值，即使x4－x＝x（4－x）(0＜x＜2)取得最大值，
2
2
2
∵x2(4－x2)≤??x2＋4－x2?2?2?22
?＝4，当且仅当x＝4－x， 即x＝2时V(x)取得最大值．
解法1：在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM，
∵BC⊥ED，∴BC⊥平面EMD. ∴BC⊥EM.
∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角， ∵当V(x)取得最大值时，CD＝2，DB＝2，
∴DM＝12BC＝1，EM＝ED2＋DM2
＝5.
∴sin∠EMD＝ED＝25
EM5
.
即平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角的正弦值为25
5
. 解法2：以点D为坐标原点，DC所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示，
则D(0，0，0)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)， ∴→DE＝(0，0，2)，→EC＝(2，0，－2)，→
EB＝(0，2，－2)， 设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为θ， 平面ECF的法向量n＝(a，b，c)，
由n⊥→EC，n⊥→
EB，得??2a－2c＝0，?c
2b－2＝0.
令c＝1得n＝(2，2，1)．
又∵平面ABCD的法向量为→
DE，
→∴cos θ＝DE·n＝2＝5
，
|→DE||n|2×5
5
11
∴sin θ＝25
5
.
即当V25
(x)取最大值时，平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角的正弦值为5
.
21．(1)解：由题意可知：在四棱锥B-ACDE中，
直观图
平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC， 所以，AB⊥平面ACDE.
又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4， 则四棱锥B-ACDE的体积： V＝11（3S4＋2）×2ACDE·AB＝3×2
×2＝4. (2)证明：连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，
又MN＝AE＝1
2
CD，
所以四边形ANME为平行四边形． 所以AN∥EM.
因为AN?平面CME，EM?平面CME， 所以AN∥平面CME.
(3)证明：因为AC＝AB，N为BC的中点， 所以AN⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCD，所以AN⊥平面BCD. 由(2)知：AN∥EM， 所以EM⊥平面BCD. 又EM?平面BDE，
所以，平面BDE⊥平面BCD.
12