并证明椭球坐标系中拉普拉斯算子的表达式为：
??2t1?t?2t?t??? ?t?2?cth???cot?2222?22?A(ch?sin??sh?cos?)??????????2?2t ?2222Ash?sin???1解：（1）由式1 -2-18知 H1?H??(?x2?y?z)?()2?()2 ???????A2sh?2cos?2cos?2?A2sh?2cos?2sin?2?A2ch?2sin?2
?Ash?sin?
（2）由式1 -2 - 25知
1?t?H2?H?t(2)(i?1,2,3)??xH?xi?1iii3?1?H?t?H?t?H?t[(2)?(2)? ()H??H1????H2????H32???H3?t1?2t?H3?t?2t?H1H2?tH1H2?2t?[?H3??H32?()?]22H1H2H3??????????????H3??H3??1?2t1?H3?t?2t1?H3?t1?2t?[2??2?]?22H1H2??H3??????H3????H3????2tAch?sin??t?2tAch?cos??t?1?2???2?2?2222?A(ch?sin??sh?cos?)???Ash?sin?????Ash?sin?????1?2t?2Ash?2sin?2?2???2t1?t?2t?t????2?cth???cot?2222?22A(ch?sin??sh?cos?)???????????1?2t?2Ash?2sin?2?2?
3-2 大平壁的初始温度均匀为t0，从某一时刻起其两表面的温度突然降为tw并保持不变，试求:
（1）写出该导热问题的数学描述；
（2）用分离变量法求解平壁中的温度场。 解:(1)
δδ
如图所示，设大平壁的厚度为2?，并建立坐标系，原点置于平壁中心截面上，由于对称可对平壁的一半进行研究，取x?0的一半作为研究对象，则该导热问题的数学描述为：
?t?2t?a2 0?x?? ???x??0
初始条件为：t(x,0)?t0 0?x??
?t(x,?)?0 ?x?t(x,?)?0 x??,??0 ??x边界条件为：x?0,??0
(2) 由以上的数学描述，引入过余温度??t(x,?)?tw，则以上四式可化为：
???2??a2 0?x?? ???x
??0 1
○
○
??(x,?)?0 ○ x?0,??0 3 ?x??(x,?)?0 ○ x??,??0 ?4 ?x?(x,0)??0 0?x?? 2
因微分方程和边界条件都为齐次的，满足使用分离变量法的条件。 设解的形式为??x,???X?x?????? 把上式代入1得：X(x)???????aX???x?????? 分离变量得到
○
1?X??????2 a??X因为等式两边分别为?的函数和x的函数，它们要相等只能是都等于某个常数，记为
??2，? 是待定常数称为特征值，则上式就变为下面两个微分方程：
????a??0 5
2○
○
方程○5的解是?(?)?Cexp???a?? ○7
X????X?0 6
22由题意可知，当???时，过余温度应有界，由此得?前取负号，并由此条件解6方程可得 X =Acos(?x)+B sin (?x),且有X′ =-A?sin(?x)+?B cos (?x),
把边界条件代入上式可得：
2○
○
9 x??,?X??0 ○
由○8式可得B?0，并由○9式得?A?sin(??)?0，因?,A,??0，则得sin(??)?0，
x?0,X??0 8
可知?有无穷多个解：Xm?Amcos(?mx)，
则满足原偏微分方程和边界条件的分离变量形式的解为：
2?m?Amcos(?mx)exp???ma??
由于问题的线性，无穷多解的叠加仍满足方程和边界条件，即
2???Amcos(?mx)exp???ma??，
m?1?其中，系数Am由初始条件可确定。
6.4 常物性流体在两无限大平行平板之间作稳态层流流动，下板静止不动，上板在外力作用下以恒定速度U运动，试推导连续性方程和动量方程。
解：按照题意
v?0,故连续性方程
?v?v??0 ?y?x 可简化为
?u?v??0 ?x?y?u?0 ?x因流体是常物性，不可压缩的，N-S方程为 x方向：
?u?uFx1?p?2u?2uu?v???v(2?2) ?x?y???y?x?y
可简化为
?p?2vFx???2?0
?x?yy方向
?v?vFy1?p?2v?2vu?v???v(2?2) ?x?y???y?x?y可简化为
Fy?
?p?0 ?y7.5 常物性不可压缩流体掠过全板长换热平壁，当?t??时，试证明：
??t0u(t?t?)dy??u(t?t?)dy?u?(t?t?)dy
0??t?并有，pr?0时
Nux?常数 1312RexPr证明：因为?t??，根据积分可加性有
??t0u(t?t?)dy??u(t?t?)dy??u(t?t?)dy
0??t?在y??处有u?U，U是主流速度，它仅是x的函数，故
??t0u(t?t?)dy??u(t?t?)dy?u?(t?t?)dy，证毕1
0??t?○
常物性不可压缩流体掠过全板长换热平壁时，边界层能量积分方程为
d?t?tu(t?t)dy??a?dx?0?y边界条件为
y?0 2
○
y?0,x?0,t?t? y??,t?t?
利用1中的结论，当pr?0时，?t???，1式中的第一个积分远小于第二个积分的值，因此可以略去第一个积分，而
○○
??t0u(t?t?)dy?u??(t?t???t○
)dy ○3
U?u??常数，这样1式可写为