解析几何专练(一)·作业(二十三)
xy222
1．(2017·成都诊断二)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)，圆O：x＋y＝r(0 ab圆O的一条切线l：y＝kx＋m与椭圆E相交于A，B两点． 1 (1)当k＝－，r＝1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程； 2(2)若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由． 解析 (1)∵直线l与圆O相切，∴15 由k＝－，r＝1，解得|m|＝. 22∵点A，B都在坐标轴的正半轴上， 15 ∴l：y＝－x＋， 22 ∴切线l与坐标轴的交点为(0，∴a＝5，b＝ 5 ， 2 2 2 2 2 |m|k＋1 2＝r. 5 )，(5，0)， 2 x4y ∴椭圆E的方程是＋＝1. 55(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵以AB为直径的圆经过点O， →→ ∴OA·OB＝0，x1x2＋y1y2＝0. ??y1＝kx1＋m， ∵点A，B在直线l上，∴? ?y2＝kx2＋m，? ∴(1＋k)x1x2＋mk(x1＋x2)＋m＝0.(*) y＝kx＋m，??22 22222222222222222 由?xy消去y，得bx＋a(kx＋2kmx＋m)－ab＝0，即(b＋ak)x＋2kmax＋(am－ab)＝0. 2＋2＝1，??ab显然Δ>0， －2kmaam－abx1＋x2＝222，x1x2＝222， b＋akb＋ak am＋amk－ab－abk－2kma＋mb＋akmm（a＋b）－ab－abk 代入(*)式，得＝＝0， 222222 b＋akb＋ak即m(a＋b)－ab－abk＝0. 又由(1)，知m＝(1＋k)r， ∴(1＋k)(a＋b)r＝ab(1＋k)， 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 222 22 222 22 222 222 22 222 2 2 2 22 222 2 22 22 22 1 111∴2＋2＝2. abr 111 故a，b，r满足2＋2＝2. abr 2．(2017·福建质检)已知曲线C上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2. (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点，交圆F：x＋(y－1)＝1于M，N两点(A，M两点相邻)． 12→→ ①若BF＝λBA，当λ∈[，]时，求k的取值范围； 23 ②过A，B两点分别作曲线C的切线l1，l2，两切线交于点P，求△AMP与△BNP面积之积的最小值． 解析 (1)设Q(x，y)为曲线C上任意一点， 因为曲线C上的点Q(x，y)到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2， 所以点Q到点F的距离等于它到直线y＝－1的距离， 所以曲线C是以F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，其方程为x＝4y. (2)依题意，知直线l的方程为y＝kx＋1，代入x＝4y，得x－4kx－4＝0，Δ＝(－4k)＋16>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4. x11→→ ①因为BF＝λBA，所以(－x2，1－y2)＝λ(x1－x2，y1－y2)，所以＝1－. x2λ16k（x1＋x2）x1x21λ ＝＝＋2＋＝1－＋2＋， －4x1x2x2x1λλ－1112 即4k＋2＝－1＋， λ1 －1λ 1211 因为λ∈[，]，所以－1∈[，1]， 23λ2 115222 又函数f(x)＝x＋在[，1]上单调递减，所以4k＋2∈[2，]，即－≤k≤， x2244所以k的取值范围是[－ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ，]． 44 2 xx ②设P(x，y)，因为x＝4y，所以y＝，y′＝. 42x1x1 所以切线PA的方程为y＝(x－x1)＋，① 24x2x2 切线PB的方程为y＝(x－x2)＋，② 241x1x2 由①②，得x＝(x1＋x2)＝2k，y＝＝－1， 24所以P(2k，－1)． 2 2 2 |2k＋2|2 因为点P到直线AB的距离d＝＝21＋k， 21＋k11 S△AMP＝|AM|·d，S△BNP＝|BN|·d， 2212 所以S△AMP·S△BNP＝|AM|·|BN|·d. 4 因为|AM|＝|AF|－1＝y1，|BN|＝|BF|－1＝y2， x1·x2 所以|AM|·|BN|＝y1y2＝＝1， 16d2 所以S△AMP·S△BNP＝＝1＋k， 4 即当且仅当k＝0时，S△AMP·S△BNP取得最小值1. xy 3．(2017·太原一模)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个 ab3 顶点，点D(1，)在椭圆C上，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点 2N和M，且|PM|＝|MN|，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆C于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1. (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． b＝3c，??19 解析 (1)由题意得?＋＝1， a4b??a＝b＋c， 22 22 2 22 ??b＝3，xy解得?2∴椭圆C的方程为＋＝1. 43?a＝4，? 2 2 2 2 2 2 2 (2)存在这样的直线l. m ∵y＝kx＋m，∴M(0，m)，N(－，0)， kmm ∵|PM|＝|MN|，∴P(，2m)，则Q(，－2m)， kk∴直线QM的方程为y＝－3kx＋m. y＝kx＋m，??22 222 设A(x1，y1)，由?xy得(3＋4k)x＋8kmx＋4(m－3)＝0， ＋＝1，??43m8km ∴x1＋＝－2， k3＋4k－3m（1＋4k）∴x1＝， 2 k（3＋4k） 3 2 y＝－3kx＋m，??22 222 设B(x2，y2)，由?xy得(3＋36k)x－24kmx＋4(m－3)＝0. ＋＝1，??43m8kmm（1＋4k） ∴x2＋＝， 2，∴x2＝－2 k1＋12kk（1＋12k）2m∵点N平分线段A1B1，∴x1＋x2＝－， k 3m（1＋4k）m（1＋4k）2m1∴－－＝－，∴k＝±， 22 k（3＋4k）k（1＋12k）k24m4m21∴P(±2m，2m)，∴＋＝1，解得m＝±， 437∵|m|＝21 2 2 2 2 2 121 ∴直线l的方程为y＝±x±. 27 4．(2017·广州综合测试一)过点P(a，－2)作抛物线C：x＝4y的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)证明：x1x2＋y1y2为定值； (2)记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由． 1212 解析 (1)方法1：由x＝4y，得y＝x，所以y′＝x， 421 所以直线PA的斜率为x1. 2 12 因为点A(x1，y1)在抛物线C上，所以y1＝x1， 4121 所以直线PA的方程为y－x1＝x1(x－x1)． 42因为点P(a，－2)在直线PA上， 1212 所以－2－x1＝x1(a－x1)，即x1－2ax1－8＝0. 42同理，x2－2ax2－8＝0. 所以x1，x2是方程x－2ax－8＝0的两个根， 所以x1x2＝－8. 121212 又y1y2＝x1·x2＝(x1x2)＝4， 4416所以x1x2＋y1y2＝－4，为定值． 方法2：由题意知，直线PA，PB的斜率都存在，设过点P(a，－2)且与抛物线C相切的切线方程为y＋2＝k(x－a)， 4 2 2 2