第一章 流体及其物理性质

1－1 已知油的重度为7800N/m3，求它的密度和比重。又，0.2m3此种油的质量和重量各为多少？

已已知知：：γ＝7800N/m3；V＝0.2m3。 解解析析：：(1) 油的密度为 ???g?7800?795kg/m3； 9.81油的比重为 S???HO2?795?0.795 1000(2) 0.2m3的油的质量和重量分别为 M??V?795?0.2?159kg G??V?7800?0.2?1560N

1－2 已知300L(升)水银的质量为4080kg，求其密度、重度和比容。 已已知知：：V＝300L，m＝4080kg。 解解析析：：水银的密度为 ??m40803 ??13600kg/m?3V300?103水银的重度为 ???g?13600?9.81?133416N/m 水银的比容为 v?1??1?7.353?10?5m3/kg

136001－3 某封闭容器内空气的压力从101325Pa提高到607950Pa，温度由20℃升高到78℃，空气的气体常数为287.06J/kg·K。问每kg空气的体积将比原有体积减少多少？减少的百分比又为多少？

已已知知：：p1＝101325Pa，p2＝607950Pa，t1＝20℃，t2＝78℃，R＝287.06J/kg·K。 解解析析：：由理想气体状态方程(1－12)式，得 v1?RT1287.06?(20?273)??0.83m3/kg p1101325RT2287.06?(78?273)??0.166m3/kg p26079503 v2? v1?v2?0.83?0.166?0.664m/kg

v1?v20.83?0.166?100%??100%?80% v10.83每kg空气的体积比原有体积减少了0.664m3；减少的百分比为80％。

1－4 图示为一水暖系统，为了防止水温升高时体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部设一膨胀水箱，使水有膨胀的余地。若系统内水的总体积为8m3，加温前后温差为50℃，在其温度范围内水的膨胀系数为βT＝9×104 1/℃，求膨胀水箱的最小容积。

－

－

已已知知：：V＝8m3，Δt＝50℃，βT＝9×104 1/℃。

解解析析：：(1) 由(1－11)式?T?1dV，得膨胀水箱的最小容积为 VdT?4 ?V?V?T?T?8?9?10?50?0.36m3

－10

1－5 图示为压力表校正器。器内充满压缩系数为βp＝4.75×10为2mm，当压力升高至20MPa时，问需将手轮摇多少转？

－

已已知知：：p0＝105Pa，p＝20MPa，βp＝4.75×1010 1/Pa，

1/Pa的油液，器内压

力为105Pa时油液的体积为200mL。现用手轮丝杆和活塞加压，活塞直径为1cm，丝杆螺距

V0＝200mL，d＝1cm，δ＝2mm。 解解析析：：(1) 由(1－9)式?p??

dV，得 Vdp?V?V0(p?p0)?p?200?10?6?(20?0.1)?106?4.75?10?10?1.89?10?6m3

4?V4?1.89?10?6 n???12.04 22?d?3.14?0.01?0.002约需要将手轮摇12转。

1－6 海水在海面附近的密度为1025kg/m3，在海面下8km处的压力为81.7MPa，设海水的平均弹性模量为2340MPa，试求该深度处海水的密度。

已已知知：：ρ0＝1025kg/m3，p0＝0.1MPa，p＝81.7MPa，E＝2340MPa。 解解析析：：由(1－10)式E??dp，得海面下8km处海水的密度为 d? ???0(p?p0?E)1025?(81.7?0.1?2340)?106E?2340?106?1061kg/m3

1－7 盛满石油的油槽内部绝对压力为5×105Pa，若从槽中排出石油40kg，槽内压力就降低至l05Pa。已知石油的比重为0.9，体积弹性系数为1.35×109N/m2，求油槽的体积。

已已知知：：(1) p1＝5×105Pa，p2＝l05Pa，Δm＝40kg，S＝0.9，E＝1.35×109 N/m2。 解解析析：：从油槽中排出石油的体积为 ?V??m4023??m ?0.9?100045由(1－10)式E??Vdp，得油槽的体积为 dV?VE2?1.35?1093 V? ??150m5?p45?(5?1)?101－8 体积为5m3的水在温度不变的条件下，压力从1大气压增加到5大气压，体积减小了1L，求水的体积压缩系数和弹性系数值。

已已知知：：V＝5.0m3，p1＝1.0×105Pa，p2＝5.0×105Pa，ΔV＝1L。 解解析析：：由(1－9)和(1－10)式，得水的体积压缩系数及弹性系数值分别为

dV1.0?10?3 ?p????5.0?10?10m2/N 5Vdp5.0?(5.0?1.0)?10 E?1?p?1?2.0?109N/m2 ?105.0?101－9 某液体的动力粘度为0.0045Pa·s，其比重为0.85，试求其运动粘度。 已已知知：：μ＝0.0045Pa·s，S＝0.85。 解解析析：：运动粘度为 ???0.0045??5.294?10?6m2/s ?0.85?10001－10 某气体的重度为11.75N/m3，运动粘度为0.157cm2/s，试求其动力粘度。 已已知知：：γ＝11.75N/m3，ν＝0.157cm2/s。

?411.75?0.157?10解??1.88?10?5Pa?s 解析析：：动力粘度为 ?????g9.81??1－11 温度为20℃的空气在直径为2.5cm的管道中流动。在距管壁1mm处空气流速为3cm/s，试求：(1)管壁处的切应力；(2)单位管长的粘性阻力。

－6

已已知知：：d＝2.5cm，u＝3cm/s，δ＝1mm，μ＝18.08×10Pa·s。

解解析析：：根据牛顿内摩擦定律，得管壁处的切应力为 ?0??du0.03?0?18.08?10?6??5.424?10?4N/m2 dy0.001单位管长的粘性阻力为

?4?5 T??0A?5.424?10?3.14?0.025?1?4.258?10N/m

1－12 有一块30×40cm2的矩形平板，浮在油面上，其水平运动的速度为10cm/s，油层厚度δ＝10mm，油的动力粘度μ＝0.102Pa·s，求平板所受的阻力。

已已知知：：A＝30×40cm2，u＝10cm/s，δ＝10mm，μ＝0.102Pa·s。 解解析析：：根据牛顿内摩擦定律，得平板所受的阻力为 T??du0.1?0A?0.102??0.3?0.4?0.12N dy0.011－13 上下两块平行圆盘，直径均为d，间隙厚度为δ，间隙中液体的动力粘度为μ，若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋转，求所需力矩M的表达式。

已已知知：：d，δ，μ，ω。

解解析析：：(1) 根据牛顿内摩擦定律，可得半径为r处，微元面积为2πrdr间隙力矩为 dM?rdT?r??r2???3?2?rdr??rdr ??

???4???d4?r?积分上式，得所需力矩M的表达式为 M?2?32?1－14 图示为一转筒粘度计，它由半径分别为r1及r2的内外同心圆筒组成，外筒以角速度n r/min转动，通过两筒间的液体将力矩传至内筒。内筒挂在一金属丝下，该丝所受扭矩M可由其转角来测定。若两筒间的间隙及底部间隙均为δ，筒高为h，试证明动力粘度μ的计算公式为：

??60M?

?2r12n(4r2h?r12)已已知知：：n，M，r1，r2，δ，h。

解解析析：：依据题意，由牛顿内摩擦定律，可得圆筒侧部间隙力矩为 M1?r1T1?r1??rdu2???2A1?r1?2?2?r1h??r1r2h dr??圆筒底部半径为r处，微元面积为2πrdr间隙力矩为

?r2???3?2?rdr??rdr ?????4积分上式，得圆筒底部间隙力矩为 M2??r1

2?2???2???4???2则金属丝所受扭矩为 M?M1?M2??r1r2h??r1??r1(4r2h?r12)

?2?2? dM2?rdT2?r?由于??2M?60M?2?n?，所以动力粘度为 ??

??r12(4r2h?r12)?2r12n(4r2h?r12)601－15 一圆锥体绕其中心轴作等角速度ω＝16 1/s旋转，锥体与固定壁面间的距离δ＝1mm，用μ＝0.1Pa·s的润滑油充满间隙，锥体半径R＝0.3m，高H＝0.5m，求作用于圆锥体的阻力矩。

已已知知：：R＝0.3m，H＝0.5m，ω＝16 1/s，δ＝1mm，μ＝0.1Pa·s。 解解析析：：(1) 设圆锥的半锥角为α，则高度为h处的半径 r?htg? tg??R0.3??0.6 H0.5HR?H22s? co??0.50.3?0.522?0.857

在微元高度dh范围内的圆锥表面积为

dA?2?rdh2?tg??hdh

cos?co?sdu?r? dy?设在间隙δ内的流速为线性变化，即速度梯度为 则在微元高度dh范围内的力矩为

?r2?tg?2???tg3?3?hdh???hdh dM?r?dA?r??cos??co?s积分上式，得作用于圆锥体的阻力矩为

???tg3?3.14?0.1?160.634??H???0.54?39.6N?m M?2?cos?2?0.0010.8571－16 空气中水滴直径为0.3mm时，其内部压力比外部大多少？ 已已知知：：d＝0.3mm，σ＝0.0728N/m。 解解析析：：水滴内部与外部的压力差为 ?p?2?2?0.0728??971Pa R0.15?10?31－17 在实验室中如果用内径0.6cm和1.2cm的玻璃管作测压管，管中水位由于毛细管现象而引起的上升高度各为多少？

已已知知：：d1＝0.6cm；d2＝1.2cm，σ＝0.0728N/m，θ＝0°。

解解析析：：由(1－30)式，得管中水位由于毛细管现象而引起的上升高度分别为

4?cos?4?0.0728?cos0? h1???4.95?10?3m?5mm

?gd11000?9.81?0.0064?cos?4?0.0728?cos0? h2???2.47?10?3m?2.5mm

?gd21000?9.81?0.0121－18 两块竖直的平行玻璃平板相距1mm，求其间水的毛细升高值。 已已知知：：δ＝1mm，σ＝0.0728N/m，θ＝0°。

解解析析：：设两块玻璃板的宽度均为l，由水柱的重量与表面张力的垂直分量相平衡，可得 2l?cos??lh??g

则

2?cos?2?0.0728?cos0? h???0.0148m?14.8mm

?g?1000?9.81?0.001第二章 流体静力学

???2－1 质量为1000kg的油液(S＝0.9)在有势质量力F??2598i?11310k(N)的作用下

处于平衡状态，试求油液内的压力分布规律。

已已知知：：m=1000kg，S=0.9，F??2598i?11310k。 解解析析：：油液所受单位质量力的分量分别为

???fx?FxF259811310????2.598N/kg；fy?0；fz?z????11.31N/k gm1000m1000代入(2－8)式，得 dp??(fxdx?fydy?fzdz)??0.9?103?(2.598dx?11.31dz) 积分上式，得 p??(2338.2x?10179z)?C

2－2 容器中空气的绝对压力为pB＝93.2kPa，当地大气压力为pa=98.1kPa。试求玻璃管中水银柱上升的高度hv。

已已知知：：pB=93.2kPa，pa=98.1kPa。

解解析析：：依据题意列静力学方程，得 pB??汞hv?pa 所以 hv?pa?pB?汞(98.1?93.2)?103??0.0367m?36.7mm

13.6?98102－3 封闭容器中水面的绝对压力为p1＝105kPa，当地大气压力为pa=98.1kPa，A点在水面下6m，试求：(1)A点的相对压力；(2)测压管中水面与容器中水面的高差。

已已知知：：p1=105kPa，pa=98.1kPa，h1=6m。

解解析析：：(1) 依据题意列静力学方程，得A点的相对压力为

pmA?p1?pa??h1?(105?98.1)?10?9810?6?65760Pa3

(2) 测压管中水面与容器中水面的高差为 h?p1?pa?(105?98.1)?103??0.7m

98102－4 已知水银压差计中的读数Δh＝20.3cm，油柱高h＝1.22m，油的重度γ油＝9.0kN/m3，试求：(1)真空计中的读数pv；(2)管中空气的相对压力p0。

已已知知：：Δh=20.3cm，h=1.22m，γ油=9.0kN/m3。

解解析析：：(1) U型管右侧水银面所在的水平面为等压面，依据题意列静力学方程，得 pv??汞?h?13.6?9810?0.203?27083Pa

(2) 由于 pm0??油h??汞?h?0

所以 pm0??(?油h??汞?h)??(9000?1.22?13.6?9810?0.203)??38063Pa

2－5 设已知测点A到水银测压计左边水银面的高差为h1＝40cm，左右水银面高差为h2＝25cm，试求A点的相对压力。

已已知知：：h1=40cm，h2=25cm。

解解析析：：图中虚线所在的水平面为等压面，依据题意列静力学方程，得

pmA??水h1??汞h2?9810?0.4?13.6?9810?0.25?37278Pa

2－6 封闭容器的形状如图所示，若测压计中的汞柱读数Δh＝100mm，求水面下深度H＝2.5m处的压力表读数。

已已知知：：Δh=100mm，H=2.5m。

解解析析：：设容器水面上的相对压力为p0，则

p0??汞?h?13.6?9810?0.1?13341.6N/m2 那么，水面下深度H＝2.5m处的压力表读数为

2 pm?p0??H?13341.6?9810?2.5?37866.6N/m

2－7 封闭水箱的测压管及箱中水面高程分别为▽1＝100cm和▽4＝80cm，水银压差计右端高程为▽2＝20cm，问左端水银面高程▽3为多少？

已已知知：：▽1=100cm，▽4=80cm，▽2=20cm。

解解析析：：U型管左侧水银面所在的水平面为等压面，依据题意，可得3点处的静压力为

pm3??水(?1??3)??汞(?2??3) 所以 ?3?(?汞/?水)?2??113.6?0.2?1.0??0.1365m

(?汞/?水)?113.6?12－8 两高度差z＝20cm的水管，与一倒U形管压差计相连，压差计内的水面高差h＝10cm，试求下列两种情况A、B两点的压力差：(1)γ1为空气；(2)γ1为重度9kN/m3的油。

已已知知：：z=20cm，h=10cm。

解解析析：：设倒U型管上部两流体分界点D处所在的水平面上的压力为p?，BC间的垂直距离为l，则有

pA?p???水(h?l?z)；pB?p???1h??水l 以上两式相减，得 pA?pB??水(h?z)??1h

(1) 当γ1为空气时，气柱的重量可以忽略不计，则A、B两点的压力差为 pA?pB??水(h?z)?9810?(0.1?0.2)?2943Pa (2) 当γ1为重度9kN/m3的油时，A、B两点的压力差为

pA?pB??水(h?z)??1h?9810?(0.1?0.2)?9000?0.1?2043Pa 2－9 有一半封闭容器，左边三格为水，右边一格为油(比重为0.9)。试求A、B、C、D四点的相对压力。

已已知知：：油的比重为0.9，其它尺寸见附图。 解解析析：：根据附图中的数据，得

pmA??(0.3?0.4)?水??0.7?9810??6867Pa pmB?0.7?水?0.7?9810?6867Pa pmC?pmB?6867Pa

pmD?pmB?(0.3?0.7?1.0)?油?6867?2.0?0.9?9810?24525Pa

2－10 一小封闭容器放在大封闭容器中，后者充满压缩空气。测压表A、B的读数分别为8.28kPa和13.80kPa，已知当地大气压为100kPa，试求小容器内的绝对压力。

已已知知：：pm1=13.80kN/m2，pb2=8.28kN/m2，pa=100kPa。

解解析析：：设大容器中压缩空气的绝对压力为p1，小容器中流体的绝对压力为p2。

2则有 p1?pm1?pa?13.80?100?113.8kN/m

p2?p1?pb2?113.80?8.28?122.08kN/m2 h?p2?汞122.08?103??0.915mHg?915mmHg 13.6?98102－11 两个充满空气的封闭容器互相隔开，左边压力表M的读数为100kPa，右边真空计V的读数为3.5mH2O，试求连接两容器的水银压差计中h的读值。

已已知知：：pm1=100kPa，pv2=3.5mH2O。 解解析析：：根据题意可知

p1?pm1?pa， p2?pa?pv2

h?p1?p2?汞?pm1?pv2?汞100?103?3.5?9810?13.6?9810

?1.0mHg2－12 水泵的吸入管与压出管的管径相同，今在其间连接一水银压差计，测得Δh＝720mm，问经水泵后水增压多少？若将水泵改为风机，则经过此风机的空气压力增加了多少？

已已知知：：Δh=720mm，d1=d2。

解解析析：：(1) 设1点至U型管左侧水银面的距离为l，U型管右侧水银面所在的水平面为等压面，列静力学方程

p1??l??汞?h?p2??(l??h) 则经水泵后水增压为

?p?p2?p1?(?汞??)?h?(13.6?1)?9810?0.72?88996Pa (2) 若将水泵改为风机，则经过此风机的空气压力增加值为 ?p?p2?p1??汞?h?13.6?9810?0.72?96060Pa

2－13 有两个U形压差计连接在两水箱之间，读数h、a、b及重度γ已知，求γ1及γ2

的表达式。

已已知知：：h，a，b，γ。

解解析析：：设l1及l2分别为右侧水箱液面至上、下U型管右侧液体分界面1和2点间的距离，由于在两U型管内1和2所在的水平面均为等压面，分别列两侧的静力学方程，得

pm1??(l1?a?h)??1a??l1 pm2??(l2?h?b)??2b??l2 整理以上两式，得 ?1?a?hb?h?， ?2?? ab2－14 用真空计测得封闭水箱液面上的真空度为981N/m2，敞口油箱中的油面比水箱水面低H＝1.5m，汞比压计中的读数h1＝5.6m，h2＝0.2m，求油的比重。

已已知知：：pv=981N/m2，H＝1.5m，h1＝5.6m，h2＝0.2m。

解解析析：：设U型管中汞水分界面上的压力为p，该处所在的水平面为等压面，由静力学方程可得

p??pv??水(H?h1?h2)??油h1??汞h2

S油?

?pv??水(H?h1?h2)??汞h2?水h1[?0.1?(1.5?5.6?0.2)?13.6?0.2]?9810?0.8981?05.6

?2－15 试比较同一水平面上的1、2、3、4、5各点压力的大小，并说明其理由。 已已知知：：1、2、3、4、5在同一水平面上。

解解析析：：设U型管内液体的重度为γ1，容器内液体的重度为γ2，且γ1＞γ2；设2点至其下部气-液分界面的距离为h1，4点至其下部液-液分界面的距离为h2；设2点下部气液分界面上的压力为p01，设容器底部液-液分界面上的压力为p02。

(1) 由于p1?p01??1h1，p2?p01，则有p2?p1??1h1，所以p2?p1；

(2) 由于容器内液面上的压力等于p2?p01，而3、4点在同一液体内部，所以，

p3?p4?p2；

(3) 由于p4?p02??2h2，p5?p02??1h2，则有p4?p5?(?1??2)h2?0，所以，

p4?p5。

2－16 多管水银测压计用来测水箱中的表面压力。图中高程的单位为m，当地大气压力为105Pa，试求水面的绝对压力p0。

已已知知：：所有尺寸见附图，当地大气压力为105Pa。

解解析析：：左右两侧的U型管，以及中部的倒U型管中1、2、3点所在的水平面均为等压面，依据题意列静力学方程

p3?pa?(2.3?1.2)?汞?pa?1.1?汞 p1?p2?(2.5?1.4)?汞?pa?2.2?汞 又因为 p0?(3.0?1.4)?水?p1

所以 p0?p1?1.6?水?pa?2.2?汞?1.6?水

?10?(2.2?13.6?1.6)?9810?3.778?10Pa

2－17 倾斜式微压计中工作液体为酒精(ρ＝800kg/m3)，已测得读数l＝50cm，倾角α＝30°，求液面气体压力p1。

已已知知：：l=50cm，α=30°，ρ=800kg/m3。

解解析析：：酒精液面所在的水平面为等压面，根据题意得 pm1??lsin??800?9.81?0.5?sin30?1962Pa

?552－18 U形水银压差计中，已知h1＝0.3m，h2＝0.2m，h3＝0.25m。A点的相对压力为pA＝24.5kPa，酒精的比重为0.8，试求B点空气的相对压力。

已 已知知：：h1=0.3m，h2=0.2m，h3=0.25m。pA=24.5kPa，S=0.8。解解析析：：因为左右两侧的U型管，以及中部的倒U型管中1、2、3点所在的水平面均为等压面，依据题意列静力学方程，得

p3?pB??汞h3， p2?p3??酒精h2， p1?p2??汞h2， pA??水(h1?h2)?p1 将以上各式整理后，可得到B点空气的相对压力为

pB?pA??水(h1?h2)??酒精h2??汞(h2?h3)

?24.5?103?9810?[(0.3?0.2)?0.8?0.2?13.6?(0.2?0.25)] ??2.906?104Pa以mH2O表示为 h?pB?水?2.906?104???2.96mH2O

98102－19 一直立的煤气管，在底部的测压管中读数为h1＝100mmH2O，在H＝20m高处测得h2＝115mmH2O。管外空气的重度γa＝12.64N/m3，求管中静止煤气的重度。

已已知知：：h1=100mmH2O，h2=115mmH2O，H=20m，γa=12.64N/m3。 解解析析：：列1、2两截面间的静力学方程，基准面取在1截面所在的水平面上，得 pm1?pm2?(?g??a)H 所以，管道中静止煤气的重度为

(h2?h1)?水pm2?pm1?g??a???a?HH

(0.115?0.1)?9810?12.64??5.28N/m3202－20 图示封闭容器中有空气、油和水三种流体，压力表A读数为－1.47N/cm2。(1)试绘出容器侧壁上的静压力分布图；(2)求水银测压计中水银柱高度差。

已已知知：：h1=3m，h2=2m，h3=0.6m，pm0=－1.47N/cm2，S油=0.7。 解解析析：：设油水分界面上的相对压力为pm1，容器底部的相对压力为pm2，U型管左侧汞水分界面上的相对压力为pm3，油深为h1，水深为h2，根据静力学方程，得

pm1?pm0??油h1??1.47?104?0.7?9810?3?5901Pa pm2?pm1??水h2?5901?9810?2?25521Pa pm3?pm2??水h3?25521?9810?0.6?31407Pa (1) 根据以上数据即可绘出容器侧壁上的静压力分布图(右图)； (2) 水银测压计中水银柱高度差为 ?h?pm3?汞?31407?0.235m?235mm

13.6?98102－21 三个U形水银测压计，其初始水银面如图A所示。当它们装在同一水箱底部时，使其顶边依次低下的距离为a＝1m，水银的比重为13.6，试问三个测压计中的读数h1、h2、h3各为多少？

已已知知：：a=1m，S=13.6。

解解析析：：U型管两侧的初始水银面为同一水平面，如图A所示，当它们装在水箱底部时，左侧水银面下降程

11h，而右侧水银面上升h，根据图示，分别列出三个U型管的静力学方22ah1?)?水??汞h1； 22ah (2a??2)?水??汞h2；

22ah (3a??3)?水??汞h3

22 (a?以上三式两边分别同乘以2/?水，整理后可得 h1?3a5a7a， h2?， h3?

2?汞/?水?12?汞/?水?12?汞/?水?1代入数据得 h1?0.1145m?114.5mm，h2?0.1908m?190.8mm， h3?0.2672m?267.2mm。

2－22 已知U形管水平段长l＝30cm，当它沿水平方向作等加速运动时，h＝10cm，试求它的加速度a。

已已知知：：l=30cm，h=10cm。

解解析析：：建立坐标系如图所示，U形管内液体所受单位质量力分别为 fx??a， fy?0， fz??g

代入等压面微分方程(2－13)式，积分得等压面方程为

ax?gz?C

由边界条件：当x?0时，z?0，得C?0。将x??l，z? a??121h代入上式得加速度为 2zh0.1g?g??9.81?3.27m/2s xl0.32－23 图示容器中l、h1、h2为已知，当容器以等加速度a向左运动时，试求中间隔板

不受力时a的表达式。若l＝1m，h1＝1m，h2＝2m，a值应为多少？

已已知知：：l=1m，h1=1m，h2=2m。

解解析析：：建立坐标系如图所示，容器内液体所受单位质量力分别为 fx?a， fy?0， fz??g 代入等压面微分方程(2－13)式，积分得等压面方程为

ax1?gz1?C， ax2?gz2?C

由边界条件：当x?0时，z?0，得C?0。代入上式得自由面方程为

ax1?gz1?0， ax2?gz2?0

当中间隔板两侧的液体的自由液面处在同一倾斜平面内时，隔板两侧的液面平齐，此时隔板两侧所受静水总压力相等，即中间隔板不受力。

当中间隔板两侧的液体的自由液面处在同一倾斜平面内时，设隔板左侧液面上升的高度为z1，隔板右侧液面下降的高度为z2，根据自由面方程得

z1?aaaax1?l， z2?x2?l ggg2g3al?h2?h1 2g又知 z1?z2?所以 a?2g2?9.81(h2?h1)??(2?1)?6.54m/s2 3l3?12－24 一矩形水箱长为l＝2.0m，箱中静水面比箱顶低h＝0.4m，问水箱运动的直线加速度多大时，水将溢出水箱?

已已知知：：l=2.0m，h=0.4m。

解解析析：：建立坐标系如图所示，水箱中水所受单位质量力分别为 fx??a， fy?0， fz??g

代入等压面微分方程(2－13)式，积分后得等压面方程为

ax?gz?C

由边界条件：当x?0时，z?0，得C?0。将x??l，z?h代入上式得加速度为

a??12z2gh2?9.81?0.4g???3.924m/s2 xl2.02－25 一盛水的矩形敞口容器，沿α＝30°的斜面向上作加速度运动，加速度a＝2m/s2，求液面与壁面的夹角θ。

已已知知：：a＝2m/s2，α＝30°。

解解析析：：建立坐标系如图所示，容器中水所受单位质量力分别为 fx??ax??acos???2.0?cos30??1.732m/s

?2fz??az?g??asin??g??2.0?sin30??9.81??10.81m/s2

质量力的作用线与铅直线的夹角为

??tg?1fx1.732?tg－1?9.1? fz10.81由于质量力与自由液面(等压面)处处正交，所以，由图可得液面与壁面的夹角θ为

??90?????90?30?9.1?50.9

2－26 图示为一圆筒形容器，半径R=150mm，高H=500mm，盛水深h=250mm。今以角速度ω绕z轴旋转，试求容器底开始露出时的转速。

?????已已知知：：R=150mm，H=500mm，h=250mm。

解解析析：：建立圆柱坐标系，坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为

?2rdr?gdz?0

积分上式得

122?r?gz?C 2在自由表面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。于是得自由液面方程为

122?rs－gzs?0 212gzs rs于是 ??容器上缘处坐标为：r＝R＝0.15m，z＝H＝0.5m，代入上式，得

??12?9.81?0.5?20.88rad/s 0.1560?60?20.88??199.5r/min 2?2?3.14则容器底开始露出时的转速为

n?2－27 圆柱形容器的半径R＝15cm，高H＝50cm，盛水深h＝30cm。若容器以等角速度ω绕z轴旋转，试求ω最大为多少时才不致使水从容器中溢出？

已已知知：：R=15cm，H=50cm，h=30cm。

解解析析：：建立圆柱坐标系，坐标原点取在旋转抛物面顶点上。 等压面微分方程为 ?rdr?gdz?0 积分上式得

2122?r?gz?C 2在自由表面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。 于是得到自由液面方程为 zs??2rs22g

由于容器旋转后，水面最高点正好达到容器上缘，故没有水溢出。所以抛物体的空间体积应等于原静止时水面上部容器空间的体积。抛物体空间的体积为

V1???rdzs???rd(00R2sR2s?2rs22g4)???r0R2s?22g2rsdrs

???g2?R0rs3drs???R4g2静止时容器上部空间的体积为 V2??R(H?h) 因为V1＝V2，于是

2??2R44g??R2(H?h)

所以

??22g(H?h)??9.81?(0.5?0.3)?18.68rad/s R0.152－28 一封闭容器，直径D＝0.6m，高H＝0.5m，内装水深至h＝0.4m，上部装比重S＝0.8的油。封闭容器的上盖中心有一小孔，当容器绕z轴旋转时，使油水分界面下降至底部中心，试求：(1)这时的旋转角速度；(2)a、b、c、d各点的压力(用mH2O表示)；(3)液体作用在容器底和顶盖上的力。

已已知知：：D=0.6m，H=0.5m，h=0.4m，S=0.8。

解解析析：：(1) 建立圆柱坐标系，坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为 ?rdr?gdz?0 积分上式得

2122?r?gz?C 2在油水分界面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。于是油水分界面方程为

122?r－gz?0 2那么，在顶盖上的油水分界点r?r0、z?H处，有 ??1r02gH ①

又知容器中水面以上油的体积为 V?容器旋转后，抛物体的体积为 V??1?D2(H?h) 44g

??2r04由 V?V?，得 r0?4联立①式和②式，得

D2g(H?h)?2 ②

??2gHDg(H?h)2?2?9.81?0.50.6?9.81?(0.5?0.4)2?16.5rad/s

r0?4D2g(H?h)?2220.6?9.81?(0.5?0.4)?4?0.19m 216.5压力微分方程为 dp??(?rdr?gdz) 积分上式，得相对压力分布式为

p??(?2r22?gz)?C

由边界条件：r=0，z=0时，p??油H，得C??油H。则

p??(?2r22?gz)??油H??(?2r22g?z)??油H

那么，水的相对压力分布式为

p??水(?2r22?gz)??油H??水(?2r22g?z)??油H ③

油的相对压力分布式为

p???油(?2r22?gz)??油H??油(?2r22g?z)??油H ④

(2) 由水静力学基本方程(2－17)及上述③式，得a、b、c、d各点的相对压力分别为 pa?0

pb??油H?0.8?9810?0.5?3924Pa?0.4mH2O

16.52?0.32pd??水??油H??9810?0.8?9810?0.5 2g2?9.81?16175Pa?1.65mH2O pc?pd??水H?16175?9810?0.5?11270Pa?1.15mH2O

(3) 将上述③、④两式对容器顶盖面积积分，注意到z?H，得液体作用在顶盖上的力为

?2R2??H2?rdr??pz?H2?rdrF1??pz0r0r0R??

r0?2r2?油2g4g02?rdr??[?水(r0440R?2r22g?H)??油H]2?rdr???2?水?油4(R?r?r0)??H(?水??油)(R2?r02)

?水3.14?16.52?103??(0.34?0.194?0.8?0.194)4?3.14?0.5?9810?(1?0.8)(0.32?0.192)?1510N将上述③式对容器底面积积分，注意到z?0，得液体作用在容器底上的力为

F2??pz?H2?rdr??(0024RR?2r22g?水??油H)2?rdr???2R4?水4g???油HR2

?3.14?16.5?0.3?1000?3.14?0.8?981?00.5?0.32?2840N42－29 已知矩形闸门高h＝3m，宽b＝2m，上游水深h1＝6m，下游水深h2＝4.5m，求：(1)作用在闸门上的总静水压力；(2)压力中心的位置。

已已知知：：h=3m，h1=6m，h2=4.5m，b=2m。 解解析析：：(1) 闸门左侧所受的总压力为

hP1??hc1A??(h1?)bh2 3?9810?(6?)?2?3?264.87kN2左侧压力中心到闸门中心的距离为

13bh3Ixc2?3 e1?hD1?hc1??12??0.167m

h3hc1A(h1?)bh12?(6?)?2?322闸门右侧所受的总压力为

P2??hc2A??(h2?)bh?9810?(4.5?)?2?3?176.58kN 右侧压力中心到闸门中心的距离为

h23213bhIxc2?3312 e2?hD2?hc2????0.25m

h3hc2A(h2?)bh12?(4.5?)?2?322闸门所受的总压力为

P?P1?P2?264.87?176.58?88.29kN 总压力的方向指向右侧。

(2) 为求压力中心的位置，设总压力的作用点距底部O点的距离为a，对O点取矩，得 Pa?P1(?e1)?P2(?e2)

h2h2hh33P(?e)?P(?e)264.87?(?0.167)?176.58?(?0.25)11222222则 a???1.5m

P88.292－30 在倾角α＝60°的堤坡上有一圆形泄水孔，孔口装一直径d＝1m的平板闸门，闸门中心位于水深h＝3m处，闸门a端有一铰链，b端有一钢索可将闸门打开。若不计闸门及钢索的自重，求开启闸门所需的力F。

已已知知：：d=1m，hc=3m，α=60°。 解解析析：：(1) 闸门所受的总压力为 P??hcA?9810?3?1?3.14?1.02?2.31?104N?23.1kN 4(2) 压力中心到闸门中心的距离为

?Ixcd2sin?1.02?sin60?64 e?yD?yc?????0.018m

h?ycA16hc16?3c?d2sin?4d(3) 对闸门上端a点取矩，得 Fdco?s?P(?e)

2则开启闸门所需要的力为

d4d1.0P(?e)2.31?104?(?0.018)22??23.93kN F??dcos?1.0?cos602－31 有一三角形闸门，可绕AB轴旋转，油液的重度为γ，求液体对闸门的总压力及总压力对AB轴的力矩。

已已知知：：h，b，γ。

解解析析：：液体对闸门的总压力为

21?bh2 P??hcA??h?bh?

323压力中心距AB的距离可图解法来确定，或由惯性积计算确定为

3b。 83b?bh23b?b2h2???则总压力对AB轴的力矩近似为 M?P? 83882－32 倾斜的矩形平板闸门，长为AB，宽b＝2m，设水深h＝8m，试求作用在闸门上的静水总压力及其对端点A的力矩。

已已知知：：b=2m，h=8m，h0=BE=4m，l0=AE=3m。 解解析析：：依据图意知 AB?32?42?5.0m；

2闸门面积为 A?AB?b?5.0?2.0?10m。

闸门所受的总压力为

11P?pcA?(h?h0)?A?(8??4)?9810?10 22?588.6kN压力中心D距形心C的距离为

311bAB?2.0?5.03I12?12?0.278m e?yD?yc?xc?15.0ycA1AB?10(h?h0)?A(8??4)?24.02h0压力中心D距A点的距离为 AD?AC?e?2.5?0.278?2.222m 静水总压力对端点A的力矩为

M?P?AD?588.6?2.222?1308kN?m

2－33 矩形平板闸门，宽b＝0.8m，高h＝1m，若要求箱中水深h1

超过2m时，闸门即可自动开启，铰链的位置y应设在何处？

已已知知：：b=0.8m，h=1m，h1≥2m。

解解析析：：当铰链的位置高于压力中心的位置时，即y≥h1－hD时，闸门即可自动开启。闸门所受的总压力为

P?pcA?(h1?)?A?(2?)?981?01?0.8?1177N2 压力中心的位置为

h21213bhIxch10.8?1312 hD?hc??(h1?)??(2?)??1.556m

h1hcA22(h1?)bh12?(2?)?0.8?122那么，铰链的位置y为 y?h1?hD?2?1.556?0.444m

2－34 金属的矩形平板闸门，宽1m，由两根工字钢横梁支撑。闸门高h＝3m，容器中水面与闸门顶齐平，如要求两横梁所受的力相等，两工字钢的位置y1和y2应为多少？

已已知知：：b=1m，h=3m。

解解析析：：容器液面上的相对压力为pA?0，容器底面上的相对压力为pE??h?9810?3?29430N，据此绘制矩形平板闸门的静压力分布图，如图所示。将静压力分布图的面积两等分，得△ABD和梯形BCDE。 由

11CE?AE BD?AD?CE?AE，得 BD?242ADBDADCE?AD?，得 BD? CEAEAE由

比较以上两式，得 AD?AEh3CE?ADCE???2.12m； BD??

AE2222 DE?AE?AD?h?h22?(1?)h?(1?)?3?0.879m

2222处，而总压力的作用线通过静压力分布图的形心，3由于△ABD的形心位于A点以下

所以得 y1?223AD???2?1.414m 332梯形BCDE的形心距离容器底面的距离为

CE?CEDE2BD?CEDE222h?y2?????DE??0.879?0.414m 3BD?CE333CE?CE22?所以 y2?3?0.414?2.586m

2－35 一弧形闸门，宽2m，圆心角α＝30°，半径r＝3m，闸门转轴与水平面齐平，求作用在闸门上的静水总压力的大小与方向(即合力与水平面的夹角)。

已已知知：：b=2m，r=3m，α=30°。

?解解析析：：由图可知 h?rsin??3?sin30?1.5m

弧形闸门所受的水平分力为

Px?11?bh2??9810?2?1.52?2.207?104N 22弧形闸门所受的水平分力为

11?r2?hrcos?)b? 122112?3 ?(?3.14?3??1.5?3?cos30)?2?9810?7.97?10N

122 Pz?VP??(总合力为 P?Px2?Pz2?22.072?7.972?23.46kN

?1总合力与水平面的夹角为 ??tgPz7.97?tg?1?19.86? Px22.072－36 一圆柱形闸门，长l＝10m，直径D＝4m，上游水深h1＝4m，下游水深h2＝2m，求作用在该闸门上的静水总压力的大小与方向。

已已知知：：l=10m，D=4m，h1=4m，h2=2m。 解解析析：：(1) 闸门左侧面所受的水平分力为 Px1?11?h1Dl??9810?4?4?10?7.848?105N 22111?h2?Dl??9810?2?4?10?1.962?105N 22455闸门右侧面所受的水平分力为

Px2?则，闸门所受的总水平分力为

Px?Px1?Px2?(7.848?1.962)?10?5.886?10N

(2) 依据题意可知，闸门左侧压力体的体积为柱体，总压力体的体积为

11圆柱体，闸门右侧压力体的体积为圆243圆柱体。所以闸门所受的垂直分力为 43132 Pz?VP????Dl???3.14?42?10?9810?9.241?105N

4416总合力为 P?Px2?Pz2?5.8862?9.2412?10.956?105N

?1总合力与水平面的夹角为 ??tgPz9.241?tg?1?57.5? Px5.8862－37 图示为一封闭容器，宽b＝2m，AB为一1/4圆弧闸门。容器内BC线以上为油，以下为水。U形测压计中液柱高差R＝1m，闸门A处设一铰，求B点处力F为多少时才能把闸门关住。

已已知知：：b=2m，R=1m，S油=0.8，S=3.0。

解解析析：：(1) 设油水分界面上的相对压力为p0。由静力学方程得U型管液、水分界面上的相对压力为

p0??水h?S?水R

则 p0?(SR?h)?水?(3.0?1?2)?9810?9810Pa A点的相对压力为

pA?p0?RS油?水?(1?1?0.8)?9810?1962N 圆弧闸门所受的水平分力为 Px?(p0?11RS油?水)Rb?(1??1?0.8)?981?01?2?1177N2 22对应于水平分力的压力中心的位置(A点以下)为

13bR?油?油Ixc112hD?hc??R?1(pA??油hc)A2(pA?R?油)Rb 212?12?0.8?9810??1??0.722m1212?(196?2?1?0.8?981)02水平分力的方向水平向左。

圆弧闸门所受的垂直分力为

1Pz?pAAz?VP?油?pARb?(R2??R2)bS油?水4

1?1962?1?2?(1??3.14)?12?2?0.8?9810?729.86N4垂直分力的方向垂直向上。

垂直分力的作用线距A点的水平距离为 l?对A点取矩，得 FR?PxhD?Pzl 则 F?4R4?1??0.425m 3?3?3.14PxhD?Pzl11772?0.722?7298.6?0.425??1.16?104N?11.6KN

R12－38 用一圆柱形圆木挡住左边的油，油层浮在水面上，设圆木正处于平衡状态，试求：(1)单位长圆木对岸的推力；(2)单位长圆木的重量；(3)圆木的比重。

已已知知：：R=0.8m，S油=0.8。

解解析析：：(1) 由于圆木下部左右两侧所受水的水平作用力大小相等，方向相反，互相抵消，所以，圆木所受的水平分力为油的水平作用力，即

Px?11?油R2l??0.8?981?00.82?1?251N1 22那么，单位长圆木对岸的水平推力为2511N。

(2) 根据图意可知，圆木上部油的压力体体积为VP1?(R2??R2)l，其垂直分力的方向向下；圆木下部水的压力体体积为VP2?141?R2l，其垂直分力的方向向上。若设油水分2界面上的相对压力为p0，p0??油R，所以圆木所受的总垂直分力为

11Pz?VP1?油?(p0Az2?VP2?水)?(R2??R2)l?油?(2R2l?油??R2l?水)42

11?[(1??3.14)?0.8?(2?0.8??3.14)]?0.82?1?9810??1882N342上式中的负号说明垂直分力的方向是向上的。由于圆木处于平衡状态，所以单位长圆木的重量等于圆木所受的垂直分力，为18823N。

(3) 圆木的比重为 S?W18823??0.955 2V?水3.14?0.8?1?98102－39 半径为R的封闭圆柱形容器内装满重度为γ的液体，测压管如图所示，试求：(1)作用在单位长AB面上的水平分力及作用线；(2)作用在单位长AB面上的铅垂分力及作用线。

已已知知：：R，γ。

解解析析：：(1) 由于BD所在的水平面上的相对压力为0，则A点处的相对压力为

pA???R。

那么，作用在单位长AB面上的水平分力为 Px??水平作用线距A点的垂直距离为

12R? 21bR3??Ixc1112 hD?hc??R??R 1(pA??hc)A23(??R??R)bR2(2) 作用在单位长AB面上的垂直分力为

11444R垂直作用线距圆柱形容器中心的水平距离为。

3?2－40 一直径d＝2m的圆柱体，长度l＝1m，放置于α＝60°的斜面上，一侧有水，水

Pz?pAAz??VP???R2?(R2??R2)????R2? 深h＝1m，求此圆柱体所受的静水总压力。

已已知知：：d=2m，h=1m，l＝1m，α＝60°。

解解析析：：(1) 由于圆柱体下部两侧所受的水平分力相等、相互抵消，所以，圆柱体所受的水平分力为

Px?pcAx?121?hl??981?012?1?4905N 22(2) 由图根据已知条件可知，压力体的体积为左下部半圆与右上方直角三角形的面积之和，所以，圆柱体所受的垂直分力为

11pz??Vp??(?d2?h2tg?)l82

11?9810?(?3.14?22??12?tg60?)?1?2387.49N82垂直分力的方向向上。因此，圆柱体所受的静水总压力为

P?Px2?Pz2?49052?23879.42?2.44?104N

静水总压力与水平面的夹角为

??tg?1Pz23879.4?tg?1?78.4? Px49052－41 油库侧壁有一半球形盖，直径为d＝0.6m，半球中心在液面下的淹没深度H＝2.0m，测压管中液面高出油库中液面的高度h＝0.6m，石油重度为6867N/m3，试求液体作用在半球盖上的水平分力及铅垂分力。

已已知知：：d=0.6m，H=2.0m，h=0.6m，γ=6867N/m3。 解解析析：：(1) 油库中液面上的相对压力为 p0??h?6867?0.6?4120.2Pa 那么，液体作用在半球盖上的水平分力为

1Px?pcAx?(p0??H)??d24

1?(4120.2?6867?2.0)??3.14?0.62?504.56N4(2) 半球盖的压力体体积为

1球的体积，液面上压力p0对半球盖上半部分作用的垂直2分力，与对下半部分作用的垂直分力相等，相互抵消，所以，液体作用在半球盖上的铅垂分力为

Pz??VP?11?d3???3.14?0.63?6867?388.1N 1212第三章 流体动力学基础

????3－1 已知速度场为u?2(x?y)i?(x?y)j?(x?z)k (m/s)，求(2，3，1)点的速度

和加速度。

已已知知：：ux?2(x?y)，uy?x?y，uz?x?z 解解析析：：(1) (2，3，1)点的速度为

，uy?x?y??1m/s，uz?x?z?1m/s ux?2(x?y)?10m/s u?ux?uy?uz?10?(?1)?1?10.10m/s (2) (2，3，1)点的加速度为

222222

ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z

?0?2(x?y)?2?(x?y)?2?0?6x?2y?6?2?2?3?18m/2say??uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z

?0?2(x?y)?1?(x?y)?(?1)?0?x?3y?2?3?3?11m/2s

az??uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz???x?y?z

?0?2(x?y)?1?0?(x?z)?(?1)?x?2y?z?2?2?3?1?9m/2s a?222ax?ay?az?182?112?92?22.93m/s2

????23－2 已知速度场为u?(3x??)i?2(??y)j?(4y?3)zk (m/s)，求τ＝2秒时，位

于(2，2，1)点的速度和加速度。

已已知知：：ux?3x??，uy?2(??y2)，uz?(4y?3)z 解解析析：：(1) τ=2秒、位于(2，2，1)点的速度为

ux?3x???8m/， suy?2(??y2)??4m/，suz?(4y?3)z?5m/s u?ux?uy?uz?8?(?4)?5?10.25m/s (2) τ=2秒、位于(2，2，1)点的加速度为

222222

ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z

?1?(3x??)?3?0?0?3(3x??)?1?3?(3?2?2)?1?25m/2say?

?uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z

?2?0?2(??y2)?(?4y)?0?8y(y2??)?2?8?2?(22?2)?2?34m/2saz??uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz???x?y?z

?0?0?2(??y2)?4z?(4y?3)2z2?8z(??y2)?(4y?3)2z?8?1?(2?22)?(4?2?3)2?1?9m/s

a?222ax?ay?az?252?342?92?43.15m/s2

???3－3 已知二维流场的速度分布为u?(4y?6x)?i?(6y?9x)?j (m/s)。问：

(1)该流动是稳定流还是非稳定流？是均匀流还是非均匀流？ (2)τ＝1秒时，(2，4)点的加速度为多少？ (3)τ＝1秒时的流线方程？

已已知知：：ux?(4y?6x)?，uy?(6y?9x)?

解解析析：：(1) 因为速度与时间有关，所以该流动是非稳定流动；由下述计算得迁移加速度为零，流线为平行直线，所以该流动是均匀流动。

(2) 加速度的计算式为

ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z

?(4y?6x)?(4y?6x)??(?6?)?(6y?9x)??4??2(2y?3x)ay??uy?ux?uy?uy?uy?uz?uy

???x?y?z?(6y?9x)?(4y?6x)??(?9?)?(6y?9x)??(6?)?3(2y?3x)则τ=1秒、位于(2，4)点的加速度为

ax?4m/s，ay?6m/s；a?ax?ay?7.21m/s (3) 将速度分量代入流线微分方程，得 (6y?9x)?dx?(4y?6x)?dy?0 分离变量，积分得 (9x?4y?12xy)??C 或写成 (3x?2y)??C

简化上式，得τ=1秒时的流线方程为 (3x?2y)?C?

3－4 已知速度场为ux?2y???3，uy?2x?，uz?0。求τ＝1时，过(0，2)点的流线方程。

已已知知：：ux?2y?＋?3，uy?2x?，uz?0 解解析析：：将速度分量代入流线微分方程，得

222222222x?dx?(2y???3)dy?0? ?

dz?0?积分上式，得

(x2?y2)??y?3?C1? ?

z?C2?则 τ=1秒时，过(0，2)点的流线方程为

x2?y2?y?6?0? ?

z?C?3－5 20℃的空气在大气压下流过0.5m直径的管道，截面平均流速为30m/s。求其体积流量、质量流量和重量流量。

已已知知：：在大气压下20℃空气的密度为1.205kg/m3，管道直径为0.5m，截面平均流速为30m/s。

解解析析：：(1) 体积流量为 Q?uA?11?d2u???0.52?30?5.89m3/s 441122(2) 质量流量为 M??uA??d?u???0.5?1.205?30?7.09kg/s

44(3) 重量流量为

11?d2?gu???0.52?1.205?9.81?30?69.60N/s 44y23－6 流体在两平行平板间流动的速度分布为 u?umax[1?()]

b G??guA?式中umax为两板中心线y＝0处的最大速度，b为平板距中心线的距离，均为常数。求通过两平板间单位宽度的体积流量。

2已已知知：：速度分布为 u?umax[1?()]

yb解解析析：：由体积流量计算式，得 Q?by24udy?2u[1?()]dy?buma x?A?0maxb33－7 下列各组方程中哪些可用来描述不可压缩流体二维流动？ (1) ux?2x2?y2，uy?x3?x(y2?2y) (2) ux?2xy?x2?y，uy?2xy?y2?x2 (3) ux?x??2y，uy?x?2?y? (4) ux?(x?2y)x?，uy?(2x?y)y? 已已知知：：速度分布方程。

解解析析：：将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程：

?ux?uy(1) ??4x?2xy?2x?0，不可用来描述不可压缩流体二维流动；

?x?y(2)

?ux?uy??2y?2x?2x?2y?0，可以用来描述不可压缩流体二维流动； ?x?y?ux?uy(3) ??????0，可以用来描述不可压缩流体二维流动；

?x?y(4)

?ux?uy??2x??2y??2x??2y??4x??0，不可用来描述不可压缩流体二?x?y维流动。

3－8 下列两组方程中哪个可以用来描述不可压缩流体空间流动？

1(x?2?y?)z2 21222234(2) ux?y?2xz，uy?xyz?2yz，uz?xz?xy

2(1) ux?xyz?，uy??xyz?，uz?2已已知知：：速度分布方程。

解解析析：：将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程： (1)

?ux?uy?uz???yz??xz?2?(x?2?y?)z?0，可以用来描述不可压缩流体?x?y?z空间流动；

(2)

?ux?uy?uz???2z?x2z?2z?x2z?2x2z?0，不可用来描述不可压缩流?x?y?z体空间流动。

3－9 已知不可压缩流体二维流动在y方向的速度分量为uy?y2?2x?2y，求速度在x方向的分量ux。

已已知知：：不可压缩流体二维流动的速度分量 uy?y2?2x?2y 解解析析：：由不可压缩流体二维连续性方程

?ux?uy??0，得 ?x?y ux????ydx???(2y?2)dx??(2xy?2x)?f(y)

4,uθ?4r，求速度在r2?uy3－10 已知不可压缩流体在r、θ方向的速度分量分别为ur?z方向的分量uz。

已已知知：：不可压缩流体在r、θ方向的速度分量为 ur?解解析析：：由不可压缩流体三维柱坐标的连续性方程

4,uθ?4r。 2rur?ur?uθ?uz????0，得 r?rr???z uz??(?ur?ur?u?48??)dz???(3?3)dz?4r?3z?f(r，?) r?rr??rr3－11 设不可压缩流体空间流动的两个速度分量为 (1) ux?ax2?by2?cz2，uy??dxy?eyz?fzx

y2z2x2z2(2) ux?ln(2?2)，uy?sin(2?2)

bcac其中a、b、c、d、e、f均为常数。已知当z＝0时uz＝0。试求第三个速度分量。 已已知知：：不可压缩流体空间流动的两个速度分量。 解解析析：：(1) 由不可压缩流体空间流动的连续性方程

?ux?uy?uz???0，得 ?x?y?z

?ux?uyuz???(?)dz???(2ax?dx?ez)dz?x?y1??(2axz?dxz?ez2)?f(x，y)2

当z=0时，uz?0，则f(x，y)?0，所以 uz??(2axz?dxz?12ez)。 2?ux?uy(2) uz???(?)dz???(0?0)dz?f(x，y)

?x?y当z=0时，uz?0，则f(x，y)?0，所以 uz?0。

3－12 已知不可压缩理想流体的压力场为p?4x?2y?yz?5z (N/m2)，若流体

322????密度ρ＝1000kg/m。g＝9.8m/s。求流体质点在r?3i?j?5k m位置上的加速度。

3

2

3222已已知知：：p?4x?2y?yz?5z(N/m)，ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2。

解解析析：：由压力分布式得

?p?p?p?12x2；??4y?z2；??2yz?5； ?x?y?z由已知条件，得fx?0，fy?0，fz??g。代入以下欧拉运动微分方程，

1?pdux?du1?p1??ax?x?fx??0??12x2????xd?d???x???duy1?p11?pduy??a??f??0??(?4y?z2)? fy? 得 ??yyd???y???yd???duz1?p1?1?pduz?a??f???g??(?2yz?5)fz??zz??d???z???zd???fx?将ρ=1000 kg/m3；g=9.8 m/s2；x=3，y=1，z=－5代入上式，得 ax??0.108 m/2s；ay?0.029m/2s；az??9.815m/2s； a?2222ax?ay?az?(?0.108)2?0.029?(?9.815)2?9.816m/2s

3－13 已知不可压缩理想流体稳定流动的速度场为

????22232 u?(3x?2xy)i?(y?6xy?3yz)j?(z?xy)k (m/s)

求流体质点在(2，3，1)点处的压力梯度。ρ＝1000kg/m3，g＝9.8m/s2。

22232已已知知：：ux?3x?2xy；uy?y?6xy?3yz；uz??(z?xy)；

ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2。 解解析析：：由加速度计算式，得

ax?

dux?ux?u?u?u??uxx?uyx?uzxd????x?y?z?(3x2?2xy)(6x?2y)?(y2?6xy?3yz2)(?2x) ?18x3?6x2y?2xy2?6xyz2ay?

duyd???uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z?(3x2?2xy)(?6y)?(y2?6xy?3yz2)(2y?6x?3z2)?(z3?xy2)?6yz ?18x2y?6xy2?2y3?9y2z2?36xyz2?6xy3z?3yz4az?

duz?uz?u?u?u??uxz?uyz?uzzd????x?y?z?(3x2?2xy)y2?(y2?6xy?3yz2)?2xy?(z3?xy2)(?3z2) ?9x2y2?3xy2z2?3z5将上式代入欧拉运动微分方程，

1?pdux????xd???1?pduy? fy???

??yd??1?pduz?fz?????zd??dux??p3222??(f?)???(18x?6xy?2xy?6xyz)x??xd??duy??p得 ???(fy?)???(18x2y?6xy2?2y3?9y2z2?36xyz2?6xy3z?3yz4)

d???y??pduz??(f?)???(g?9x2y2?3xy2z2?3z5)?zd???zfx?将ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2；x=2，y=3，z=1代入上式，得

?p?p?p3??72kN/m3；?288kN/m3；??282.8kN/m ?x?y?z????p??p??p?i?j?k??72i?288j?282.8kkN/m3 则 gradp??x?y?z???u?(x?2y)?i?(y?2x)?j (m/s)，3－14 已知不可压缩理想流体的速度场为流体密

度ρ＝1500kg/m3，忽略质量力，求τ＝1s时位于(x，y)处及(1，2)点处的压力梯度。

已已知知：：ux?(x?2y)?，uy?(y?2x)?；ρ=1500kg/m3；f?0。 解解析析：：由加速度计算式，得

?ax??ux?u?u?uxx?uyx?(x?2y)?(x?2y)????(y?2x)??(?2?)???x?y?(x?2y)(1??2)?2(y?2x)?2

?uy?uy?uyay??ux?uy?(y?2x)?(x?2y)??(?2?)?(y?2x)??????x?y?(y?2x)(1??2)?2(x?2y)?2当τ=1秒时，ax?6(x?y)，ay??6(x?y) 代入欧拉运动微分方程，得

?p?p???ax??6?(x?y)，???ay?6?(x?y) ?x?y则τ＝1s时位于(x，y)处的压力梯度为 gradp??????p??p?i?j??6?(x?y)i?6?(x?y)j??6?(x?y)(i?j) ?x?y????τ＝1s时位于(1，2)点处的压力梯度为

gradp??6?(x?y)(i?j)?9000(i?j)N/m

3???3－15 已知不可压缩理想流体的速度场为u?Axi?Ayj (m/s)，单位质量力为??f??gk m/s2，位于坐标原点的压力为p0，求压力分布式。

??已0)?p0 已知知：：ux?Ax，uy??Ay；f??gk；p(0，解解析析：：由加速度计算式，得

?ux?u?u?uxx?uyx?A2x???x?y?uy?uy?uy ay??ux?uy?A2y

???x?y?u?u?uaz?z?uxz?uyz?0???x?yax?代入由欧拉运动微分方程，得

?p?p?p???ax???A2x，???ay???A2y，???(g?az)???g ?x?y?z

dp??p?p?pdx?dy?dz???A2xdx??A2ydy??gdz?x?y?z

1?A2(x2?y2)??gz?C 2???A2(xdx?ydy)??gdz积分上式，得 p??当x=0，y=0，z=0时，p=p0，则C=p0。代入上式，得压力分布式为

p?p0?1?A2(x2?y2)??gz 23－16 已知不可压缩理想流体在水平圆环通道中作二维稳定流动，当圆周速度分别为

uθ?k；uθ?kr；uθ?k时，求压力p随uθ和r的变化关系式。 rk已已知知：：(1) uθ?k；(2) uθ?kr；(3) uθ?；ur?uz?0。 r解解析析：：根据已知条件，简化欧拉运动微分方程，

2?ur?ur?uruθ1?p?urfr???ur?uθ?uz???r???rr???zr fθ?1?1fz??????u?u?uuu??p?uθ??urθ?uθθ?uzθ?rθ? r?????rr???zr???u?u?u?p?uz??urz?uθz?uzz??z???rr???z?2?uθ2uθ1?pdr 可以得到 ??? 或写成 dp?r??rr将已知条件代入上式，得

dr2 积分得 p??klnr?C1 r1222(2) uθ?kr时， dp??krdr 积分得 p??kr?C2

2k12?22dr(3) uθ?时， dp??k3 积分得 p???kr?C3 r2r2(1) uθ?k时， dp??k3－17 已知不可压缩理想流体的速度分量为ux?ay，uy?bx，uz?0，不计质量力，求等压面方程。

?已已知知：：ux?ay，uy?bx，uz?0；f?0。

解解析析：：由加速度计算式，得

?ux?u?u?uxx?uyx?0?0?abx?abx???x?y?uy?uy?uy ay??ux?uy?0?aby?0?aby

???x?y?u?u?uaz?z?uxz?uyz?0???x?yax?代入由欧拉运动微分方程，得

?p?p?p???ax???ab，x???ay???ab，y???az?0 ?x?y?z?p?p?pdx?dy?dz???abxdx??abydy???ab(xdx?ydy) ?x?y?z则 dp?在等压面上，dp?0，则等压面微分方程为 (xdx?ydy)?0 积分上式，得等压面方程 x?y?C

3－18 若在150mm直径管道内的截面平均流速为在200mm直径管道内的一半，问流过该两管道的流量之比为多少？

22已已知知：：d1=150mm，d2=200mm；u2=2u1。 解解析析：：根据流量计算式，可得

Q1A1u1du150219??(1)2(1)?()()??0.28 Q2A2u2d2u22002323－19 蒸气管道的干管直径d1＝50mm，截面平均流速u1＝25m/s，密度ρ1＝2.62kg/m3，蒸气分别由两支管流出，支管直径d2＝45mm，d3＝40mm，出口处蒸气密度分别为ρ2＝2.24kg/m3，ρ3＝2.30kg/m3，求保证两支管质量流量相等的出口流速u2和u3。

已已知知：：d1=50mm，d2=45mm，d3=40mm，u1=25m/s， ρ1=2.62kg/m3，ρ2=2.24kg/m3，ρ3=2.30kg/m3，M2=M3。

解解析析：：根据已知条件列连续性方程，

111?d12?1u1??d22?2u2??d32?3u3 ① 4441122 ?d2?2u2??d3?3u3 ②

44

将②式代入①式，得

?1u1d1?2?2u2d2 ③ 则 u2?代入②式，得

u3?(221?1d1212.6250()()u1??()?()2?25?18.05m/s 2?2d222.2445?2d222.2445)()u2?()?()2?18.05?22.25m/s ?3d32.30403－20 水射器如图所示，高速水流uj由喷嘴射出，带动管道内的水体。已知1截面管道内的水流速度和射流速度分别为u1＝3m/s和uj＝25m/s，管道和喷嘴的直径分别为0.3m和85mm，求截面2处的平均流速u2。

已已知知：：D=0.3m，d=85mm，u1=3m/s，uj=25m/s 解解析析：：列连续性方程，

111?(D2?d2)u1??d2uj??D2u2 444d2d0.08520.0852)]u1?()2uj?[1?()]?3?()?25?4.766m/s DD0.300.30y17)，r0为圆管半径，y为离管壁的距离，umaxr0则截面②处的平均流速为 u2?[1?(3－21 已知圆管中流速分布为u?umax(为管轴处的最大流速，求流速等于截面平均流速的点离管壁的距离yc。

已已知知：：速度分布为 u?umax(y17) r0解解析析：：截面平均流速为

1 u??r02?r00y7yy49u?2?rdr?2uma?()(1?)d()?uma xx0rr0r06001171)令 u?uma(x得 yc?(yr0?u?49uma x60497)r0?0.242r30 603－22 管道末端装一喷嘴，管道和喷嘴直径分别为D＝100mm和d＝30mm，如通过的流量为0.02m3/s，不计水流过喷嘴的阻力，求截面1处的压力。

已已知知：：D=100mm，d=30mm，Q=0.02m3/s，pm2=0。 解解析析：：由连续性方程，得 u1?4Q4?0.02??2.55m/s 22?D3.14?0.14Q4?0.02??28.31m/s ?d23.14?0.032 u2?列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得

pm1?1212?u1??u2 221212112pm1??u2??u1??(u2?u12)??1000?(28.312?2.552)?397476.8N/m22222

3－23 水管直径50mm，末端的阀门关闭时，压力表读数为21kN/m2，阀门打开后读数降至5.5kN/m2，如不计管中的压头损失，求通过的流量。

已已知知：：d=50mm，p0=21kN/m2，p=5.5kN/m2。 解解析析：：列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得 p0?p?则 u?流量为 Q?12?u 22(p0?p)?2?(21?5.5)?103??5.568m/s

10311?d2u??3.14?0.052?5.568?0.011m3/s 443－24 用水银压差计测量水管中的点速度u，如读数Δh＝60mm，求该点流速。 已已知知：：Δh=60mm。

解解析析：：根据题意，由流体静力学方程，得 p0?p?(?汞??)?h?(?汞??)g?h 列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得

p0?p?则 u?12?u 22(p0?p)??2(?汞??)g?h?2?(13.6?1)?9.81?103?0.06 ??3.85m/s3103－25 流量为0.06m3/s的水，流过如图所示的变直径管段，截面①处管径d1＝250mm，截面②处管径d2＝150mm，①、②两截面高差为2m，①截面压力p1＝120kN/m2，压头损失不计。试求：

(1)如水向下流动，②截面的压力及水银压差计的读数； (2)如水向上流动，②截面的压力及水银压差计的读数。

已已知知：：Q=0.06m3/s，d1=250mm，d2=150mm，H=2m，p1=120kN/m2。 解解析析：：(1) 由连续性方程，得 u1?4Q4?0.06??1.223m/s 22?d13.14?0.254Q4?0.06??3.397m/s ?d223.14?0.152 u2?(2) 列出①、②两截面间的伯努利方程，基准面取在②截面上；同时列出U型管的静力学方程，

2u12p2u2?H??? ?2g?2gp1 (p1??H)?p2?(?汞??)?h

2u12u211p2?p1??H?????(120?9.81?2??1.2232??3.3972)?1032g2g22得

22?134.6?103N/m?134.6kN/mp1?p2??H(120?134.6?9.81?2)?103 ?h???0.0406m?40.6mm

(?汞??)(13.6?1)?9.81?103(3) 如果水向上流动，并且不计压头损失，所得结果与上述相同。

3－26 风机进气管首端装有一流线形渐缩管，可用来测量通过的流量。这种渐缩管的局部损失可忽略不计，且气流在其末端可认为是均匀分布的。如装在渐缩管末端的测压计读数Δh＝25mm，空气的温度为20℃，风管直径为1.2m，求通过的流量。

已已知知：：Δh=25mm，d=1.2m，ρ=1.205kg/m3。 解解析析：：由流体静力学方程，得 pm???水?h 列渐缩管进口前后的伯努利方程，基准面取在管轴线上，得

0?pm?12?u 2合并以上两式，得 u?则流量为 Q?2(?pm)??2?水?h??2?9810?0.025?20.176m/s

1.20511?d2u???1.22?20.176?22.81m3/s 443－27 水沿管线下流，若压力计的读数相同，求需要的小管直径d0，不计损失。

已已知知：：D=0.2m，u=3.0m/s，H=3m，p1=p2。

解解析析：：根据已知条件，列两截面间的连续性方程和伯努利方程，基准面取在下部截面上，

11?D2u??d02u0 441212 ?H??u??u0

22 联立以上两式，得

2u23 d0?D4?0.2?4?0.12m 22gH?u2?9.81?3?32同时得到 u0?(D20.22)u?()?3?8.33m/s d00.123－28 水由图中的喷口流出，喷口直径d＝75mm，不计损失，计算H值(以m计)和p值(以kN/m2计)。

已已知知：：d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，Δh=175mm，

解解析析：：(1) 列1-1截面至2-2截面间的伯努利方程，基准面取在2-2截面所在的水平面上，

p1??gz1?1212 ?u1?p2??u222列1-1与2-2截面间U型管的静力学方程

p1??g(z1?z2)?(p2??gz2)?(?汞??)g?h

简化上式，并代入伯努利方程，得

12?(u2?u12)?(?汞??)g?h ① 2d11?d12u1??d22u2 或写成 u1?u2(2)2 ②

d144列1-1截面至2-2截面间的连续性方程

将②式代入①式，整理后得

2g( u2??汞－1)?h?d24)d1?1?(2?9.81?(13.6?1)?0.175?8.56m/s

0.141?()0.125(2) 列2-2截面至3-3截面间的连续性方程

11?d22u2??d32u3 44d220.12)?8.56?()?15.22m/s d30.075则 u3?u2((3) 列自由液面至3-3截面间的伯努利方程，基准面取在出口管轴线上，得

2u315.222??11.81m H?2g2?9.81(4) 列压力表处至3-3截面间的伯努利方程，基准面取在出口管轴线上，得 pm?所

1212?u2??u3 22以

pm?11222 ?(u3?u2)??1000?(15.222?8.562)?79187.4N/m2?79.187kN/m223－29 水由管中铅直流出，求流量及测压计读数。水流无损失。 已已知知：：d=50mm，D=0.3m，δ=1mm，z1=3m，z2=1.5m。

解解析析：：(1) 列管嘴出口至圆盘边缘的伯努利方程和连续性方程，基准面取在盘面上， ?gz1?1212?u1??u2 22u1d212 ?du1??D?u2 或写成 u2?

4D?4代入伯努利方程，得

u1?2gz12?9.81?3 ??4.20m/s44d0.05?1?116D2?216?0.32?0.001211?d2u1??3.14?0.052?4.20?8.24?10?3m3/s 44则 Q?(2) 列管嘴出口至圆盘中心滞止点的伯努利方程，基准面取在盘面上，得 p0??gz1?1212?u1?1000?9.81?3??1000?4.202?3825N0/m 22列U型管的静力学方程， p0??z2??汞?h

则 ?h?p0??z2?汞?38250?9810?1.5?0.397m

13.6?98103－30 同一水箱经上、下两孔口出流，求证：在射流交点处，h1y1＝h2y2。 已已知知：：h1，h2，y1，y2。

解解析析：：列自由液面至两喷孔的伯努利方程，可得 u1?2gh1，u2?2gh2

x1?x2

又知 x1?u1?1，x2?u2?2； y1?1212 g?1，y2?g?222y1?12x12/2gh1h2则 ?2?2?

y2?2x2/2gh2h1故有 h1y1?h2y2，得证。

3－31 一压缩空气罐与文丘里式的引射管连接，d1,d2,h均为已知，问气罐压力p0多大方才能将B池水抽出。

已已知知：：d1，d2，h。

解解析析：：依题意，列吸水管的静力学方程，得 p1???水h 列1、2两截面间的伯努利方程和连续性方程

p1?

1212?u1??u2 22d11?d12u1??d22u2 或写成 u1?u2(2)2

d144代入伯努利方程，得

?水h12 ?u2?d2(2)4?1d1列气罐至喷口的伯努利方程，得

?水h12 p0??u2?

d242()?1d1所以，气罐压力p0必须大于或等于?水h/[(d24)?1]才能将B池中的水抽出。 d13－32 高压水管末端的喷嘴如图，出口直径d＝10cm，管端直径D＝40cm，流量Q＝0.4m3/s，喷嘴和管道以法兰连接，共用12个螺栓，不计水和管嘴的重量，求每个螺栓受力多少？

已已知知：：D=40cm，d=10cm，Q=0.4m3/s，n=12。 解解析析：：(1) 由流量计算式，得 u1?4Q4?0.44Q4?0.4??3.185m/s，u???50.955m/s 22222?D3.14?0.4?d3.14?0.1(2) 列喷嘴进出口的伯努利方程

1212?u1??u2 2211222262得 pm1??(u2?u1)??1000?(50.955?3.185)?1.293?10N/m

22 pm1?(3) 设喷嘴对水流的反作用力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为流体的流动方向， pm1A1?Rx??Q(u2?u1)

Rx?pm1A1??Q(u2?u1)

?1.293?106? 3.14?0.42?1000?0.4?(50.955?3.185)?1.433?105N4Rx1.433?105??11942N?11.942kN 则每个螺栓受力为 F?n123－33 直径为d1＝700mm的管道在支承水平面上分支为d2＝500mm的两支管，A－A截面压力为70kN/m2，管道中水的体积流量为Q＝0.6m3/s，两支管流量相等。(1)不计压头损失，求支墩受水平推力；(2)压头损失为支管流速压头的5倍，求支墩受水平推力。不考虑螺栓连接的作用。

已已知知：：d1=700mm，d2=500mm，Q=0.6m3/s，pm1=70kN/m2 解解析析：：(1) 依题意知 Q2?11Q??0.6?0.3m3/s，α=30°。 22u1?

4Q4?0.6??1.56m/s，22?d13.14?0.7

4Q24?0.3u2???1.53m/s22?d23.14?0.5(2) 列A-A至B-B及C-C间的伯努利方程

1212?u1?pm2??u2 22112233222 pm2?pm1??(u1?u2)?70?10??10?(1.56?1.53)?70046N/m

22 pm1?(3) 取A-A、B-B和C-C截面间的流体作为控制体，设支墩对水流的水平反推力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为u1的方向，

pm1A1?2pm2A2cos??Rx?2?Q2u2cos???Qu1 那么，支墩所受的水平推力为

Rx?pm1A1?2pm2A2cos???Q(u2cos??u1)

1???(0.72?70?0.52?70.046?cos30??2)?103 4?103?0.6?(1.53?cos30??1.56)?325.68N(4) 假若压头损失为支管流速压头的5倍，则A-A至B-B及C-C间的伯努利方程为

121212 ?u1?pm2??u2?5??u2222112233222则 pm2?pm1??(u1?6u2)?70?10??10?(1.56?6?1.53)?64194N/m

22 pm1?(5) 取A-A、B-B和C-C截面间的流体作为控制体，设支墩对水流的水平反推力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为u1的方向，

pm1A1?2pm2A2cos??Rx?2?Q2u2cos???Qu1 那么，支墩所受的水平推力为

Rx?pm1A1?2pm2A2cos???Q(u2cos??u1)

1???(0.72?70?0.52?64.194?cos30??2)?103 4?103?0.6?(1.53?cos30??1.56)?5246N3－34 水流经180°弯管自喷嘴流出，如管径D＝100mm，喷嘴直径d＝25mm，管道前端测压表读数M＝196.5kN/m2，求法兰盘接头A处，上、下螺栓的受力情况。假定螺栓上下前后共安装四个，上下螺栓中心距离为175mm，弯管喷嘴和水重为150N，作用位置如图。

已已知知：：D=100mm，d=25mm，M=196.5kN/m2，W=150N，dn＝175mm。

解解析析：：取法兰盘A至喷嘴出口间的弯曲流段作为控制体，取喷嘴轴线所在水平面为基准面，建立坐标系如图所示。

(1) 列连续性方程

11d?D2u1??d2u2 或写成 u1?()2u2 ① 44Dpm1(2) 列A至喷嘴出口间的伯努利方程

2u12u2?z1?? ② ?2g2g将式①代入式②，得

2u2pd[1?()4]?m1?z1 2gD?2g(pm1/??z1)2?9.81?(196.5?103/9810?0.3)所以 u2???20.01m/s 441?(d/D)1?(0.025/0.10)d20.0252 )u2?()?20.01?1.25m/sD0.101122?33 Q??du2???0.025?20.01?9.817?10m/s

44 u1?((3) 设弯管对流体的反作用力为R，方向如图所示，列控制体的动量方程 R?pm1?D??Q(u2?u1) 所以反推力为

1421R?pm1?D2??Q(u2?u1)4

1?196.5?103???0.102?1000?9.817?10?3(20.01?1.25)?1751.23N4(4) 流体对管壁的总推力由4个螺栓分担，但并非均匀分担。由于螺栓群所受的逆时针方向的力矩为

M?0.3W?0.3?Qu2?0.3(W??Qu2)?0.3?(150?1000?9.817?10?20.01)??13.93N?mR1751.23??437.8N 44?3

所以，左右两个螺栓受力各为：

上螺栓受力为：

RM13.93??437.8??358.2N 4dn0.175RM13.93??437.8??517.4N 4dn0.175下螺栓受力为：

3－35 下部水箱重224N，其中盛水重897N，如果此箱放在秤台上，受如图的恒定水流作用。问秤的读数是多少？

已已知知：：d=0.2m，h0=1.8m，h=6.0m，G=897N，W=224N。 解解析析：：(1) 列两水池液面至管口的伯努利方程，基准面取在管口所在的水平面上，可得到管出口的流速为

u0?2gh0?2?9.81?1.8?5.94m/s

(2) 列上水池液面至下水池液面间的伯努利方程，基准面取在下水池液面上，可得到冲击下水池的流股的流速为

u?2g(h0?h)?2?9.81?(1.8?6.0)?12.37m/s

(3) 取下池水体为控制体，并设池底对水体的反作用力为R，列动量方程，坐标系的方向垂直向下，得

?R?11?d2?u0(u0?u)???0.22?103?5.94?(5.94?12.37)??1199N 44所以 R?1199N

则下水箱的总重量为 W0?R?G?W?1199?897?224?2320N

3－36 求水流对1m宽的挑流坎AB作用的水平分力和铅直分力。假定A、B两截面间水重为2.69kN，而且截面B流出的流动可以认为是自由射流。

已已知知：：h0=2.1m，hA=0.6m，hB=0.9m，B=1.0m，W=2690N。 解解析析：：(1) 取上部流线为对象，列水池截面至A截面的伯努利方程，基准面取在池底所在的水平面上，

2uA得 h0?hA?

2g则A截面的平均速度为

uA?2g(h0?hA)?2?9.81?(2.1?0.6)?5.425m/s 列A、B两截面间的伯努利方程，取中间流线为对象，得

22uAuB1?hB? hA?

22g2g则B截面的平均速度为 uB?1122g(hA?hB)?uA?2?9.81?(?0.6?0.9)?5.4252?4.202m/s

22(2) 由A、B之间的连续性方程 aBuA?bBuB，得挑流坎出口流股的宽度b为 b?a(uA5.425)?0.6?()?0.775m uB4.202那么，A、B上的总压力分别为 PA?112?BhA??9810?1.0?0.62?1765.8N 221Bb211.0?0.7752??9810??4166.4N PB???2cos?2cos45(3) 设挑流坎AB作用于水流的水平分力和铅直分力分别为Rx和Ry，列A、B间的动量方程

PA?PBco?s?Rx??Q(uBco?s?uA)Ry?PBsin??G??QuBsin?Rx?PA?PBcos???Q(uBcos??uA)

?1765.8?4166.4?cos45??1000?0.6?5.425?(4.202?cos45??5.425) ?680.6N

Ry?PBsin??G??QuBsin??4166.4?sin45?2690?1000?0.6?5.425?4.202?sin45?1530.57N??

所以，水流对1m宽的挑流坎AB作用的水平分力和铅直分力分别为6806.6N和15307.5N。

3－37 水流垂直于纸面的宽度为1.2m，求它对建筑物的水平作用力。 已已知知：：h1=1.5m，h2=0.9m，B=1.2m。

解解析析：：(1) 取上部流线，列建筑物上下游两流动截面间的伯努利方程和连续性方程，基准面取在底面上，

2u12u2?h2? h1? 2g2g u1h1B?u2h2B 或写成 u1?u2(代入伯努利方程，得

u2?h2) h12g(h1?h2)2?9.81?(1.5?0.9) ??4.289m/sh220.921?()1?()1.5h1h20.9)?4.289?()?2.573m/s h11.53 u1?u2( Q?u2h2B?4.289?0.9?1.2?4.632m/s (2) 建筑物上下游两流动截面上的总压力分别为

121?h1B??981?01.52?1.2?1324.53N 221212 P2?p2A2??h2B??9810?0.9?1.2?4767.7N

22 P1?p1A1?(3) 设建筑物对水流的反作用力为R，列建筑物上下游两流动截面间的动量方程，坐标系的方向为流体的流动方向，得

P1?P2?R??Q(u2?u1) 所以，水流对建筑物的水平作用力为

R?P1?P2??Q(u2?u1)?13243.5?4767.7?1000?4.632?(4.289?2.573)?527.3N

3－38 有一圆柱体放在两无限宽的平行平板中间，平板间距B为1m，圆柱体前水流为均匀分布，流速u1＝5m/s，流过圆柱体后，流速近似三角形分布，求单位长度圆柱体对水流的阻力。平板对水流的摩擦阻力不计。

已已知知：：u1=5m/s，B=1m。

解解析析：：(1) 选取圆柱体前后两截面间的空间为控制体，建立坐标系，并假定物体对水流

的阻力为F，方向如图，摩擦阻力不计。上游截面上的速度为均匀分布，u1＝5m/s；设下游截面上的速度分布为u2=ay＋b，a、b为待定系数，由边界条件和连续性条件确定。当y=0时，u2=0，得b=0；列上下游两截面间的连续性方程

u1B?2得 a??B201aydy?aB2

44u14?5??20 B1所以 u2?20y

列x方向上的动量方程(圆柱体为单位长度)，

?F??(?A22u2dy?u12B)

2所以 F??(u1B??2A22u2dy)??[u12B?2?(20y)2dy]

020.5 ?1000?(5?1.0?2?20??0.5)??8333N

这里说明，在题设的理想条件下，圆柱体对流体不会产生阻力，而且阻力为负。

3－39 理想流体平面射流以θ角冲击在无限宽(垂直纸面方向)的平板上，如射流的单宽流量为q0，速度为u0，遇平板后两侧的单宽流量为q1和q2，求：(1)用θ函数表示的q1/q2；(2)射流对单宽平板的作用力。

已已知知：：θ、u0、q1、q2、q0。

解解析析：：(1) 建立坐标系如图，取冲击流股为控制体，设平板对射流流体的反作用力为T，列0-1和0-2间的伯努利方程，忽略重力，并注意到 p1=p2=p0=pa，得

22u0u12u2?? 或写成 u0?u1?u2 222133(2) 对控制体列x方向的动量方程，得

s 0??q1u1??q2u2??q0u0co?或者 q1?q2?q0cos? ① 由连续性方程可知，q2?q0?q1 ② 代入①式，整理后得 q1?代入②式得 q2?所以

1?co?sq0 21?co?sq0 2q11?cos?? q21?cos?(3) 对控制体列y方向的动量方程，得

? T??q0u0sin则射流对单宽平板的作用力为T???q0u0sin?。

3－40 直径为10cm、速度为20m/s的水射流垂直冲击在一块圆形平板上，不计阻力，问：

(1)平板不动时，射流对平板的冲击力为多大？

(2)如平板以速度5m/s向左运动，射流对平板的冲击力为多少？水流离开平板时，其流速的大小和方向是什么？

已已知知：：d0=10cm，u0=20m/s；U=5m/s。

解解析析：：(1) 平板不动时，取平板前的水射流为控制体，坐标x的方向与射流速度u同向，设平板对射流的反作用力为T，重力不计，对控制体列x方向的动量方程，得

T??u0A0?21?3.14?0.12?1000?202?3140N 4所以，平板不动时，射流对平板的冲击力为3140N。

(2) 当平板以速度5m/s向左运动时，射流与平板之间的相对速度为u0+U，列x方向的动量方程，得

T??(u0?U)A0?21?3.14?0.12?1000?(20?5)2?4906N 4所以，当平板以速度5m/s向左运动，射流对平板的冲击力为4906N。

列射流出口至板缘间的伯努利方程，并注意到 p= pa，相对速度u=u0+U，得

2(u0?U)2u2? 22则 u2?u0?U?20?5?25m/s

则水流离开平板时，其流速的大小为25m/s，方向平行于板面，沿径向流出。

3－41 有一直径由20cm变至15cm的90°变径弯头，其后端连一出口直径为12cm的喷嘴，水由喷嘴射出的速度为20m/s，求弯头所受的水平分力FH和铅垂分力FV。不计弯头内的水体重量。

已已知知：：d1=20cm，d2=15cm，d3=12cm，u3=20m/s。

解解析析：：(1) 建立坐标系如图，取弯头内的水体为控制体，设弯头对水体的反作用力为F，其水平分力和垂直分力分别为FH和FV，重力不计。列连续性方程，

111?d12u1??d22u2??d32u3 444d320.122)?20?()?7.2m/s d10.20得 u1?u3( u2?u3(d320.122)?20?()?12.8m/s d20.15(2) 分别列出1-3和2-3间的伯努利方程，注意到pm3＝0。

12121212?u1??u3； pm2??u2??u3 22221122222所以 pm1??(u3?u1)??1000?(20?7.2)?174080N/m

221122222 pm2??(u3?u2)??1000?(20?12.8)?11808 N0/m22 pm1?(3) 对控制体列x方向和y方向的动量方程，得

22 ?FH?pm2A2??u2A2； pm1A1?FV???u1A1

所以 FH??pm2A2??u2A2???3.14?0.15(118080?1000?12.8)??4979N

1224122 FV??pm1A1??u1A1???3.14?0.20?(17408?0100?07.22)??7094N

42弯头所受的水平分力FH和铅垂分力FV分别为4979N和7094N。

3－42 图示为一矩形容器，水由①、②两管流入，由③管流出，①、②、③管的直径分别为20cm、20cm和25cm，①、②两管的流量同为0.2m3/s，管口相对压力皆为32kN/m2，③管出口为大气压，倾角θ为30°。三根短管都位于同一水平面上，如容器仅由A点支撑，求xoy平面上作用于A点的力和力矩。

已已知知：：d1=d2=20cm，d3=25cm，Q1=Q2=0.2m3/s，Q3=2Q1。 pm1=pm2=32kN/m2，pm3=0，θ=30°，其它尺寸如图。 解解析析：：(1) 由连续性方程，得 u1?u2?4Q14?0.2??6.37m/s ?d123.14?0.22 u3?4Q34?0.2?2??8.15m/s 22?d33.14?0.25(2) 取容器内的水体为控制体，建立坐标系如图所示，设A点所受的力为F，其分量分别为Fx和Fy，对控制体列动量方程，得

?Fx?pm2A2??Q3u3cos???Q2u2 ?Fy?pm1A1??Q3u3sin???Q1u1

Fx??pm2A2??Q3u3cos???Q2u2

??(32?103???5102N3.14?0.22?1000?0.2?2?8.15?cos30??1000?0.2?6.37) 4Fy?pm1A1??Q3u3sin???Q1u1

?32?103??648.8N3.14?0.22?1000?0.2?2?8.15?sin30??1000?0.2?6.37 4 F?Fx2?Fy2?(?5102)2?648.82?5143N

(3) 对A点列动量矩方程，得

M??Fr??Q3u3sin?x3??Q3u3cos?y3??Q1u1x1??Q2u2y2

?1000?0.2?[2?8.15?(3?sin30??5?cos30?)?6.37?(2?2.5)] ??14959N?m?14.96kN?m3－43 如图所示的盛水容器，已知H＝6m，喷口直径d＝100mm，不计阻力，求： (1) 容器不动时，水流作用在容器上的推力；

(2) 容器以2m/s的速度向左运动，水流作用在容器上的推力。 已已知知：：H=6m，d=100mm；U=2m/s。

解解析析：：(1) 列容器液面至喷嘴出口的伯努利方程，可得喷口速度为 u?2gH?2?9.81?6?10.85m/s 流量为 Q?11?d2u??3.14?0.12?10.85?0.0852m3/s 44取容器中的水体为控制体，坐标系建在容器上，方向向左，设容器对水流的反作用力为F，列动量方程，得

F??Qu?1000?0.0852?10.85?924N 则水流作用在容器上的推力为924N。

(2) 当容器以2m/s的速度向左运动时，其相对速度为u?U，列动量方程，得 F??Q(u?U)?1000?0.0852?(10.85?2)?754N 所以，水流作用在容器上的推力为754N。

3－44 水射流由直径d＝6cm的喷嘴垂直向上喷射，离开喷口的速度为15m/s，若能支撑一块重100N的平板，射流喷射的高度Z为多少？

已已知知：：d=6cm，u1=15m/s，W=100N。 解解析析：：(1) Q?11?d2u1??3.14?0.062?15?42.39?10?3m3/s 44取管嘴出口至平板间的水体为分析对象，建立坐标系，方向垂直向上，设射流冲击平板时的速度为u2，根据动量方程

?W??Q(0?u2) 则 u2?W100??2.36m/s ?3?Q1000?42.39?10(2) 列管嘴出口至平板间的伯努利方程，得

2u12u2??z

2g2g2u12?u2152?2.362??11.2m 所以 z?2g2?9.813－45 喷嘴直径25mm，每个喷嘴流量为7L/s，若涡轮以100r/min旋转，计算它的功率。 已已知知：：d=25mm，R=0.6m，Q=7×10-3m3/s，n=100r/min。 解解析析：：(1) 由流量计算式，得喷嘴出流速度为

4Q4?7?10?3 u???14.27m/s 22?d3.14?0.025喷嘴自身的旋转速度为

u0??R?2?n2?3.14?100 ?R??0.6?6.28m/s6060所以，单个喷嘴的射流反作用力为 F??Qu 那么，射流的总功率为

?3 N?4Fu0?4?Quu0?4?1000?7?10?14.27?6.28?2509W?2.51kW

3－46 臂长皆为10cm的双臂喷水装置，喷水口直径为1cm，在3cm直径的中心供水管内水流速度为7m/s，求：

(1)转臂不动时需施加的力矩；

(2)使转臂以150r/min的转速反时针方向旋转需施加的力矩。

已已知知：：d=1cm，D=3cm，u0=7m/s，R=10cm；ω=150r/min，q=0.5Q。 解解析析：：(1) 由流量计算式，得 Q?11?D2u0??3.14?0.032?7?4.946?10?3m3/s 444q4?0.5?4.946?10?3喷嘴出口流速为 u???31.5m/s 22?d3.14?0.01那么，根据动量方程，转臂不动时所需施加的力矩为

M?2?quR??QuR?1000?4.946?10?3?31.5?0.1?15.58N?m

(2) 当转臂以150r/min的转速逆时针方向旋转时，转臂的旋转速度为

2?nR2?3.14?150?0.1??1.57m/s 6060那么，射流的绝对速度为u?U，这是需要施加的力矩为

U??R? M??Q(u?U)R?1000?4.946?10?3?(31.5?1.57)?0.1?16.36N?m

3－47 有一向后喷射水流作为动力的机动船逆水航行，河水流速为1.5m/s，相对于河岸的船速为9m/s，船尾喷口处相对于船体的流速为18m/s，流量为0.15m3/s，求射流对船体的推力。

已已知知：：u0=1.5m/s，u1=9m/s，u2=18m/s，Q=0.15m3/s。 解解析析：：根据题意知，河水相对于船体的速度为

u0?u1，而喷射流体相对于船体的速度为u2，设射流

对船体的推力为F，列动量方程，得

N F??Q(u2?u0?u1)?1000?0.15?(18?1.5?9)?11253－48 装在小车上的水箱侧壁有一流线型喷嘴，直径为20mm，已知h1＝1m，h2＝2m，射流恰好平顺地沿小坎转向水平方向离开小车。求：(1)射流对水箱的水平推力；(2)射流对小车的水平推力；(3)射流对小坎的水平推力。

已已知知：：d=20mm，h1=1m，h2=2m。

解解析析：：(1) 设喷嘴出口流速为u1，小坎出口出的流速为u2，分别列出水箱自由液面至喷嘴出口及小坎出口的伯努利方程，可得

u1?2gh1?2?9.81?1.0?4.43m/s

u2?2g(h1?h2)?2?9.81?(1.0?2.0)?7.67m/s

11Q??d2u1??3.14?0.022?4.43?1.39?10?3m3/s

44(2) 设射流对水箱的水平推力为F1；射流对小车的水平推力为F2；射流对小坎的水平推力为F。那么，根据动量方程，得

F1??Qu1?1000?1.39?10?3?4.43?6.16N ?7.67?10.66N

F2??Qu2?1000?1.39?10?3 F?F2?F1?10.66?6.16?4.5N

第四章 流体的有旋流动和无旋流动

4－1 下列流场是否连续？是否无旋？若为无旋流动，试描述其流动情景： (1) ux?4y，uy??3x； (2) ux?4xy，uy?0； (3) ur?，uθ?0；

cr(4) ur?0，uθ?c。 ru?u?u?ux?uy??0或r?r?θ?0，判

r?rr???x?y已已知知：：流场的速度分布。

解解析析：：① 根据不可压缩流体的连续性方程断流场是否连续；

1?uy?ux② 根据流体微团的角速度计算公式?z?(?)或

2?x?y?z?(1uθ?uθ?ur??)，计算出流体微团的各角速度分量，以此来判断流场是否无旋； 2r?rr??③ 根据流函数的微分式d???uydx?uxdy或d???uθdr?urrd?求出流线方程，依此绘出流线图形，来描绘流场的流动情景。

(1)

?ux?uy??0?0?0，该流场是连续的； ?x?y

?z?(1?uy?ux11?)?(?3?4)??3，该流场为有旋流场。

2?x?y22?ux?uy(2) ??4y?0?0，该流场不连续；

?x?y

?z?(1?uy?ux1?)?(0?4x)??2x，该流场为有旋流场。

2?x?y2(3)

ur?ur?uθcc???2?2?0?0，该流场是连续的； r?rr??rr1uθ?uθ?ur1(??)?(0?0?0)?0，该流场为无旋流场。 2r?rr??2 ?z?将速度分量代入流函数微分式，得

d???uθdr?urrd??0?积分得 ??c??C?

令?＝常数，得流线方程为??C。可见，流线为从原点发出的射线族。

crd??cd? r(4)

ur?ur?uθ???0?0?0?0，该流场是连续的； r?rr??