??y＋2＝k（x－a），2由?2消去y得x－4kx＋4ka＋8＝0， ??x＝4y，
由Δ＝16k－4(4ak＋8)＝0，化简得k－ak－2＝0. 所以k1k2＝－2.
1212
由x＝4y，得y＝x，所以y′＝x. 42设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2. 11
所以k1＝x1，k2＝x2.
221
所以x1x2＝－2，得x1x2＝－8.
4121212
又y1y2＝x1·x2＝(x1x2)＝4，
4416所以x1x2＋y1y2＝－4，为定值． (2)直线PA的垂直平分线方程为 y1－22x1＋a
y－＝－(x－)，
2x12
122
由于y1＝x1，又由(1)得x1－8＝2ax1，
4
ax12x1＋a
所以直线PA的垂直平分线方程为y－＝－(x－)．①
4x12ax22x2＋a
同理，直线PB的垂直平分线方程为y－＝－(x－)．②
4x223a
由①②解得x＝a，y＝1＋，
223a
所以点M(a，1＋)．
22抛物线C的焦点为F(0，1)，
3a→→
则MF＝(－a，－)，PF＝(－a，3)，
22→→3a3a
所以MF·PF＝－＝0，
22
→→
所以MF⊥PF，所以以PM为直径的圆恒过点F.
5．(2017·长沙一模)如图，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Γ过定点B(1，0)，直线l是圆Γ在点B处的切线，过A(－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．
(1)求证：|EA|＋|EB|为定值；
(2)设直线l交直线x＝4于点Q，证明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|. 解析 (1)设AE切圆Γ于点M，直线x＝4与x轴的交点为N，
5
2
222
2
22
故|EM|＝|EB|.
从而|EA|＋|EB|＝|AM|＝|AP|－|PM|＝|AP|－|PB|＝|AN|－|BN|＝25－9＝4. 所以|EA|＋|EB|为定值4.
(2)由(1)同理可知|FA|＋|FB|＝4， xy
故E，F均在椭圆＋＝1上．
43设直线EF的方程为x＝my＋1(m≠0)． 33
令x＝4，求得y＝，即Q点纵坐标yQ＝. mmx＝my＋1，??22
22
由?xy得(3m＋4)y＋6my－9＝0.
＋＝1，??43设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则有y1＋y2＝－
6m9
，y1y2＝－2. 2
3m＋43m＋4
2
2
222222因为E，B，F，Q在同一条直线上，
所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|等价于(yB－y1)(yQ－y2)＝(y2－yB)(yQ－y1)， 33
即－y1·＋y1y2＝y2·－y1y2，
mm3
等价于2y1y2＝(y1＋y2)·.
m
6m9
将y1＋y2＝－2，y1y2＝－2代入，知上式成立．
3m＋43m＋4所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.
解析几何专练(二)·作业(二十四)
p
1．(2017·江西五市联考二)已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点F(，0)(p>0)，过点F的直线l与
2抛物线C交于A，B两点，△OAB面积的最小值为8. (1)求抛物线C的标准方程；
(2)过焦点F作垂直于直线l的直线交抛物线C于点D，E，记AB，DE的中点分别为M，N. (ⅰ)证明：直线MN过定点；
(ⅱ)求以AB，DE为直径的两圆公共弦的中点的轨迹方程．
p2
解析 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y＝2px，直线l的方程为x＝my＋. 2p??x＝my＋，2得y2－2pmy－p2＝0. 由?
??y2＝2px，
6
所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p.
|AB|＝1＋m·（y1＋y2）－4y1y2＝（1＋m）（4pm＋4p）＝2p(m＋1)． 因为点O到直线l的距离d＝
p21＋m
2
2222222
2
，
1122
所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝p·1＋m，
2212
当m＝0时，Smin＝p＝8，所以p＝4.
2所以抛物线C的标准方程为y＝8x.
(2)(ⅰ)由y1＋y2＝8m，得x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝8m＋4， 所以M(4m＋2，4m)．
144
易知m≠0，把m换成－，得N(2＋2，－)．
mmm当直线MN的斜率不存在时，
42
4m＋2＝2＋2，得m＝±1，此时直线MN：x＝6；
m当直线MN的斜率存在时，得直线MN： mx－(m－1)y－6m＝0，过定点(6，0)． (ⅱ)由(ⅰ)得以AB为直径的圆M的方程为 (x－4m－2)＋(y－4m)＝16(m＋1)①
1
易得m≠0，把m换成－得以DE为直径的圆N的方程为
m442122
(x－2－2)＋(y＋)＝16(2＋1)②
mmm
①－②得两圆的公共弦所在直线的方程为(m－1)x＋my＝0，
当直线MN的斜率存在时，将直线MN的方程mx－(m－1)y－6m＝0与公共弦所在直线方程联立，消去m，得两圆公共弦中点的轨迹方程为x＋y－6x＝0(x≠0)．
当直线MN的斜率不存在时，直线MN与公共弦的交点为(6，0)，满足方程x＋y－6x＝0， 故所求公共弦中点的轨迹方程为x＋y－6x＝0(x≠0)．
x2
2．(2017·青岛质检一)已知椭圆Γ：2＋y＝1(a>1)的左焦点为F1，右顶点为A1，上顶点为B1，过F1，A1，
aB1三点的圆P的圆心坐标为((1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k，m为常数，k≠0)与椭圆Γ交于不同的两点M和N. →→
(ⅰ)当直线l过E(1，0)，且EM＋2EN＝0时，求直线l的方程；
3－21－6
，)． 22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7
(ⅱ)当坐标原点O到直线l的距离为解析 (1)∵A1(a，0)，B1(0，1)，
3
时，求△MON面积的最大值． 2
a11
∴A1B1的中点为(，)，A1B1的斜率为－. 22a1a
∴A1B1的垂直平分线方程为y－＝a(x－)．
22∵圆P过点F1，A1，B1三点， ∴圆心P在A1B1的垂直平分线上， ∴
1－613－2a
－＝a(－)， 2222
解得a＝3或a＝－2(舍去)， x2
∴椭圆的方程为＋y＝1.
3(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
x??＋y2＝1，2222由?3可得(3k＋1)y－2my＋m－3k＝0， ??y＝kx＋m，2mm－3k∴y1＋y2＝2，y1y2＝2.①
3k＋13k＋1(ⅰ)由题可知直线l的斜率存在． ∵直线l过点E(1，0)，∴k＋m＝0.② →→
∵EM＋2EN＝0，
∴(x1－1，y1)＋2(x2－1，y2)＝(0，0)， 从而y1＋2y2＝0.③
由①②③可得k＝1，m＝－1或k＝－1，m＝1. ∴直线l的方程为y＝x－1或y＝－x＋1. (ⅱ)∵坐标原点O到直线l的距离为∴
|m|
3322
＝?m＝(k＋1)，④ 2
4k＋12
1
1＋2|y2－y1|＝k
22
2
2
2
3， 2
结合①式|MN|＝
211＋2×k
（y1＋y2）－4y1y2＝
21＋
12×k
2mm－3k2
（2）－4×2，⑤ 3k＋13k＋1由④⑤得|MN|＝
3（k＋1）（9k＋1）
， 22
（3k＋1）
22 8