?y1?y2?4m， ??y1y2??4．uuuruuuruuuruuur由MA??1AF，MB??2BF得：
y1?22???1y1，y2????2y2，整理得： mm22，?2??1?my1my2，
?1??1???1??2??2?题型六：面积问题
2y1?y22?11?24m??2?g??2?g??0 ??my1y2m?4m?y1y2?x2y26,短轴一个端点到右焦点的距离为3。 例题8、（07陕西理）已知椭圆C：2?2?1（a＞b＞0）的离心率为3ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
3，求△AOB面积的最大值。 2?c6?，?解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3
?a?3，?x2?b?1，?所求椭圆方程为?y2?1。
3（Ⅱ）设
A(x1，y1)，B(x2，y2)。
（1）当
AB⊥x轴时，AB?3。
（2）当设直线
AB与x轴不垂直时，
AB的方程为y?kx?m。 m1?k23232，得m?(k?1)。
42由已知
?把
y?kx?m代入椭圆方程，整理得(3k2?1)x2?6kmx?3m2?3?0，
3(m2?1)?6km，x1x2?。 ?x1?x2?23k2?13k?1?36k2m212(m2?1)???AB?(1?k)(x2?x1)?(1?k)?2? 22(3k?1)3k?1??222212(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)?? 2222(3k?1)(3k?1)12k21212?3?4?3?(k?0)≤3??4。 219k?6k?12?3?69k2?2?6k当且仅当9k2?1k2，即k??33时等号成立。当k?0时，AB?3，
综上所述
ABmax?2。
133??ABmax??222?当AB最大时，△AOB面积取最大值S。
题型七：弦或弦长为定值问题
例题9、（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）
本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 解法1：
2?x?2py（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得?消去
y?kx?p.?y得x2-2pkx-2p2=0.
由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是S?ABN?S?BCN?S?ACN?1?2px1?x22
＝
px1?x2?p(x1?x2)2?4x1x2
＝
p4p2k2?8p2?2p2k2?2.
?当k?0时，（S?ABN）min?22p2.
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为O?,t与AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则
xy?p O?H?PQ,O?点的坐标为（1,1）2211212?O?P?AC?x1?(y1?p)2＝y1?p2222O?H?a?.
y1?p1222?2a?y1?p, ?PH?O?P?O?H 22121(y1?p2)?(2a?y1?p)2 44p＝(a?)y1?a(p?a),
2=
p2???PQ?(2PH)2=4?(a?)y2?a(p?a)?.
2??令a?ppp?0，得a?,此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y?， 222即抛物线的通径所在的直线. 解法2：
（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
AB?1?k2x1?x2?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?1?k2?4p2k2?8p2
＝2p1?k2?k2?2.
?2p1?k2又由点到直线的距离公式得d.
从而，S?ABN?112p?d?AB??2p1?k2?k2?2??2p2k2?2, 221?k2?当k?0时，（S?ABN）max?22p2.
（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为
(x?0)(x?x1)?(y?p)(y?y1)?0,将直线方程y=a代入得
x2?x1x?(a?p)(a?y1)?0, p??则?＝x12?4(a?p)(a?y1)?4?(a?)?y1?a(p?a).2??设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有
pp??PQ?x3?x4?4?(a?)y1?a(p?a)??2(a?)y1?a(p?a).
22??令a?ppp?0,得a?,此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y?222.
即抛物线的通径所在的直线。 题型八：角度问题
例题9、（08重庆理）如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
PM?PN?6.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若
2PM·PN＝1?cos?MPN,求点P的坐标.
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b=a2?c2?5，
x2y2??1. 所以椭圆的方程为95 (Ⅱ)由
PMgPN?2,得
1?cosMPNPMgPNcosMPN?PMgPN?2. ①