1.在某固体内部导热过程中，无内热源，稳态，一元，侧面绝热。沿传热方向的截面的直径是线性变化的，即：dx= kx+d0, 其中k为常数, d0为坐标x=0处圆截面直径, da为坐标x= a处圆截面直径, 如图1所示。 x=0处温度为t0, x= a处温度为ta。 设导热系数

?=m+nt，其中m和n为常数。求物体内部的温度分布t(x)以及热流分布q(x)。

解：该问题为变截面无内热源一维稳态导热问题，其导热微分方程为：

1.

d?dt?Ax??????0, 0?x?a （1-1） dx?dx?式中：A(x)??4d2??4(kx?d0)2。

其边界条件为

??x?0, t?t0?x?a, t?t a将?=?0(1+a t )与A(x)??4d2??4(kx?d20)代入（1-1），得

d?dx???0?4?1?at??kx?d2dt?0?dx???0, 0?x?a 对上式进行两次积分得

??0t4(1?a2t)??C1k(kx?d)?C2 0将式（1-2）代入式（1-4）解得

????0d0(??C1??ka?d0)(t?t0?ta0?ta)1?a??4a??2? ??C???0?t?at2??C1?24??020??kd0故

??t?at2?????ta2?t0?ta?0?t0???1?at0?ta??(ka+d0)x?2??2?a?2?kx?d 0整理得

2(t2t(x)??10?ta)?t0?a?a2??1?ata?(ka+d0)x2??kx?d???t1?0?? 0?a?则

（1-2） （1-3）

1-4） （1-5）

（1-6） （1-7） （

q(x)???dt??dx?0(1?at)(t0?ta)(ka+d0)d0?1?aa2(kx?d0)2??t0?ta??2?2（1-8）

2(t0?ta)?t0?ta?(ka+d0)x?1?1?a?t??0???a22?kx?d0?a??

图1 图2 图3

2.采用积分法计算如图2所示的角系数X1,2。 解：根据

d?dA1,dA2?由几何关系知

cos?1cos?2dA2cos?1d?1? （2-1）

?r2?r2?l2?x2,cos?1?lcos?lcos? （2-2） ?22rl?xlld?dxcos?cos??,d?? （2-3）

rr2则

d?dA1?,dA2?lcos?l2d?dx1l3cos?d?dx?? 3rr??r4l3cos?d?dx （2-4） ?222?(l?x)于是

?dA?,A??12l3cos?d??dxcos?d?? ???(l2?x2)22??dsin? （2-5） 2由于微元表面dA1可处于A1任何位置，根据角系数性质，有

?A?,A???dA?,A??1212dsin? （2-6） 2再由角系数定义

?1,2??A?,A?1121a?2dsin????d?dx A10?121a(sin?2?sin?1)??dx （2-7）

0A12又由几何关系知

2a?x?sin??2?4a2?(2a?x)2? （2-8） ?a?x?sin??1?4a2?(a?x)2?则式（2-7）可化为

?a1?a2a?xa?x?11,2?dx??dx???2222002A1?4a?(2a?x)4a?(a?x)????a1?ax?2ax?a ?dx??dx????2222002A1?4a?(2a?x)4a?(a?x)???

aa1?2222? ??(x?2a)?4a?(x?a)?4a?00?2A1??1? ??5a?22a?2a?5a???2A1?1?2?5则

??a （2-9） A1a aX1,2?1?2?5???1?2?5

3.试由固体壁面辐射换热定向单色反射率的定义，推导单色半球入射定向反射的反射率计算式。 解：

双向反射率：在入射方向(?i,?i)，入射立体角d?i内，单位时间、单位面积的投射光谱能量为G?(?i,?i)d?i?I?(?i,?i)cos?id?i,，其中I?(?i,?i)为入射光谱强度。在反射方向(?r,?r)上，它引起的光谱辐射强度为I?(?i,?i,?r,?r)，则此入射、反射方向光谱双向反射率的定义为两能量之比，即

'

??(?i,?i,?r,?r)=I?'(?i,?i,?r,?r)I?(?i,?i)cos?d?i （6-1）

光谱半球-定向反射率??(2?,?r,?r)表示半球空间投射来的能量向(?r,?r)方向反射的性

'质。其定义为：半球空间投射辐射在(?r,?r)方向的反射光谱辐射强度I?(2?,?r,?r)与半

''球空间的平均投射光谱辐射强度G?/?之比。I?(2?,?r,?r)等于I?(?i,?i,?r,?r)对所有

入射方向的积分。由式（6-1）得

I?'(2?,?r,?r) ??(2?,?r,?r)=?1G??????(?,?,?,?)I?(?,?)cos?d?1I(?,?)cos?d?????2iirriii2iiiii （6-2）

如果半球空间投射辐射强度是均匀的，则式（6-2）可写成

???(?i,?i,?r,?r)I?(?i,?i)cos?id?i?2??(2?,?,?)?rrI? ?I????(?i,?i,?r,?r)cos?id?i2?

I?2? ????(?i,?i,?r,?r)cos?id?i??2?0?0?/2??(?i,?i,?r,?r)cos?isin?id?id?i （6-3）

老师题中所述反射率不明确，所以把光谱定向-半球反射率也写下：

光谱定向-半球反射率??(?i,?i,2?)是表示某一方向投射来的光谱能量，向半球空间反射的性质。其定义为：投射方向(?i,?i)上、d?i立体角内、单位时间、单位面积投射光谱能量引起的半个空间的光谱反射辐射力，与引起它的投射能量之比，即

??I??(?,?,2?)?2ii2?'?(?i,?i,?r,?r)cos?rd?rI?(?i,?i)cos?id?i

????(?i,?i,?r,?r)cos?rd?r??

2?0??/20??(?i,?i,?r,?r)cos?rsin?rd?rd?r

4.某半无限大物体，物性参数为常数，内部无热源。初始温度分布均匀，为t0。当τ>0时，边界受到恒热流q0的加热。试建立该物体非稳态导热问题的数学模型，并用拉普拉斯积分变换法进行求解。 解：该问题的数学描述为：