12 光的衍射

参考教材：

5. 钟锡华，《光波衍射与变换光学》，北京：高等教育出版社，1985 6. 梁铨廷，《光学》，广州：广东高等教育出版社，1999 7. 严瑛白，《应用物理光学》，北京：机械工业出版社，1989

8. Goodman J. W., Introduction to Fourier Optics （3rd ed）, McGraw-Hill, Inc.,

2005.

顾德门著，《傅立叶光学导论》，秦克诚等译，北京：电子工业出版社, 2006

12-1 试解释下试：

?(P)? E????E(Q1)rikre?K() ds中各个因子的物理意义。当在菲涅耳近似和夫朗和菲近似的条件下该试如何表达？

(菲涅耳近似条件下：

???ik??ik?exp(ikz1)2222E(x,y)?exp?(x?y)???E(x1,y1)exp?(x1?y1)??z1?2z1??2z1???xy??exp??i2??x1?y1??K(?)dx1dy1?z1????z1?

????ik??exp(ikz1)xy??22E(x,y)?exp?(x?y)???E(x1,y1)exp??i2??x1?y1??K(?)dx1dy1?z1?z1???2z1???z1?)

12-2 波长λ=500nm的单色光垂直入射到边长为3cm的方孔上，在光轴（它通过孔中心并垂直方孔平面）附近离孔z处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。（Z >900mm）

12-3 波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。 （（1）10nm；（2）14.3mm；24.6mm；（3）II0?0.047；II0?0.017）

12-4 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为

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???a??sin(s?in?isin)????????? I?I0??

?a??(si?n?siin)?????2式中，I0是中央亮纹中心强度；a是缝宽；θ是衍射角，i是入射角（见习题12-4图）

（2） 中央亮纹的角半宽度为

? ??? ?cosi 12-5 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为30mm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？（0.126mm）

12-6 用物镜直径为4cm的望远镜来观察10km远的两个相距0.5m的光源。在望远镜前置一可变宽度的狭缝，缝宽方向与两光源连线平行，让狭缝宽度逐渐减

i θ （习题12-4图） 小，发现当狭缝宽度减小到某一宽度时，两光源产生的衍射像不能分辨，问这时狭缝宽度是多少？设光波波长λ=500nm。（1.1cm）

12-7 利用第三节的结果导出外径和内径分别为a和b的圆环（见习题12-7图）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当b=a/2时，（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环

9?的角半径。（（1）；（2）?1?0.51）

16a b a 12-8 求出习题12-8图所示的衍射屏的夫琅和费衍射图样的强度分布。设衍射屏由单位振幅的单色平面波垂直照明。

?2LxLylxly?2Lsinc()sinc()?lsinc()sinc()?) (I(x,y)?2?(?z1)??z1?z1?z1?z1?12 （习题12-7图） 26

y y a O l a O xx b d L （习题12-8图） （习题12-9图） 12-9 求出习题12-9图所示的衍射屏的夫琅和费衍射图样的强度分布。设衍射屏由单位

振幅的单色平面波垂直照明。

?2ab?axby222?dxsinc()sinc()cos()) (I(x,y)????z1?z1?z1??z1?212-10 （1）一束直径为2mm的氦氖激光（??632.8nm）自地面射向月球，已知地面和月球相距3.76?105km，问在月球上得到的光斑为多大？（2）如果用望远镜倒用作为扩束器将该光束扩束成直径为4m的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？(（1）290km；（2）145m)

12-11 若望远镜能分辨角距离为3?10?7rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？

(Dmin?2.24mm；M?900)

12-12 若要使照相机感光胶片能分辨2?m的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米多少线；（2）照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？设光波波长为550nm。（（1）（2）Df?0.34） 500mm；

12-13 一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长λ=400nm时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？设人眼的最小分辨角为1′。(（1）287nm；（2）1.7倍；（3）431倍)

12-14 一块光栅的宽度为10cm，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500mm。 问： (1) 它产生的波长??632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少? (2) 若入射光是波长为632.8nm和波长相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少? (（1）3.34?10mm；4.09?10mm；（2）0.13mm；0.32mm)

?12-15 设计一块光栅，要求 (1) 使波长??600nm的第2级谱线的衍射角??30；(2)

?3?3?1色散尽可能大；(3) 第3级谱线缺级；(4)在波长??600nm的2级谱线处能分辨0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线？(5)

12-16 为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦

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氖激光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz），光栅需要有多宽? (87. 8cm)

12-17 证明光束斜入射时，光栅衍射强度分布公式为

?sin???sinN??I?I0?? ??????sin??22式中

???a?(sin??sini),???d? (sin??sini)

θ为衍射角；i为入射角，见习题12-17图，N为光栅缝数。（2）若光栅常数d???，光栅形成主极大的条件可以写为

(dcosi)(??i)?m?m?0,?1,?2,?

i θ 12-18试用傅里叶变换方法，求出单色平面波以入射角i斜入射到光栅上时（见图11-65），光栅的夫琅和费衍射图样的强度分布。

（习题12-17图） 12-19 有一多缝衍射屏如图11-66所示，缝数为2N，缝宽为a，缝间不透明部分的宽度依次为a和3a。试求正入射情况下，这一衍射的夫琅和费衍射强度分布公式。

(???sin???sin6N??I?4I0?cos2????????sin6??22 3a ，

?asin??)

12-20 一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为77?12?。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长??500nm的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有多大？（3）试同空气间隔为1cm、精细度为25的法布里-珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。

56(（1）?10；（2）???38.5nm；（3）F-P标准具的分辨本领：A?0.97ms?9.7?10 自

a a （习题12-19图） 由光谱范围：0.0125nm)

12-21 设光栅的振幅透射系数为

???t(x)?t0?t1cos2?f0x?t1cos?2?f0x??

2??这块光栅的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑？各斑的中心强度与0级的比值是多少？

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