则AC与EF互相垂直平分，

∵BO＝OD（平行四边形的对角线相互平分）， ∴AC与BD互相垂直平分，

∴?ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形）， ∴AB＝BC（菱形的邻边相等）； ∵M是BC的中点，AM丄BC（已知）， ∴AB＝AC（等腰三角形的性质）， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，∠CBD＝30°．

20．【解答】（1）解：结论：四边形EFGH是正方形． 理由：∵△AHD是等腰直角三角形， ∴∠HDA＝∠HAD＝45°， 同理：∠EAB＝∠EBA＝45°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，

∴∠EAH＝∠EAB+∠BAD+∠DAH＝180°，

∴E，A，H共线，同理E，B，F共线，F，C，G共线，G，D，H共线， ∵∠E＝∠H＝∠G＝∠F＝90° ∴四边形EFGH是矩形， ∵△AHD是等腰直角三角形， ∴HA＝HD，

在矩形ABCD中，AB＝CD， 在△AEB和△DGC中，

，

∴△AEB≌△DGC（ASA），

∴AE＝DG， ∴HE＝HG，

∴矩形EFGH是正方形．

（2）①解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣α，

∵△AHD，△EAB都是等腰直角三角形， ∴∠HAD＝∠EAB＝45°，

∴∠EAH＝360°﹣∠EAB﹣∠BAD﹣∠HAD＝90°+α．

②结论：四边形ABCD是正方形；

理由：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形， ∴AE＝

AB，DG＝

CD，

在平行四边形ABCD中，AB＝CD， ∴AE＝DG，

∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形， ∴∠HDA＝∠CDG＝45°，

∴∠HDG＝∠HDA+∠ADC+∠CDG＝90°+∠ADC＝∠HAE， ∵△AHD是等腰直角三角形， ∴HA＝HD，

∴△HAE≌△HDG（SAS）， ∴HE＝HG．

同理可得：GH＝GF，FG＝FE， ∵HE＝HG，

∴GH＝GF＝EF＝HE， ∴四边形EFGH是菱形，

∵△HAE≌△HDG， ∴∠DHG＝∠AHE，

∵∠AHD＝∠AHG+∠DHG＝90°， ∴∠EHG＝∠AHG+∠AHE＝90°， ∴四边形EFGH是正方形．

四、填空题（每小题4分，共20分）

21．【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得：k（x﹣1）+3（x+1）＝7， ∴kx﹣k+3x+3＝7， ∴（k+3）x＝k+4， 当k+3＝0时，方程无解； 当k+3≠0时，x＝∵关于x的方程∴（x+1）（x﹣1）＝0， 就x＝﹣1或x＝1， 当x＝﹣1时，解得：k＝﹣当x＝1时，此时无解； ∴k＝﹣3或﹣

．

．

； ＝1， ＝﹣1， ，

无解，

故答案为：﹣3或﹣

22．【解答】解：设AC、PQ交于点O，如图所示：

∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO＝CO，OP＝OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵∠BAC＝45°，

∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AO＝∴OP′＝

AC＝

×8＝4，

，

，

AO＝2

∴PQ的最小值＝2OP′＝4故答案为：4

．

23．【解答】解：

∵解不等式①得：x≥a， 解不等式②得：x＜1， ∴不等式组的解集为a≤x＜1， ∵不等式组∴﹣4＜a≤﹣3， 故答案为：﹣4＜a≤﹣3． 24．【解答】解：连接DB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB．AC⊥DB， ∵∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形，

有4个整数解，