图形语言 符号语言 a?????a∥b b???①证明两直线平行； 作用 ②构造平行线. 4．平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作?⊥?.图形表示如下：

5．平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 文字语言 简记为：线面垂直?面面垂直 图形语言 符号语言 作用 6．平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 文字语言 简记为：面面垂直?线线平行 l⊥α，l???α⊥β 判断两平面垂直 图形语言 符号语言 ?⊥???I?=l????a⊥? a???a?l??作用 7．直线与平面所成的角

证明直线与平面垂直 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影． 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ．．

（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角的范围是[0,]. ．．．．．．．．．α．．．．．8．二面角

（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. ．．．（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. （3）二面角的范围：[0,π].

ooπ2

1．垂直问题的转化关系

2．常用结论

（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． （5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．

（6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

（7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：?内两条相交直线都与?平行是?∥?的充分条件，由面面平行性质定理知，若?∥?，则?内任意一条直线都与?平行，所以?内两条相交直线都与?平行是?∥?的必要条件，故选B．

【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若a??,b??,a∥b，则?∥?”此类的错误．

2．已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直

B．α内有两条相交直线与β平行 D．α，β垂直于同一平面

线AB与CC1所成的角的余弦值为 A．

3 45 4 B．

3 45 4C． D．

【答案】B

【解析】如图，设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B， 易知?A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角（或其补角）. 设三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长均为1， 则AD?123，A1D?，A1B?，

2221A1A2?AB2?A1B21?1?由余弦定理，得cos?A1AB?2?3. ?2A1A?AB2?1?14故应选B.

【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.解答本题时，易知?A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角（或其补角），进而通过计算△ABA1的各边长，利用余弦定理求解即可. 3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是