故m∈（0，1]时，n（m）≥n（1）=0，即em﹣1≥m，

两边取对数，得lnem﹣1≥lnm，即m﹣1≥lnm，﹣lnm≥1﹣m， 故1﹣m﹣lnm≥2（1﹣m）≥0，

∵em﹣1≥m＞0，∴f（m）=m?em﹣1（1﹣m﹣lnm）≥m2，2（1﹣m）=2（m2﹣m3），

综上，f（m）≥2（m2﹣m3）．

【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．

21．（14分）（2017?枣庄一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x2=4y的焦点F是椭圆

（a＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠

0）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足（1）求椭圆C的方程；

（2）记△PDF的面积为S1，△QAB的面积为S2，设最大值及取得最大值时直线l的方程．

，求实数λ的

．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）由题意设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求出D的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，得到OM的斜率结合已知求得a值，则椭圆方程可求；

（2）由（1），知点D的坐标为（

1）），又F（0，，可得|DF|．由

，利用弦长公式求得|AB|．求出直线OM的方程为y=﹣．

由，求得P、Q的坐标，由点到直线的距离公式求得点P到直线kx﹣

y+1=0的距离，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离

．代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得实数

λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．

【解答】解：（1）由题意可设直线l的方程为y=kx+1，

，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0．

联立

解得：，．

∴M（由∴a2=4．

，，得

），则k′=

．

，

则椭圆C的方程为；

），又F（0，1），

（2）由（1），知点D的坐标为（

∴|DF|=．

由

，得x2﹣4kx﹣4=0．

△=16k2+16＞0恒成立．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4．

因此

由题意，直线OM的方程为y=﹣

．

=．

由

，得（1+4k2）x2﹣16k2=0．

显然，△=﹣4（1+4k2）（﹣16k2）＞0恒成立，且x=

．

不妨设，则．

∴点P的坐标为（），而点Q的坐标为

（）．

点P到直线kx﹣y+1=0的距离，

点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．

∴=．

==．

∴S1S2=∵∴

，

=

时，等号成立．

=．

=．

当且仅当3k2=k2+1，即k=∴实数λ的最大值为

，λ取最大值时的直线方程为．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆、抛物线位置关系的应用，考查逻辑推理能力与运算能力，属压轴题．