?y?k(x?4),?22222(1?2k)x?16kx?32k?8?0. ……① 由?x2得y?1??4?8由??(16k2)2?4(1?2k2)(32k2?8)?0解得?22?k?22，于是
. ……②
16k2因为x1,x2是方程①的两根，所以x1?x2??1?2k2
8k2x1?x2=?x0?1?2k224k，y0?k(x0?4)?1?2k28k2?0，所以点G不可能在y轴的右边， .因为x0??
1?2k2又直线F1B2,F1B1方程分别为
y?x?2,y??x?2,所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为
2??y0?x0?2,?4k??8k2?2,?2k?2k?1?0, 即? 亦即? ??1?2k21?2k22y?x?2.??0?0?2k?2k?1?0.4k8k2???2,?1?2k21?2k2?解得?
3?13?13?13?1?k?,]. ，此时②也成立. w.w.w.k.s.5.u故直线l斜率的取值范围是[?2222问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
(2009山东卷理)（本小题满分14分）
设椭圆E:
x2y2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点， 2abuuuruuur（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB？若存在，写
出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E:
x2y2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点, 2ab?42?11??1?222???a2?8x2y2?ab?a8??1 所以?解得?所以?椭圆E的方程为
284?b?4?6?1?1?1?1???a2b2?b24（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点
uuuruuurA,B,且OA?OB,设该圆的切线方程为
?y?kx?m?22222y?kx?m解方程组?x2y2得x?2(kx?m)?8,即(1?2k)x?4kmx?2m?8?0, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?1??4?8则△=
16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即
4km?x?x??12??1?2k2?22m?8?xx?12?1?2k2?k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?1?2k21?2k21?2k222uuuruuur要使OA?OB,
2m2?8m2?8k23m2?822222??0k??0需使x1x2?y1y2?0,即,所以,所以又3m?8k?8?08k?m?4?0,221?2k1?2k8?m2?22682所以?,所以m?,即m?233?3m?8或m??263,因为直线
y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
26m2m28r???为r?,r?,
3m2?8331?k21?k21?82m,所求的圆为
x2?y2?83,此时圆的切线
y?kx?m都满足
26m?326或m??326,而当切线的斜率不存在时切线为x??32626x2y2,?)或??1的两个交点为(与椭圆3384E恒有两个交点
uuuruuur26268(?,?)满足OA?OB,综上, 存在圆心在原点的圆x2?y2?，使得该圆的任意一条切线与椭圆
3334km?x?x??12?uuuruuur?1?2k2A,B,且OA?OB. 因为?2?xx?2m?812?1?2k2?22,
4km22m2?88(8k2?m2?4))?4??所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?, 221?2k1?2k(1?2k2)2|AB|?(x1?x2)??y1?y2?228(8k2?m2?4)?(1?k)(x1?x2)?(1?k)(1?2k2)2222
324k4?5k2?132k2??4?[1?4], 2234k?4k?134k?4k?1①当k?0时|AB|?321[1?]
1324k?2?4k因为4k2?11132321?4?8所以, 所以0???[1?]?12,
11k2833224k?2?44k?2?4kk所以246?|AB|?23当且仅当k??时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
23④ 当k?0时,|AB|?463. ⑤ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(2626262646,?)或(?,?),所以此时|AB|?33333, 综上, |AB |的取值范围为
446?|AB|?23即: |AB|?[6,23] 33rrrr设m?R,在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,y?1),向量b?(x,y?1),a?b,动点M(x,y)的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）已知m该圆的方程; (3)已知m最大值.
?1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA?OB(O为坐标原点),并求出4?1222,设直线l与圆C:x?y?R(1 rr2222所以a?b?mx?y?1?0, 即mx?y?1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当m=0时,方程表示两直线,方程为当m?1时, 方程表示的是圆 当m?0且my??1; ?1时,方程表示的是椭圆; 当m?0时,方程表示的是双曲线. (2).当 m?14时, 轨迹E的方程为 x?y2?1,设圆心在原点的圆的一条切线为42?y?kx?t?得y?kx?t,解方程组?x22??y?1?4x2?4(kx?t)2?4,即(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=64k22t?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 8kt?x?x??12??1?4k22222即4k?t?1?0,即t?4k?1, 且?2?xx?4t?412?1?4k2?22 k2(4t2?4)8k2t2t2?4k22, y1y2?(kx1?t)(kx2?t)?kx1x2?kt(x1?x2)?t???t?1?4k21?4k21?4k2uuuruuur4t2?4t2?4k25t2?4k2?4???0, 要使OA?OB, 需使x1x2?y1y2?0,即 1?4k21?4k21?4k2所以5t2?4k2?4?0, 即5t2?4k2?4且t2?4k2?1, 即4k2?4?20k2?5恒成立. 所以又因为直线 y?kx?t为圆心在原点的圆的一条切线, 42(1?k)t4t42225所以圆的半径为r?,r?, 所求的圆为. x?y???22251?k1?k51?k2x222222当切线的斜率不存在时,切线为x??5,与?y2?1交于点(5,?5)或(?5,?5)也满足OA?OB. 455555uuuruuur422综上, 存在圆心在原点的圆x?y?，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB. 5x21?y2?1,设直线l的方程为y?kx?t,因为直线l与圆C:x2?y2?R2(1 因为l与轨迹E只有一个公共点B1, ?y?kx?t?22由（2）知?x2得x?4(kx?t)?4, 2??y?1?4即(1?4k则△=64k2)x2?8ktx?4t2?4?0有唯一解 t?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 即4k2?t2?1?0, ② 22?23R2t???4?R2由①②得?, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2R?1?k2???4?R28kt?x?x??12??1?4k2由?2?xx?4t?412?1?4k2?4t2?416R2?16? 中x1?x2,所以,x?, 221?4k3R21124?R2B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y?1?x1?43R221,所以|OB1|2?x12?y12?5?4R2, 在直角三角形OA1B1中,|时取等号,所以|当RA1B1|2?|OB1|2?|OA1|2?5?444222?R?5?(?R)?R?4当且仅当R?2?(1,2)因为222RRRA1B1|2?5?4?1,即 ?2?(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1. 在平面直角坐标系 xoy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆 C2:(x?4)2?(y?5)2?4. （1）若直线l过点 A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方 程；