(1)求k的值及数列{an}的通项公式；
an＋1
(2)若数列{bn}满足＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.
2
解：(1)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n1－k＝2·3n1，得等比数列{an}的公比q
－
－
＝3，首项为2.
∴a1＝S1＝3＋k＝2，∴k＝－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2·3n1.
－
(2)由
an＋1n
＝(4＋k)anbn，可得bn＝n－1， 22·3
3n即bn＝·n. 23
n3123
＋2＋3＋…＋n?， ∵Tn＝?3?2?333n13123
∴Tn＝?32＋33＋34＋…＋3n＋1?， 32??1n23111
∴Tn＝?3＋32＋33＋…＋3n－3n＋1?， 32??1n?91
n－n＋1. ∴Tn＝?2－2·33?4?
典题导入
[例3] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；
2
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
anan＋1
[自主解答] (1)∵Sn＝nan－n(n－1)，当n≥2时， Sn－1＝(n－1)·an－1－(n－1)(n－2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝nan－n(n－1)－(n－1)an－1＋(n－1)·(n－2)， 即an－an－1＝2.
∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列， 故an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N*.
2211(2)由(1)知bn＝＝＝－，
anan＋1?2n－1??2n＋1?2n－12n＋1
11?111111－1－?＋?－?＋?－?＋…＋?故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝?＝1－＝?3??35??57??2n－12n＋1?2n＋12n
. 2n＋1
裂项相消法求和
1
本例条件不变，若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
Sn＋n解：Sn＝nan－n(n－1)＝n(2n－1)－n(n－1)＝n2. 11111bn＝＝2＝＝－，
Sn＋nn＋nn?n＋1?nn＋1
11?11??11??11?1n
－＋－＋－＋…＋?n－Tn＝?＝1－＝. ?12??23??34??n＋1?n＋1n＋1
由题悟法
利用裂项相消法求和应注意
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项11111111
相等．如：若{an}是等差数列，则＝?a－a?，＝?a－a?.
anan＋1d?nn＋1?anan＋22d?nn＋2?
以题试法
3．(20xx·“江南十校”联考)在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.
(1)求数列{an}的通项公式；
111
(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋…＋S1S2S3
1
解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16， ∵a3－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2. ∴an＝2n1. ＋ n＋1＋ (2)∵bn＝log42n1＝， 2n?n＋3? ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝. 411441 ∵＝＝?n－n＋3?， Snn?n＋3?3??1111∴＋＋＋…＋ S1S2S3Sn 114111111 ＝?1－4＋2－5＋3－6＋…＋n－n＋3? 3??11111422＝?1＋2＋3－n＋1－n＋2－n＋3?<， 3??9 ∴存在正整数k的最小值为3. ?1? 1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列?a?的 ?n? 前5项和为( ) 15 A.或5 831C. 16 31B.或5 1615D. 8 9?1－q3?1－q6 解析：选C 设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且＝，解得q＝2， 1－q1－q ?1?131 所以数列?a?是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝. 216?n? 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于( ) A．16 C．4 B．8 D．不确定 解析：选B 由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，可知数列{an}是等差数列，?a1＋a25?×25 由S25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8. 2 11111 3．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋n，…的前n项和Sn的值等于( ) 2481621 A．n2＋1－n 2C．n2＋1－ 2 n－1 1 B．2n2－n＋1－n 21 D．n2－n＋1－n 2 1 1 解析：选A 该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋n， 21111＋2＋…＋n?＝n2＋1－n. 则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋?2??222 11 4．(20xx·“江南十校”联考)若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋ a1a2a2a3 ＋…＋ 1 的结果可化为( ) anan＋1 1 B．1－n 2 1 A．1－n 4 12 1－n? C.?3?4? 12 1－n? D.?3?2?1?2n－11－ 解析：选C an＝2n1，设bn＝＝?， anan＋1?2?11?3?1?2n－1 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋?＋…＋?2?2?2?11? 1－n?2?4?2?1＝＝?1－4n??. 13 1－4 ?1? 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?aa?的前100项和为 ?nn＋1? ( ) 100A. 10199 C. 100 99B. 101101D. 100 解析：选A 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. a＋4d＝5，??1 ∵a5＝5，S5＝15，∴? 5×?5－1? 5a＋d＝15，?2?1 ??a1＝1， ∴?∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ?d＝1，? ∴ ?1?11111111 ＝＝－，∴数列?aa?的前100项和为1－＋－＋…＋－ 223100anan＋1n?n＋1?nn＋1?nn＋1? 11100 ＝1－＝. 101101101 2 ??n?当n为奇数时?， 6．已知函数f(n)＝?2且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100 ?－n?当n为偶数时?，? 等于( ) A．0 B．100 D．10 200 C．－100 解析：选B 由题意，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992 －1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100. 7．在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________. 解析：由等差数列的性质及a2＋a8＝18－a5， 得2a5＝18－a5，则a5＝6，