当z=0时，uz?0，则f(x，y)?0，所以 uz?0。

3－12 已知不可压缩理想流体的压力场为p?4x?2y?yz?5z (N/m2)，若流体

322????密度ρ＝1000kg/m。g＝9.8m/s。求流体质点在r?3i?j?5k m位置上的加速度。

3

2

3222已已知知：：p?4x?2y?yz?5z(N/m)，ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2。

解解析析：：由压力分布式得

?p?p?p?12x2；??4y?z2；??2yz?5； ?x?y?z由已知条件，得fx?0，fy?0，fz??g。代入以下欧拉运动微分方程，

1?pdux?du1?p1??ax?x?fx??0??12x2????xd?d???x???duy1?p11?pduy??a??f??0??(?4y?z2)? fy? 得 ??yyd???y???yd???duz1?p1?1?pduz?a??f???g??(?2yz?5)fz??zz??d???z???zd???fx?将ρ=1000 kg/m3；g=9.8 m/s2；x=3，y=1，z=－5代入上式，得 ax??0.108 m/2s；ay?0.029m/2s；az??9.815m/2s； a?2222ax?ay?az?(?0.108)2?0.029?(?9.815)2?9.816m/2s

3－13 已知不可压缩理想流体稳定流动的速度场为

????22232 u?(3x?2xy)i?(y?6xy?3yz)j?(z?xy)k (m/s)

求流体质点在(2，3，1)点处的压力梯度。ρ＝1000kg/m3，g＝9.8m/s2。

22232已已知知：：ux?3x?2xy；uy?y?6xy?3yz；uz??(z?xy)；

ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2。 解解析析：：由加速度计算式，得

ax?

dux?ux?u?u?u??uxx?uyx?uzxd????x?y?z?(3x2?2xy)(6x?2y)?(y2?6xy?3yz2)(?2x) ?18x3?6x2y?2xy2?6xyz2ay?

duyd???uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z?(3x2?2xy)(?6y)?(y2?6xy?3yz2)(2y?6x?3z2)?(z3?xy2)?6yz ?18x2y?6xy2?2y3?9y2z2?36xyz2?6xy3z?3yz4az?

duz?uz?u?u?u??uxz?uyz?uzzd????x?y?z?(3x2?2xy)y2?(y2?6xy?3yz2)?2xy?(z3?xy2)(?3z2) ?9x2y2?3xy2z2?3z5将上式代入欧拉运动微分方程，

1?pdux????xd???1?pduy? fy???

??yd??1?pduz?fz?????zd??dux??p3222??(f?)???(18x?6xy?2xy?6xyz)x??xd??duy??p得 ???(fy?)???(18x2y?6xy2?2y3?9y2z2?36xyz2?6xy3z?3yz4)

d???y??pduz??(f?)???(g?9x2y2?3xy2z2?3z5)?zd???zfx?将ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2；x=2，y=3，z=1代入上式，得

?p?p?p3??72kN/m3；?288kN/m3；??282.8kN/m ?x?y?z????p??p??p?i?j?k??72i?288j?282.8kkN/m3 则 gradp??x?y?z???u?(x?2y)?i?(y?2x)?j (m/s)，3－14 已知不可压缩理想流体的速度场为流体密

度ρ＝1500kg/m3，忽略质量力，求τ＝1s时位于(x，y)处及(1，2)点处的压力梯度。

已已知知：：ux?(x?2y)?，uy?(y?2x)?；ρ=1500kg/m3；f?0。 解解析析：：由加速度计算式，得

?ax??ux?u?u?uxx?uyx?(x?2y)?(x?2y)????(y?2x)??(?2?)???x?y?(x?2y)(1??2)?2(y?2x)?2

?uy?uy?uyay??ux?uy?(y?2x)?(x?2y)??(?2?)?(y?2x)??????x?y?(y?2x)(1??2)?2(x?2y)?2当τ=1秒时，ax?6(x?y)，ay??6(x?y) 代入欧拉运动微分方程，得

?p?p???ax??6?(x?y)，???ay?6?(x?y) ?x?y则τ＝1s时位于(x，y)处的压力梯度为 gradp??????p??p?i?j??6?(x?y)i?6?(x?y)j??6?(x?y)(i?j) ?x?y????τ＝1s时位于(1，2)点处的压力梯度为

gradp??6?(x?y)(i?j)?9000(i?j)N/m

3???3－15 已知不可压缩理想流体的速度场为u?Axi?Ayj (m/s)，单位质量力为??f??gk m/s2，位于坐标原点的压力为p0，求压力分布式。

??已0)?p0 已知知：：ux?Ax，uy??Ay；f??gk；p(0，解解析析：：由加速度计算式，得

?ux?u?u?uxx?uyx?A2x???x?y?uy?uy?uy ay??ux?uy?A2y

???x?y?u?u?uaz?z?uxz?uyz?0???x?yax?代入由欧拉运动微分方程，得

?p?p?p???ax???A2x，???ay???A2y，???(g?az)???g ?x?y?z

dp??p?p?pdx?dy?dz???A2xdx??A2ydy??gdz?x?y?z

1?A2(x2?y2)??gz?C 2???A2(xdx?ydy)??gdz积分上式，得 p??当x=0，y=0，z=0时，p=p0，则C=p0。代入上式，得压力分布式为

p?p0?1?A2(x2?y2)??gz 23－16 已知不可压缩理想流体在水平圆环通道中作二维稳定流动，当圆周速度分别为

uθ?k；uθ?kr；uθ?k时，求压力p随uθ和r的变化关系式。 rk已已知知：：(1) uθ?k；(2) uθ?kr；(3) uθ?；ur?uz?0。 r解解析析：：根据已知条件，简化欧拉运动微分方程，

2?ur?ur?uruθ1?p?urfr???ur?uθ?uz???r???rr???zr fθ?1?1fz??????u?u?uuu??p?uθ??urθ?uθθ?uzθ?rθ? r?????rr???zr???u?u?u?p?uz??urz?uθz?uzz??z???rr???z?2?uθ2uθ1?pdr 可以得到 ??? 或写成 dp?r??rr将已知条件代入上式，得

dr2 积分得 p??klnr?C1 r1222(2) uθ?kr时， dp??krdr 积分得 p??kr?C2

2k12?22dr(3) uθ?时， dp??k3 积分得 p???kr?C3 r2r2(1) uθ?k时， dp??k3－17 已知不可压缩理想流体的速度分量为ux?ay，uy?bx，uz?0，不计质量力，求等压面方程。

?已已知知：：ux?ay，uy?bx，uz?0；f?0。

解解析析：：由加速度计算式，得

?ux?u?u?uxx?uyx?0?0?abx?abx???x?y?uy?uy?uy ay??ux?uy?0?aby?0?aby

???x?y?u?u?uaz?z?uxz?uyz?0???x?yax?代入由欧拉运动微分方程，得

?p?p?p???ax???ab，x???ay???ab，y???az?0 ?x?y?z?p?p?pdx?dy?dz???abxdx??abydy???ab(xdx?ydy) ?x?y?z则 dp?在等压面上，dp?0，则等压面微分方程为 (xdx?ydy)?0 积分上式，得等压面方程 x?y?C

3－18 若在150mm直径管道内的截面平均流速为在200mm直径管道内的一半，问流过该两管道的流量之比为多少？

22