x2y2?1 a?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b?3 ??432?y?kx?mA(x,y),B(x,y)（II）设得 1122，由?223x?4y?12?(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，??64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，3?4k2?m2?0

8mk4(m2?3)x1?x2??,x1?x2?（注意：这一步是同类坐标变换） 223?4k3?4k3(m2?4k2)y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）

3?4k222Q以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且kAD?kBD??1，

?y1y?2??1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，

x1?2x2?23(m2?4k2)4(m2?3)16mk???4?0， 2223?4k3?4k3?4k7m2?16mk?4k2?0，解得m1??2k,m2??当m??2k时，l:当m??2k22，且满足3?4k?m?0 7y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

22

y?k(x?)，直线过定点(,0)

77

2综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).

7时，l:名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为?1，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出l：y样设的直线。

2k7?kx?m，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这

x2y2例题6、已知点A、B、C是椭圆E：2?2?1 (a?b?0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中

abuuuruuuruuuruuur心O，且ACgBC?0，BC?2AC，如图。

(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；

(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x?3对称，求直线PQ的斜率。

uuuruuur解：(I) QBC?2ACuuuruuur，且BC过椭圆的中心O ?OC?AC

uuuruuur?QACgBC?0 ??ACO?

2x2y2??1将点又QA (23,0) ?点C的坐标为(3,3)。QA(23,0)是椭圆的右顶点， ?a?23，则椭圆方程为：12b2x2y2??1 C(3,3)代入方程，得b?4，?椭圆E的方程为

1242(II)Q 直线PC与直线QC关于直线x?3对称，

?设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为?k，从而直线PC的方程为：

y?3?k(x?3)，即y?kx?3(1?k)，

??y?kx?3(1?k)由?消y，整理得：

22x?3y?12?0??(1?3k2)x2?63k(1?k)x?9k2?18k?3?0Qx?3是方程的一个根，

9k2?18k?39k2?18k?3?xPg3? 即xP? 21?3k23(1?3k)9k2?18k?3同理可得：xQ?

23(1?3k)QyP?yQ?kxP?3(1?k)?kxQ?3(1?k)＝k(xP?xQ)?23k＝?36k9k2?18k?39k2?18k?3＝ xP?xQ??3(1?3k2)3(1?3k2)3(1?3k2)?12k

3(1?3k2)?kPQ?yP?yQxP?xQ?11则直线PQ的斜率为定值。

33的取值范围。

uuuruuurx2y2??1于P、Q两点，且DP=lDQ,求实数l例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：94ì?uuuruuur?x1=lx2分析：由DP=lDQ可以得到í，将P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l表示出来。

?y=3+l(y-3)2??1解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),

uuuruuurQDP=lDQ

ìx1=lx2?\\(x1,y1-3)=l(x2,y2-3) 即? í?y=3+l(y-3)12???方法一：方程组消元法

22ìx2y2??+=1??x2y294?又QP、Q是椭圆+=1上的点\\í 22?94(lx)(ly+3-3l)?22+=1??94??消去x2，

2(ly2+3-3l)2-l2y213l-5=1-l2 即y2=可得

46l又Q－2￡y2￡2， \\－2￡13l-5￡2 6l解之得：

1???5则实数l5的取值范围是

?1?,5?。 ?5??方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ的方程为：

y?kx?3,k?0，

由??y?kx?3消y整理后，得 224x?9y?36?(4?9k2)x2?54kx?45?0 QP、Q是曲线M上的两点

???(54k)2?4?45(4?9k2)＝144k2?80?0

即9k2?5 ①

由韦达定理得：

x1?x2??54k45,xx?124?9k24?9k2

542k2(1??)2(x1?x2)2x1x2?Q???2 ?245(4?9k)?x1x2x2x136?9k2?44??1?即

5(1??)29k29k2由①得0? ②

36?9111??，代入②，整理得 ， ?5(1??)259k25解之得

1???5 5当直线PQ的斜率不存在，即x?0时，易知??5或??1。 5总之实数l的取值范围是

?1?,5?。 ?5??例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线（1）求椭圆C的标准方程；

y?2512x的焦点，离心率为

54．

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA??1AF，MB??2BF，求?1??2的值．

分析：

uuuruuuruuuruuur（07福建理科）如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QP?QF?FP?FQ

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

uuuruuuruuuruuur（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知MA??1AF,AF??2BF，求?1??2的值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：

uuuruuuruuuruuurQF?FPgFQ得： ，y)，由QPg（Ⅰ）设点P(x，y)，则Q(?1(x?1，0)g(2，?y)?(x?1，y)g(?2，y)，化简得C:y2?4x.

（Ⅱ）设直线

AB的方程为：

?y2?4x，2????， 联立方程组?，消去x得： x?my?1(m?0). 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M??1，m???x?my?1，y2?4my?4?0，??(?4m)2?12?0，故