??t?2t??a2, 0?x??,??0?x????t?t0, x?0,??0 （7-1） ???t??q0, x?0??x??t?t, x??,??00?引入过余温度，即??t?t0，则上述问题转化为

????2??a2, 0?x??,??0????x????0, x?0,??0 （7-2） ??????q0, x?0??x????0, x??,??0?对上式作拉氏变换得

?d2??s??a2, 0?x??dx??d?q0?? （7-3） ?dx?s????0, x????解得

??查拉氏变换得

q0a?sexp(?x?32s) （7-4） a?x2q0a?x?x???????(x,?)?2exp??erfc?? （7-5） ??????a?2a?????4??a?x?故

?x2q0a?x?x??????t?t0?2exp??erfc???? （7-6） ????a?2a?????x??4??a

5.对非齐次边界条件的二维无内热源常物性稳态导热体 ，可以采用叠加法进行求解。试写出如图3所示问题的数学模型，并采用上述方法进行求解。 解：该问题的数学描述为

??2t?2t??0??x2?y2?x?a, t?ta1??x??a, t?ta2? （8-1） y?b, t?ta3??y??b, t?ta4???令x'?x?a,y'?y?b，则上述问题可转化为

??2t?2t??0??x?2?y?2?x??2a, t?ta1??x??0, t?ta2? （8-2） y??2b, t?ta3??y??0, t?ta4???令t = t1+ t2+ t3+ t4，t1，t2，t3和t4分别是以下定解问题的解

?2t?2t??0?x?2?y?2x??2a, t1?0x??0, t1?0?????? （8-3）

y??2b, t1?0??y??0, t1?ta4????2t?2t??0?x?2?y?2x??2a, t2?0x??0, t2?0?????? （8-4）

y??2b, t2?ta3??y??0, t2?0?????2t?2t??0??x?2?y?2?x??2a, t3?0??x??0, t3?ta2? （8-5） y??2b, t3?0??y??0, t3?0???用分离变量法求解各个方程组，结果如下

??2t?2t??0??x?2?y?2?x??2a, t4?ta1??x??0, t4?0? （8-6） y??2b, t4?0??y??0, t4?0???1?sh[m?(2b?y')/2a]?m??2ata4方程组（8-3）的解为：t1??sin?x'?(1?cosm?)

am?1sh(m?b/a)?2a?m?1?sh(m?y'/2a)?m??2ata3方程组（8-4）的解为：t2??sin?x'?(1?cosm?)

am?1sh(m?b/a)?2a?m?

1?sh[m?(2a?x')/2b]?m??2ata2?m?b?方程组（8-5）的解为：t3??sin?y'?1?cos??

bm?1sh(m?a/b)a??2b?m??1?sh(m?x'/2b)?m??2ata1?m?b?方程组（8-6）的解为：t4??sin?y'?1?cos??

bm?1sh(m?a/b)a??2b?m??因t = t1+ t2+ t3+ t4 故该问题的解为

1?sh[m?(2b?y')/2a]?m??2ata4t(x',y')??sin?x'?(1?cosm?)?am?1sh(m?b/a)?2a?m?1?sh(m?y'/2a)?m??2ata3 ?sin?x'?(1?cosm?)?am?1sh(m?b/a)?2a?m?1sh[m?(2a?x')/2b]?m??2ata2?m?b?siny'1?cos?sh(m?a/b)?????bm?12bm?a????1?sh(m?x'/2b)m?b??m??2ata1? ?sin?y'?1?cos??bm?1sh(m?a/b)a??2b?m???

?r046. 试证明：圆管内充分发展流动的体积流量可表示为： V??pi?p0?

8?L

7.分析讨论室内与外界通过玻璃窗的热交换过程。