《 热力学统计物理》复习提纲2
1、考试时间：120分钟
2、考试题型有：简答题、单项选择题、填空题、计算题、证明题、（或判断题） 3、分数分布：25、20、25、18、12/12 4、复习思考题 0、重点和难点： 第一章-第四章
（六）近独立粒子的最概然分布：粒子运动状态的经典描述，量子描述，系统微观运动状态，三种分布。（6学时）
重点：三种分布。
难点：系统微观运动状态。
（七）Boltzman统计：热力学量的统计表达式，理想气体的物态方程，Maxwell速度分布律，能量均分定理。（6学时）
重点：热力学量的统计表达式。 难点：Maxwell速度分布律。
（八）Bose和Fermi统计：热力学量的统计表达式。（2学时）
重点：热力学量的统计表达式。
（九）系综理论：相空间，Liuvil定理，微正则分布，微正则分布的热力学公式，正则分布，正则分布的热力学公式，巨正则分布，热力学公式。（8学时）
重点：微正则、正则和巨正则分布热力学公式。 难点：相空间。
（十）涨落理论：涨落的准热力学理论。（2学时）
重点：涨落的准热力学理论。 难点：布朗运动。
一、填空题
1、根据费米分布，温度为T时处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为 。 2、若过程进行的每一中间态都是平衡态，则此过程称为 过程。 3、最大功定理指的是 。 4、盐的水溶液、水蒸气和冰三相平衡共存时，?? ，f? ，溶液的冰点和饱和蒸气压都取决于盐的浓度x
5、理想玻色气体出现凝聚的临界条件为 。
6、盐的水溶液与水蒸气平衡时，?? ；f? ，水蒸气的饱和蒸气压
随温度和盐的浓度而变，说明只有温度T和浓度x两个独立变量。
7、双原子分子能量中，如果有五个平方项，当温度为T时，则分子数为N的双原子分子理想气体的内能U? ；定压热容量Cp? 。
1
9、粒子在三维空间运动，它的自由度为 ，粒子的质量为m，粒子在任一时刻运动的
?，pz?mz?，py?my?，则此自由粒子的动能：?? 。 动量为px?mx10、单元复相系平衡时所要满足的条件为： 11、爱伦费斯特将一级相变概括为：
二级相变概括为：
12、热力学第三定律的两种表述分别为： 和
13、气体以恒定速度v0沿z方向作整体运动，则分子的平均平动动能为： 14、在体积V内，圆频率在?到??d?范围内，光子的量子态数为： 15、经典极限条件或非简并性条件为： 16.理想气体的体胀系数α=_______，压强系数β=_______.
U?17.???VT?0成立的前提条件是_______________。
18.已知范德瓦尔斯气体内能U=CT-a/V，则定容热容CV=______________.
19.固态氨蒸气压方程lnP=23.03-3754/T,液态氨蒸气压方程为lnp=19.49-3063/T,则三相点温度Ttr=____________.
20、写出热力学第一定律的数学表达式： 。 21、德拜在1926年提出产生1K以下低温一个有效方法是： 。 22、单元复相系达到平衡所要满足的相变平衡条件为： 。 23、吉布斯相率的公式是： 。 24、泡利不相容原理的内容是： 。 25、在体积V内，在?到??d?的能量范围内，三维自由粒子（不考虑自旋简并度）的量子态数为 。 26、 ，这一现象称玻色—爱因斯坦凝聚。
27、正则系综研究的对象是具有以下特征的系统： 。 28、对于孤立系统或绝热系统，体系在平衡态时熵 。
29、对简单系统，以T、V为独立变量，则特性函数为 ，若焓H作特性函数则必须选 为独立变量。
31、描述气体反应达到平衡时各组元分压之间关系的质量作用定律的数学表达式子为：
2
。
32、 称μ空间，μ空间中的一个代表点可以描述粒子的一个运动状态。
33、满足经典极限条件的玻色系统和费米系统的内能表达式子为： 。 34、具有确定的N、V、T值的系统的分布函数，称为 分布。 35、热力学中需要用 、 、 和 等四类参量来描写热力学系统的平衡状态。
36、只需要 和 两个状态参量便可以确定系统的状态，这样的系统称为简单系统。
37、从微观的角度看，内能是系统中分子无规运动的能量总和的统计平均值。无规运动的能量包括 、 以及 ；视问题的性质，可以包括或不包括分子在外场中的动能。
38、系统在准静态过程中，体积由VA变化到VB，系统的压强为p?p?V?，则外界对系统所做的功可以表示为W? 。
39、热力学中在应用上最重要的特性函数是 和 。 40、表面张力系数为?，半径为r的肥皂泡的内压与外压之差p内?p外? 。 41、统计物理学中引用的统计量有 。（写出三个） 43、单元两相系（假设为?相和?相）达到平衡所需要满足的平衡条件有：热学平衡条件
是 ；力学平衡条件是 ；相变平衡条件是 。
44、粒子在三维空间运动，它的自由度为 ，粒子的质量为m，粒子在任一时刻运动的
?，pz?mz?，py?my?，则此自由粒子的动能：?? 。动量为px?mx
45、一级相变的主要特征 ； 二级相变的主要特征 46、 称μ空间，μ空间中的一个代表点可描述 。 47. 麦克斯韦速率分布函数可写为：________________________ 。 48. 对于费米系统，与分布?al?对应的微观态数是_____________，
3
粒子的最概然分布为________，系统巨配分函数为______________。
49. 对于玻色系统，与分布?al?对应的微观态数是_____________，粒子的最概然分布为 _________________，系统巨配分函数为______________。
58、对于费米系统，与分布?al?对应的微观态数是_____________，粒子的最概然分布为________，系统巨配分函数为______________。
31. 对于玻耳兹曼系统，与分布?al?对应的微观态数是_____________，粒子的最概然分布为________，系统配分函数为______________。 （7）
51、玻耳兹曼关系是：__________________。其中符号______表示____________，__________表示_______________。6
52、从麦克斯韦速率分布函数出发可以得出三个重要的速率，即最概然速率___ ______________、平均速率_______________、方均根速率_________________。三者由大到小排列是______________________________________。
53、为了更容易满足经典极派条件，气体的分子质量要 ，气体的温度要 ，气体的密度要 。
54、在光子、4He核、电子、中子等粒子中，属于费米子有 ；而 属于玻色子 。6
55. 统计物理学从宏观物质系统是由________________组成这一事实出发, 认为宏观物理量
是相应________________的统计平均值, 物质的宏观特性是________________________的集体表现.
56、能斯脱定理表述为:______________________ 。 57、对于一个二元系统，最多有 个相共存且处于平衡态。 59、稳定系综的条件为_______________。
60、正则分布的量子形式为_______________，配分函数为______________，由正则分布求熵的公式 ， 求自由能的公式为____________ 。 15、在量子力学中微观粒子的运动状态称为 量子态。 。（6） 20、6维?空间中，自由粒子的自由度是 3 。 （9） 21、定域子系统遵从 玻耳兹曼分布 分布。 （9） 30、在温度为T 时，根据能均分定理可以得到单原子分子理想气体中每个分子的
3kT （7） 2dDd?34、刘维定理用公式可表示为________ 或__ __。 或 ?0，?0（9）42、4维自由粒子的?空间是 8 维空间。 dt （6） dt平均能量：?= 。 ??
4
38、由玻耳兹曼统计规律出发所推导出的系统的内能统计表达式为： U??N?lnZ1 （7） ??二、选择题
1、 下列说法中不正确的是： ( )
(A) 在S和V不变的情况下，平衡态的U最小。 (B) 在H和P不变的情况下，平衡态的S最大。 (C) 在S和P不变的情况下，平衡态的U最小。 (D) 在F和V不变的情况下，平衡态的T最小
2、绝对零度时，费米子不能完全“沉积”在基态是由于 ( ) （A）、粒子间没有相互作用 （B）、全同性原理 （C）、泡利不相容原理 （D）、费米气体是简并气体
3、下列说法正确的是 （ ） (A)、第二类永动机不违背热力学第二定律
(B)、热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法
(C)、只要不违背能量守恒定律可以无限制地从海水中提取能量，制成永动机 (D)、一切和热现象有关的实际过程都是不可逆的
4、开放系统的热力学基本方程是 （ ） （A）、dU?TdSp?dVd?ndn?? （B）、dG??SdT?VdP??dn （D）、dF??SdTV?dP?dn（C）、dH?TdSVd?P??
5、有关系统与系综关系的表述是正确的是 ( )
（A）、系综是大量结构相同，宏观约束条件相同系统的集合 （B）、系综是大量不同结构，但宏观约束条件相同系统的集合 （C）、系统和系综都是宏观存在的实物
（D）、 系统和系综完全是一回事，只是在统计物理中不同的称谓 6、由热力学基本方程dG=-SdT+Vdp可得麦克斯韦关系 ( )
?T???p?（A）、 ? ? p ? ? 、 ?? S ? （B）???????????
??T?V??V?T??V?S??S?V?V? ?（C）、 ? ? S ? （D）、 ??T???? ? ????
??T?p??p?T??V????????p??S??p??S5
7、下列说法中正确的是 ( ) （A） 气体节流过程前后焓值相等。 （B） 理想气体节流过程前后温度降低。 （C） 气体绝热膨胀后熵值相等。 （D） 气体绝热膨胀后温度不变。
8、下列各式中不正确的是 ( )
?H?F)S,P (B) ??()T,V ?n?n?G?U (C) ??()T,P (D) ??()P,V
?n?n (A) ??(9、已知粒子遵从玻耳兹曼分布，其能量表达式为：
??1222(px?py?pz)?ax2?bx 2m其中a、b为常量，则粒子的平均能量为 ( )
b235（A）kT (B) 2kT (C)2kT? (D) kT
4a2210、具有确定的N、V、T值的系统满足 ( )
(A) 微正则分布 (B) 正则分布 (C) 巨正则分布 (D) 以上都不对
11、“ 封闭体系恒压过程中体系吸收的热量Qp等于其焓的增量ΔH”，这种说法： ( ) (A) 正确 (B) 需增加无非体积功的条件 (C) 需加可逆过程的条件 (D) 需加可逆过程与无非体积功的条件
12、麦氏关系给出了S、T、P、V这四个变量的偏导数之间的关系，下面麦氏关系四个等式不正确的是 （ ）
?T?p? ? （A）、 ? ? （B）、 ? ?T?????????V?s??S?V??V???p????S???p??s??V???????T?p
???S?T?（C）、 ? （D）、 ??S??????
??V?T??p?V??p???T13、开放系统的热力学基本方程是 （ ） （A）、dU?TdSp?dVd?ndn?? （B）、dG??SdTV?dP （D）、dF??SdTV?dP?dn?dn?
（C）、dH?TdSVd?P??14、如果一个反应可以通过两组不同的中间过程达到，两组过程的反应热之和彼此应相等，
6
这个结果名为 （ ） （A）、吉布斯相律 （B）、刘维定理 （C）、热力学第三定律 （D）、赫斯定律 15、 玻色分布表达式：a1??1e????l?1 中的a1是 （ ）
（A）、第1个能级上的粒子数 （B）、落入第1个能级的几率 （C）、几率密度 （D）、几率分布 16、玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z1表示的内能是 （ ） （A）、U??Z??、 U??lnZ1 （B）lnZ1
??????、U??NlnZ1 （D）Z1
????（C）、U??N17、当经典极限条件成立时，玻色分布和费米分布过渡为 （ ） （A）、玻耳兹曼分布 （B）、微正则分布 （C）、麦克斯韦分布 （D）、正则分布 18、定容压强系数的表达式子是 （ ）
1??p?(A)、??lim?? (B)、??lim?T??T?0?V?T?0??p??? ?T??V(C)、??1??p???p??? (D)、????
p??T?V??T?V19、下列说法正确的是 （ ） (A)、一切和热现象有关的实际过程都是不可逆的 (B)、热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法
(C)、只要不违背能量守恒定律可以无限制地从海水中提取能量，制成永动机 (D)、第二类永动机不违背热力学第二定律
20、下列方程正确的是 （ ） (A)、TdS = dU + PdV (B)、TdS = dH + PdV (C)、dF = dU + Vdp (D)、dU = TdS + Vdp
21、下列各式中哪个不是化学势？ （ ） (A)、???H???F???G???U?? (B)、?? (C)、 ?? (D)、 ??
?n??n?S,P??n?T,V??n?T,P??P,V22、不考虑粒子的自旋，在长度L内，动量在px-px+dpx范围内的一维自由粒子的状态数为 （ ）
7
（A）、
Lh (B)、Ldph (C)、2Ldpdph (D)、h
23、根据气体分子的速率分布，求得理想气体的最概然速率为 （ ） (A)、0 (B)、8kT?m (C)、3kTm (D)、2kTm 24、气体以恒定速度v0沿z方向作整体运动，则分子的平均平动动能为（ ） （A）、kT?12mv2 (B)、32kT (C)、2kT (D)、3120 2kT?2mv0 25、当经典极限条件成立时，玻色分布和费米分布过渡为 （ ）7
A、正则分布；B、微正则分布；C、玻尔兹曼分布；D、麦克斯韦分布。 26、 理想气体的平均速率为 （ ）7
A、
8?Tkm； B、8kT?m；C、3kTm；D、2kTm 27、公式U?????ln?适用范围是 （ ） A、 定域体系的玻尔兹曼系统；
B、 满足经典极限条件的玻色系统和费米系统； C、 满足简并性条件的玻色系统和费米系统； D、 满足弱简并性条件的玻色系统和费米系统。
28、粒子具有不可分辨性，但每个个体量子态上的粒子最多只能容纳一个， 这类系统是（ ）
A、玻耳兹曼系统；B、费米系统；C、玻色系统；D、经典系统。
35、构成玻色系统的粒子的特征是：（ ） （6） A. 可分辨， 个体量子态上容纳粒子数不受限制 B. 不可分辨，个体量子态上容纳粒子数不受限制 C. 可分辨， 个体量子态上容纳粒子数受限制
D. 粒子较多时不可分辨，个体量子态上容纳粒子数受限制
7、与外界仅有能量交换而无物质交换的系统，称为（ ） （9） A. 闭合系统 B. 孤立系统 C. 开放系统 D. 三样都可以
8、系统的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，这是（ ）的观点。 （6） A. 热力学 B. 统计物理 C. 量子理论 D. 热力学与统计物理
23、粒子具有不可分辨性，但每个个体量子态上可以容纳的粒子数不受限制，这类系统是（
8
）
A. 玻耳兹曼系统 B. 费米系统 C. 玻色系统 D. 经典系统 （6） 29、 熵函数可以用作热动平衡判据来判断其平衡态的系统是（ ） A、开放系统； B、孤立系统；C、封闭系统；D、任何系统 。 30、下列系统中适合用玻尔兹曼分布规律处理的系统有（ ） A、 非定域体系的玻尔兹曼系统；
B、 满足经典极限条件的玻色系统和费米系统； C、 满足简并性条件的玻色系统和费米系统；
D、 满足弱简并性条件的玻色系统和费米系统。
31、系综理论所涉及三种系综有：微正则系综、正则系综、巨正则系综，它们分别适合的系统是（ ）9
A、闭系、孤立系、开系； B、孤立系、闭系、开系； C、 孤立系、开系、闭系； D、 开系、孤立系、闭系。
29、根据实际情况，我们通常将计及粒子间相互作用的系统分为孤立系统、闭合系统、开放系统三大类，处理这些系统采用的系综理论分别对应的是（ ） （9） A. 正则系综、 微正则系综、巨正则系综 B. 微正则系综、巨正则系综、正则系综 C. 微正则系综、正则系综、 巨正则系综 D. 正则系综、 巨正则系综、微正则系综 32、等概率原理是下列哪些理论的基础（ ）6
A、仅仅是最概然分布理论； B、仅仅是系综理论；
C、最概然分布理论和系综理论； D、准热力学理论。 33、在显微镜下观察到的布朗运动现象，属于（ ）10 A、宏观现象； B、微观现象； C、既不是宏观也不是微观现象； D、两者都有可能是。
36、若所研究的问题中必须计及粒子之间存在相互作用，则考察其平衡态的统计理论一般应采用（ ） （9） A. 玻耳兹曼分布理论 B. 玻色分布理论 C. 系综理论 D. 最概然分布理论
26、最概然分布方法只能处理下列哪种系统 （ ） （6）
A. 玻色系统 B. 近独立粒子系统 C. 费米系统 D. 实际气体系统 25、能量均分定理是根据下列哪个分布导出的一个重要定理（ ） A. 玻色分布 B. 费米分布 C. 玻尔兹曼分布 D. 玻色和费米分布
16、下列公式满足正则分布的配分函数和体系的内能表达式是 （ ） （7）
9
A. Z??e??Es,U??Ns??lnZ， B. Z1???le??El,U??NlnZ1 ????s C. Z??e??Es,U??s??lnZ D. Z???le??El,U??lnZ1 ????s10、下列各宏观物理量中，没有相应的微观量与之对应的是 （ ） （7）
A. 内能 B. 广义力 C. 热量 D. 粒子数
三、证明题
1、 证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数，与比体积无关。
2. 设一物质的物态方程具有以下的形式：P=f(V)T ，试证明其内能与体积无关。 3、证明?i(T,P,n1,……,nk)是n1,……,nk的零次齐函数,
?ni(i??i)?0 ?nj4、已知粒子遵从经典统计分布，其能量表达式为：??1222(px?py?pz)?ax2?bx 2m?dNb2?其中a、b为常量，证明粒子的平均能量为2kT?。（提示：E?，N为粒子总数，N4a????e?xdx?2?）
5、 试证明对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子的能量中的每一个动能平方项
（如
11a1p12）的平均值为kT。 7 22??2?a1p12211（提示：分步积分?a1pe??2证明：
?2a1p1?p1???12dp1???e??2?????2????????e2?a1p12?dp1）
dq...dqrdp1...dpr111a1p12??a1p12e?????l1 2N2h0r =
112???ldq1...dqrdp1...dprap （2分） 11er?N2h0由分部积分，得：
1???2a1pe??2?a1p1221??pdp1???1e?2?2?a1p12??1?????2????????e2?a1p12?dp1， （2分）
因为a1?0,上面公式第一项为零，故得到：
10
111?????ldq1...dqrdp1...dpr1a1p12?e=kT r?22?Z1h02即证明。 （2分）
6、如果某种物质的体积与温度呈现线性关系V?a?bT，证明它的定压热容量Cp与压强
?2V无关。（提示：(。 （2） )T??T(2)p）
?p?T?2V)T??T(2)p ， 证明：∵ (?p?T?Cp?Cp?2V 而 V?a?bT， 则 (2)?0 （5分）
?T?
(?Cp?p)T?0 （3分）
因此该物质的定压热容量Cp与压强无关。即证。 （2分）
7、证明范德瓦耳斯气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关。其中范氏气体方程为
a???p?2??v?b??RT （2）
v??证：∵范氏气体?p???a??v?b??RT 2?v?又∵?Ra??U???p??p?2 (2分) ?=T??-p=T
v?bv??v?T??T?Vaa??U?=U(T,v)?U??f(T) (3分) ???02v??v?Tv∴ CV????U??=f?(T) ；与v无关。 (2分) ?T??V2kT （6） m8、试根据麦克斯韦速率分布规律证明体系分子的最概然速率 vm? 11
m2?vm3（提示：速率分布律为 f(v)?4?n(。 )2e2kTv2 ）
2?kTm2?vm32kT2∵ 麦克斯韦速率分布律为：f(v)?4?n()ev2
2?kT速率分布函数有一个极大值，使分布函数取极大值的速率为最概然速率，所以，对函数关于速率求导数即可得到最概然速率vm： （2分）
m2?v????m32kT2f(v)??4?n()ev2? ?v?v?2?kT?v2????2mkT??ev2??0 （4分） ?v??即有： e2?m2v2kTm2?vm22kT(?)?2v?v?e?2v?0 2kT∴ 有 v?m （2分） 2kT2kT （2分） m由此得到： vm?即证。
2、 以单原子分子理想气体为例，试推导相应的分子的配分函数，并以此求出理想气体的压强、内能、定容热容量。对于双原子分子，简单讨论其配分函数、内能、以及平动对内能和热容量的贡献，并与单原子做比较。
m?4、根据麦克斯韦速率分布律，f(v)dv?4?n????2?kT?3/2e?m2?2kT?2d? 推导三个速率公式，并比
较它们的大小。
5、试利用麦克斯韦速度分布律
?m?f(?x,?y,?z)d?xd?yd?z?n???2?kT??m?d???n???2?kT?3/23/2e?m222(?x??y??z)2kTd?xd?yd?z，
证明：1）单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于υ与υ + dυ之间的分子数为
e?m2?2kT?3d?
2）单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数。 作业： 第六章 P188 6.1-6.3
12
第七章 P220 7.1; P222 7.11, 7.13 第八章 P245 8.1，8.2
第九章 P299 9.2, 9.3, 9.12
?(S,p)***证明：C?S?T)T?(S,p)?(T,V)p?T(p??(T,p)?T?(T,p) （4分） ?(T,V)(?S)?p?S?p(?p2V()T?()T=T?T?V?V(?T)V?T)V?p?CV?T (?V)T(?p（3分）?V)T?2??p?? Cp?Cv??T??T??v??p? （3分）
???V??T 即证。
1、证明：∵ p，V，T 三个变量之间的存在函数关系f(p,V,T)?0，（1分） 其偏导数之间存在下述关系：(?V?p)?p?TT(?T)V(?V)p??1 （2分） 将几个系数代入有： (?VkT)p?1?V= -1 ∴ 整理后得到 ??kT?p （3分） 即证。
2. ∵证明：由dU?TdS?PdV，两边同除以dV，保持P不变，得到 ???U???S?????V???T?P??V???P，但?S?P??V??????P?P??T?? （5分） S故有： ???U???V???T???P??T???P （5分） P?S6、证明：∵S?S?T,V?
dS????S???T??dT????S?V??dV V??T 13
2分） （
TdS?T???S???P???S???S???S????? ,T??dT?T??dV ∵???CV （3分） ?V?T?T?V?T??T??V??V??T??V∴ TdS?CVdT?T???P??dV （2分） ?T??V四、简答题：
1、什么是统计系综？常用的系综有哪几种？它们描写什么样的系统？相应平衡态分布如何？
2、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）。 3、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分布有哪几种？ 4、统计物理学中所指的涨落现象有哪两种？ 5、简述平衡态统计物理的基本假设。6
6、什么叫特性函数？请写出简单系统的特性函数。 6、 什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描述。
17、系统相空间 （9）
用描述系统的所有分子的广义坐标?q1q2?qf?和广义动量?p1p2p3?pf?作直角坐标
轴所构成的2f维空间叫做系统的相空间。
8、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。
9.简述玻耳兹曼关系，并据此给出熵函数的统计意义。7 10.盐水系统最多可以是几相共存？试举例说明。
11.写出热力学第二定律的内容。有人利用地球表面和地球内部温度不同，做一个热机来发电，称地热发电，把地球内部能量边为有用的电能，这是否违背热力学第二定律。 12.试说明热力学第三定律即能斯特定理的内容及数学表达式是如何表述的。 13.请叙述熵判据的內容。
14、单元复相系达到平衡时所满足的相变平衡条件是什么？如果该平衡条件未能满足，变化
将朝着怎样的方向进行？ 15. 简述玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统有什么区别和联系？
16. 经典能量均分定理的内容是什么？举出不满足经典能量均分定理的三种情形。 17. 简述开系、闭系以及孤立系的定义。
18. 判断孤立系统是否处于平衡态的基本原则以及熵判据。
19.写出吉布斯相律的数学表达式。已知自然界常见的雪花有六种形态，问最多有几种形态
14
的雪花可以共存？
20. 试写出热力学第二定律的克氏表述和开氏表述内容. 21. 写出等概率原理的内容。
22、简述单元两相系达到平衡时所要满足的平衡条件。
23、什么是微观粒子的全同性原理？
答：该原理指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态，这就是微观粒子的全同性原理。
24、试简述能量均分定理 7
25、简述在常温范围内双原子分子理想气体振动自由度不参与能量均分的原因。 26、什么是平衡辐射的紫外困难，又是如何解决的？ 27、为什么原子内电子对气体的热容量没有贡献？8
28、非简并气体满足什么条件？什么是简并气体？各需要用什么分布规律来讨论？ 29、光子气体达到平衡时遵从什么分布？写出相应的巨配分函数和和相应统计表达式 30、写出金属中的自由电子气的巨配分函数和相应统计表达式。8 31、简述布朗运动，以及该现象引起的原因。 32、简述刘维尔定理
19 试推导刘维尔定理
5、写出玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统这三个系统分布{al}的表达式。 （6） 6、写出与玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统这三个系统对应分布的微观状态数? （6） 20. 孤立的均匀系统热动平衡的稳定性条件 21.单元复相系的平衡条件是：
单元两相系达到平衡时所要满足的平衡条件有三个： T?????；p?p（力学平衡条件）；???（相变平衡条件） ?T?（热平衡条件）
22.相变可分为哪几类？
23.多元复相系平衡时的独立参数满足什么规律？
24、热力学中用来作为混乱程度量度的物理量是 （ ） （6） 25. 焦耳-汤姆孙多孔塞实验是在一装有多孔塞的管道中，让气体由一端（压强P1，体积V1）经多孔塞流入另一端（压强P2，体积V2），观察气体温度随压强的变化。 26. 试写出麦克斯韦关系： 麦克斯韦关系如下：
(?T?V?T?p)S??()V ； ()S?()p；
?p?S?V?S 15
(?S?V?S?p)T?()V； ()T??()p
?p?T?V?T26. 吉布斯—亥姆霍兹方程
如果已知体系的自由能F，通过对自由能关于热力学温度T求偏微商，就可以得到一些物理量，如内能等，相应的得到的关系式即为吉布斯—亥姆霍兹方程。该方程表述形式如下：U?F?TS?F?T?F?F 或者 U?F?T ?T?T 或者：由体系的吉布斯函数G，可以得到相应的吉布斯—亥姆霍兹方程为：
H?U?PV?G?T27. 卡诺定理
?G ?T 所有工作于同样高温热源和低温热源的卡诺机，以可逆的卡诺机的效率为最大，即有： ?可??任。 28. 热力学平衡态
孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到各种宏观性质长时间内不随时间变化的状态，这样的状态叫热力学平衡态。 29. 熵增加原理
对可逆绝热过程，系统的熵不变。对不可逆绝热过程，系统的熵增加，总之，绝热过程中系统的熵永不减少。这个结论叫熵增加原理。
五、计算题
1、设系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有3个。现在考察，对于玻尔兹曼系统、玻色系统和费米系统各有哪些可能的微观状态？
2. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布分布，其能量表达式为： ??其中a,b是粒子常量，求粒子的平均能量。
3、试写出满足玻耳兹曼分布的定域系统中下列物理量的统计表达式：配分函数、内能、广
义力、熵函数、玻耳兹曼关系式。 解：若系统满足玻尔兹曼分布，则：
1）引入配分函数为：
Z1?1222px?p2y?pz?ax?bx，2m???a????e?? （2分）
?llllll2）内能是系统中粒子无规则运动的总能量的统计平均，即：
U??al?l???l?le?????l??Nll?lnZ1 ??16
即内能表达式为：U??N?lnZ1 （2分） ??3）广义力为：Y??N?lnZ1 （2分） ??y4）玻尔兹曼关系为：S?kln? （2分）
4、利用能量均分定理计算1摩尔某种分子构成的气体（该分子有三个平动自由度、三个转动自由度和9个振动自由度，注意该分子的振动在一个自由度上的能量有两个平方项，而平动和转动则各自由度只对应有一个平方项）的定容比热Cv, 定压热容Cp和γ=Cp/Cv值。若完全忽略振动部分对热容的贡献，则结果又如何？
解：该分子有15个自由度，其中3个平动自由度，3个转动自由度和9个振动自由度。根据能量均分定理知1摩尔气体定容热容：
1CV?(3?3?9?2)R?12R2 (3分)
定压热容：
CP?CV?R?13R C13??P?~1.09CV12 (3分)
若完全忽略振动部分对热容的贡献，则： Cv=1/2(3+3)R=3R Cp=4R，
γ =4/3 (2分)
5、试由麦克斯韦速率分布律出发推导三种速率并比较它们的大小：最概然速率Vm、平均速率V、方均根速率Vs。（提示，利用公式：I(3)????0e?axx3dx?21， 22aI(4)??e0??ax2x4dx?3?8a52）
7、 写出玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统这三个系统与分布{ al }相应的系统的微观状态
数?。
7、试根据能量均分定理求出单原子分子理想气体系统在温度为T时的内能、定容热容量、及定容热容量与定压热容量之比。
8、写出由N个双原子分子构成的理想气体系统中单个粒子能量的经典表达式，并由此求出
17
系统总的配分函数Z1、平动配分函数Z1、系统的平动能U、与平动能对应的热容量CV。（不考虑电子运动的影响）
9、试分析如下系统：具有一定浓度的溶液冷却到一定温度时，冰开始从溶液中结晶析出，此时溶液、水蒸气、和冰三相共存。试写出吉布斯相律，并说出公式中各个项的物理意义，然后求出公式中相应量的值。
解： 吉布斯相律是：f?k?2?? （3分）
其中f是多元复相系的自由度数；k是体系中含有的组元数；φ是系统的相数目。 （3分） 由题意可知，组元为2，相为3，所以自由度 f为1 （3分）
10、用正则分布计算单原子理想气体的内能和焓。
11. 对于单原子分子理想气体，可以根据能量均分定理求出下列相应的一些物理量：在温度为T时粒子的平均能量，气体的内能、定容热容量、及定压热容量与定容热容量之比。 （7） 解：∵单原子分子只有平动能，其能量为：??ttt1222(px?py?pz)，有三个平方单原子分子2理想气体系统在温度为T时的内能项，根据能量均分定理，在温度为T时单原子分子的平均能量为：???3kT （2分） 2?单原子分子理想气体系统的内能为：U?3NkT （2分）
23定容热容量CV为：CV?Nk
25由热力学公式Cp?CV?Nk可以得到定压热容量Cp?Nk （2分）
2因此定容热容量与定压热容量之比为 ??CV3??0.6 （2分） Cp512. 若系统的气体分子遵循麦克斯韦速率分布律，写出三种速率并比较它们的大小：最概然速率Vm、平均速率V、方均根速率Vs （6 三种速率分别是：最概然速率：Vm???2kT， m3kT (2分?3?6分) m平均速率：V?比较三者大小
8kT，方均根速率：Vs??m 18
∵ Vs:V:Vm??3kT8kT2kT32::?::1?1.225:1.128:1 m?mm2?∴ Vs?V?Vm (2分)
7、解：∵ 1摩尔范氏方程为：(p?得到：p?a)(V?b)?RT V2RTa?2 （2分） V?bV对范氏方程取导数得：
(?p2aRT?pR)T?3?， ( （2分） )V?2?V?TV?bV(V?b)1?pRRV2)V?? ???( （3分） 2p?Tp(V?b)RTV?a(V?b)1?V11V2(V?b)2kT??()T???3 （3分）
RTV?pV2aVRT?2a(V?b)2?V3(V?b)27. 设系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有3个。现在考察，对于玻尔兹曼系统、玻色系统和费米系统各有哪些可能的微观状态？
六、判断题
1、统计物理认为，物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现。（ √ ） 2、热力学观点认为，物质的宏观物理量相应微观物理量的统计平均。（ × ） 3、 测不准关系指出，当粒子的动量具有完全确定的数值时，粒子的坐标将完全不确定，这
生动表明了微观粒子的运动是轨道运动。 （ ）
4、 微观粒子的全同性原理认为，全同粒子是可以分辨的，因此，将任何两个全同粒子加以
对换，整个系统的微观运动状态会发生变化。 （ × ）
5、 根据泡利不相容原理可推知，由玻色子组成的玻色系统，其每一个个体量子态 最多可
以容纳一个玻色子。 （ × ）
6、 对于某个系统，当其处在某个确定的宏观平衡状态下时，系统可能的微观状态也是唯一
的。 （ × ）
7、 定域粒子可以看作能分辨的粒子，则由定域子组成的系统，遵从玻尔兹曼分布。
19
（ √ ）
8、 定域系统和满足经典极限条件的玻色（费米）系统都遵从玻尔兹曼分布。（ √ ） 9、 能量均分定理是根据经典玻色分布导出的一个重要定理。 （ × ） 10、弱简并情形下，对于因微观粒子全同性所引起的量子统计关联而导致的附加
能，费米气体的附加能为负而玻色气体的为正 （ × ） 11、 对于与外界既没有能量交换，也没有粒子交换的闭合系统，其运动状态遵从微正则分
布。 （ ） 12. 满足经典极限条件的气体又称为简并性气体。 （ × ） 13. 最概然分布方法，不仅可以处理由近独立粒子组成的系统，对计及粒子间相互作用的
系统同样也适用。 （ ） 14. 最概然分布方法，不仅可以处理由近独立粒子组成的系统，对计及粒子间相互作用的系
统同样也适用。 （ √ ） 15.
12、 经典极限条件又可称为简并条件 （ × ） 13、 弱简并理想的玻色和费米气体可以用玻尔兹曼分布来处理 （ × ） 16. 平衡态统计物理的系综理论，可以用来研究相互作用粒子组成的系统。（ ）
17. 当考虑粒子之间相互作用时，系统的运动状态随时间变化，遵从哈密顿正则方程。（ √ ） 18. 对于与外界只有能量交换，而没有粒子交换的孤立系统，其运动状态遵从正则分布。
（√ ）
14、 对于与外界既没有能量交换，也没有粒子交换的闭合系统，其运动状态遵从微正则分
布。 （√）
19. 最概然分布理论是以等概率原理为基础而建立起来的理论，而系综理论则不是（ × ） 20. 对于巨正则系统，系统不仅与外界可以交换能量，也可以交换粒子，因此在系统的各个
可能的微观状态中，其粒子数和能量可具有不同的数值。 （ × ）
21. 在一般情形下，宏观体系的物理量的相对涨落是比较大的，而在一些特殊的情形下，临
界点附近处的涨落则极其微小，可以忽略不计。 （ × ）
22. 统计物理认为，系统的内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值。（ √ ） 23. 微观粒子实际上遵从量子力学的运动规律，不过在一定的极限条件下，可以由量子统计
得到经典统计的结果。 （ √ ）
24. 等概率原理是爱因斯坦在19世纪70年代所提出的著名理论之一。 （ × ） 玻尔兹曼
20
23、对于满足简并性条件的玻色（费米）系统，其各自的分布规律，都自然地过渡到玻耳兹曼分布。 （ × ）
24. 对于理想气体，因不考虑气体分子间的相互作用，因此该类气体系统的分布规律遵循玻
耳兹曼分布。 （ √ ）
25. 由于一般气体满足经典极限条件，因此其遵从玻耳兹曼分布。 （ √ ） 26. 能量均分定理尽管是从经典统计理论得出的结果，但它却具有十分重要的意义，人们不
仅从该理论出发所得出的结果都与实验符合的很好，而且也能够对大多数的问题做出合理的解释。 （ √ ）
27. 刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中并没有引入任何统计的概念。（ √ ）
28. 对于与外界既有能量交换，也有粒子交换的开放系统，其运动状态遵从巨正则分布。
（ √ ）
30、布朗运动实质上在显微镜下观察到的一种微小颗粒的微观运动。 （ × ） 36. 布朗运动是一个随机过程，对此类运动的研究是随机过程研究的开端。（ √ ） 37.布朗运动是将分子运动显示出来的最直接的物理过程之一。（ √ ）
38. 布朗运动的应用之一就是将系统粒子的动力学过程用含有随机涨落力的朗之万方程来 描述。 （ √ ）
31、根据泡利不相容原理可推知，由费米子组成的系统，其每一个个体量子态 最多可以容纳一个费米子。 （ √ ）
32、定域粒子可以看作能分辨的粒子，因此由定域子组成的系统，也遵从玻色分布（ × ） 33、能量均分定理是根据经典玻色分布导出的一个重要的基本定理。（ × ） 34、满足经典极限条件的气体又称为非简并性气体。 （ √ ） 35、平衡态统计物理的系综理论，主要是用来研究粒子间没有相互作用的系统。（ × ） 36、分别由能量均分定理和经典统计规律出发导出的热容量完全相同，与h0 无关。（ ） 36、分别由能量均分定理和量子统计规律出发导出的热容量完全相同，与h0 有关。（ ） 37、能量均分定理也可以从玻色或费米分布推导出来。 （ ）
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