7-4，常物性流体在两无限大平行平板之间作稳态层流流动，下板静止不动，上板在外力作用下以恒定速度U运动，试推导连续性方程和动量方程。 解：按照题意

v?0,?v?v??0 ?y?x故连续性方程

可简化为

?u?0 ?x?u?v??0 ?x?y因流体是常物性，不可压缩的，N-S方程为 x方向：

?u?uFx1?p?2u?2uu?v???v(2?2) ?x?y???y?x?y可简化为

?p?2vFx???2?0

?x?yy方向

?v?vFy1?p?2v?2vu?v???v(2?2) ?x?y???y?x?y可简化为

Fy??p?0 ?y

8-3，试证明，流体外掠平壁层流边界层换热的局部努赛尔特数为

Nux?1?rRe12Pr12

证明：适用于外掠平板的层流边界层的能量方程

?t?t?2tu?v?a2 ?x?y?y常壁温边界条件为

y?0时，t?twy??时，t=t?t?tw

t??tw

引入量纲一的温度???????2??v?a2 则上述能量方程变为u?x?y?y引入相似变量??Uyy?Re12?y??(x)x?x

??????1U?11?????(?)(?y)????(?) 有

?x???x2?xx2xU????????2?U????(?) ????(?)；2??y?x?y???y?x将上三式和流函数表示的速度代入边界层能量方程，得到

1????Prf???0

2当Pr1时，速度边界层厚度远小于温度边界层厚度，可近似认为温度边界层内

速度为主流速度，即f??1,f??，则由上式可得

d???Pr()??f?，求解可得 d???2?(?)?erf()Pr122

Pr??(0)?()12??1212Nu?0.564RePr则 xx

8-4，求证，常物性不可压缩流体，对于层流边界层的二维滞止流动，其局部努

赛尔特数满足Nux?0.57Re?Pr0.42

证明：对于题中所给情况，能量方程可表示为

12?????2?u?v??2?x?y?y

????y,v??,????x?u???,???(?)??() 其中，u??y?x??xu?故上式可转化为????Pr??????0 2?Pr??0[exp(?2?0?d?)]d?经两次积分，得到?(?)?? Pr??0[exp(?2?0?d?)]d?定义表面传热系数hx?qsk(Ts?T?)，则q???(0) Ts?T???xu?进一步，进行无量纲化处理，引入局部努赛尔特数

1hx?xxNux????(0)?Rex2

k??xu?Rex??(0)??其中 Pr??0[exp(?2?0?d?)]d?针对层流边界层的条件，查由埃克特给出的计算表如下：

不同Pr数下，常物性层流边界层，Nux?Re的值

m 0 0.111 0.333 1 Pr 0.7 0.292 0.331 0.384 0.496 1?2?12120.8 0.307 0.348 0.403 0.523 1 0.332 0.378 0.44 0.57 5 0.585 0.669 0.792 1.043 10 0.73 0.851 1.013 1.344 hxxu??1?()2?常数=C1， 故可看出，Nux?Re?常数，进而，k?

由u??C1?xm，得h?C1k?12?xm?12

对于二维滞止流，m=1，则h也为常数，从x=0到x处的平均热导率hm定义为

1xhm??hdx

x01xC1km2?12C1km2?1?12?x， 故hm??012?xdx?x?m?1?则

hm2?，由此可看出， hm?112在m=1时，努赛尔特数的近似解可以很好的表示为Nux?0.57Re?Pr0.42 同样的，我们也可以得到三维滞止流的近似解Nux?0.76Re?Pr0.42

12?r049-1，试证明：圆管内充分发展流动的体积流量可表示为： V??pi?p0?

8?L

9-2，常物性不可压缩流体在两平行平板间作层流流动，下板静止，上板以匀速U运动，板间距为2b，试证明充分发展流动的速度分布为

uyb2dp?y?y????2???? ?U2b2?dx?b?b??证：二维流体质量、动量方程

?u?v??0 ① ?x?y??2u?2u??u?u?p ② ?(u?v)??????2?2???x?y?x?y???x

??2v?2v??v?v?p ③ ?(u?v)??????2?2???x?y?y?y???x在充分发展区，截面上只有沿流动方向的速度u在断面上变化，法向速度v可以忽略，因此可由方程①得:

v?0,

?u?0 ④ ?x将式④代入③得到，断面上压力是均匀一致的

?p?0，表明压力P只是流动方向x的函数，即流道?ydp?2u进一步由式②得，??2?constant ⑤

dx?y相应的边界条件：

y?0,u?0y?2b,u?U

对⑤积分得：

??u1dp?y?C1 ?dx?y1dp2y?C1y?C2 2?dxubdp?，C2?0 2b?dU?C1?uyb2dp?y?y?????2???? U2b2?dx?bb????

1. 强迫流动换热如何受热物性影响？

答：强迫对流换热与Re和Pr有关；加热与对流的粘性系数发生变化。

2. 强化传热是否意味着增加换热量？工程上强化传热的收益和代价通常是指什么？

答：不一定，强化传热是指在一定条件（如一定的温差、体积、重量或泵功等）下增加所传递的热量。工程上的

收益是减小换热器的体积节省材料和重量；提高现有换热器的换热量；减少换热器的阻力，以降低换热器的动力消耗等。代价是耗电，并因增大流速而耗功。 3. 传热学和热力学中的热平衡概念有何区别？

答：工程热力学是温度相同时，达到热平衡，而传热学微元体获得的能量等于内热源和进出微元体热量之和，内

热源散热是有温差的。

4. 表面辐射和气体辐射各有什么特点? 为什么对辐射板供冷房间，无需考虑气体辐射的影响，而发动机缸内传热气体辐射却成了主角？

答：表面辐射具有方向性和选择性。气体辐射的特点：1.气体的辐射和吸收具有明显的选择性。2. 气体的辐射和

吸收在整个气体容器中进行，强度逐渐减弱。空气，氢，氧，氮等分子结构称的双原子分子，并无发射和吸收辐射能的能力，可认为是热辐射的透明体。但是二氧化碳，水蒸气，二氧化硫，氯氟烃和含氯氟烃的三原子、多原子以及不对称的双原子气体（一氧化碳）却具有相当大的辐射本领。房间是自然对流，气体主要是空气。由于燃油，燃煤及然气的燃烧产物中通常包含有一定浓度的二氧化碳和水蒸气，所以发动机缸内要考虑。 5. 有人在学完传热学后认为，换热量和热流密度两个概念实质内容并无差别，你的观点是？ 答：有差别。热流密度是指通过单位面积的热流量。而换热量跟面积有关。

6. 管内层流换热强化和湍流换热强化有何实质性差异？为什么?

答：层流边界层是强化管内中间近90%的部分，层流入口段的热边界层比较薄，局部表面传热系数比充分发展段

高，且沿着主流方向逐渐降低。如果边界层出现湍流，则因湍流的扰动与混合作用又会使局部表面传热系数有所提高，再逐渐向于一个定值。而湍流是因为其推动力与梯度变化和温差有关，减薄粘性底层，所以强化壁面。 7. 以强迫对流换热和自然对流换热为例，试谈谈你对传热、流动形态、结构三者之间的关联

答：对流换热按流体流动原因分为强制对流换热和自然对流换热。一般地说，强制对流的流速较自然对流高，因

而对流换热系数也高。例如空气自然对流换热系数约为5～25 W/（m2?℃），强制对流换热的结构影响了流体的流态、流速分布和温度分布，从而影响了对流换热的效果。流体在管内强制流动与管外强制流动，由于换热表面不同，流体流动产生的边界层也不同，其换热规律和对流换热系数也不相同。在自然对流中，流体的流动与换热表面之间的相对位置，对对流换热的影响较大，平板表面加热空气自然对流时，热面朝上气流扰动比较激烈，换热强度大；热面朝下时流动比较平静，换热强度较小。 8. 我们经常用Q=hA·Δt.计算强迫对流换热、自然对流换热、沸腾和凝结换热，试问在各种情况下换热系数与温差的关联？

答：强迫对流的换热系数与Re,Pr有关但与温差无关，自然对流与Gr的0.25次方有关联，即与温差有关，凝结

换热换热系数是温差的-0.25次方。 9.

试简述基尔霍夫定理的基本思想

答：一、基尔霍夫第一定律：汇于节点的各支路电流的代数和等于零，用公式表示为： ∑I=0

又被称作基尔霍夫电流定律（KCL）。

源的内阻在内）和支路电流的乘积（即电压的代数和）。用公式表示为： ∑E=∑RI 又被称作基尔霍夫电压定律(KVL)。

10. 简述沸腾换热与汽泡动力学、汽化核心、过热度这些概念的关联

答：沸腾是指在液体内部以产生气泡的形式进行的气化过程，就流体运动的动力而言，沸腾过程又有大容器沸腾，大容器沸腾时流体的运动是由于温差和气泡的扰动所引起的，沸腾换热会依次出现自然对流区、核态沸

腾区、过度沸腾区和膜态沸腾区。当温度较低时（?t?4C）壁面过热度小，壁面上没有气泡产生。当加热壁面的过热度?t?4C后，壁面上个别点（称为汽化核心）开始产生气泡，汽化核心的气泡彼此互不干扰。随着?t进一步增加，汽化核心增加，气泡互相影响，并会合成气块及气柱。在这两个区中，气泡的扰

00二、基尔霍夫第二定律：沿任意回路环绕一周回到出发点，电动势的代数和等于回路各支路电阻（包括电

动剧烈，传热系数和热流密度都急剧增大。进一步提高?t，传热规律出现异乎寻常的变化。这是因为气泡汇聚覆盖在加热面上，而蒸汽排除过程越趋恶化。这时热流密度达到最低，并且温度达到了过热度，是很不稳定的过程。 II.传热学与实际应用

1.利用同一冰箱储存相同的物质时，试问结霜的冰箱耗电量大还是未结霜的冰箱耗电量大？

答：当其它条件相同时，冰箱的结霜相当于在冰箱蒸发器和冰箱冷冻室（或冷藏室）之间增加了一个附加热阻，

因此，要达到相同的制冷室温度，必然要求蒸发器处于更低的温度。所以，结霜的冰箱耗电量更大。

2. 在深秋晴朗无风的夜晚，草地会披上一身白霜，可是气象台的天气报告却说清晨最低温度为2摄氏度，试解

释这种现象。

答：可从辐射换热以及热平衡温度的角度来分析，由于存在大气窗口（红外辐射能量透过大气层时透过率较高的

光谱段称为大气窗口），因此地面可与温度很低的外太空可进行辐射热交换，这样就有可能使地面的热平衡温度低于空气温度

3．请说明在换热设备中，水垢、灰垢的存在对传热过程会产生什么影响，如何防止。当你设计一台换热器，如

果预先考虑结垢的影响，换热器面积将会比理想情况大还是小?

答：从传热系数或传热热阻角度分析。在换热设备中，水垢、灰垢的存在将使系统中导热热阻大大增

加，减小了传热系数，使换热性能恶化，同时还使换热面易于发生腐蚀，并减小了流体的流通截面，较厚的污垢将使流动阻力也增大。此外，热流体侧壁面结垢，会使壁面温度降低，使换热效率下降，而冷流体侧壁面结垢，会导致壁温升高，对于换热管道，甚至造成爆管事故。防止结垢的手段有定期排污、清洗、清灰，加强水处理，保证水质，采用除尘、吹灰设备等。 4. 一碗水放在空气中散热，其温度随时间的变化估计是何种趋势？为什么？

答 ：一碗水放在空气中，将会与大气进行自然对流换热和辐射对流换热，开始温度下降较快，而后逐渐变慢，

最后趋于环境温度。 5．为强化一台冷油器的传热，有人用提高冷却水流速的办法，但发现效果并不显著，试分析原因。

答：冷油器中由于油的粘度较大，对流换热表面传热系数较小，占整个传热过程中热阻的主要部分，而冷却水的

对流换热热阻较小，不占主导地位，因而用提高水速的方法，只能减小不占主导地位的水侧热阻，故效果不显著。 6．有一台钢制换热器，热水在管内流动，加热管外空气。有人提出，为提高加热效果，采用管外加装肋片并将

钢管换成铜管。请你评价这一方案的合理性。 答：该换热器管内为水的对流换热，管外为空气的对流换热，主要热阻在管外空气侧，因而在管外加装肋片可强

化传热。注意到钢的导热系数虽然小于铜的，但该换热器中管壁导热热阻不是传热过程的主要热阻，因而无需将钢管换成铜管。

7．干燥物料有很多种方式：比如热风干燥、微波干燥、红外干燥等，目前常用的是热风干燥，但热风干燥的缺

点是耗能大、表面易起皮和开裂，试从传热传质的角度来分析这一现象

答：热量从高温热源以各种方式传递给湿物料，使物料表面湿分汽化并逸散到外部空间，从而在物料表面和内部

出现湿含量的差别。但是为了使内部湿量逐步往外走，就要加大能耗，使的表面温度更高，变干。

8. 有人存在这样的观点：由于工质冷凝和沸腾换热系数很高，因此无需进行沸腾和冷凝换热强化

答：随着工业的发展，特别是高热负荷的出现，相变传热（沸腾和凝结）的强化日益受到重视并在工业上得到越

来越多的应用。一般认为凝结换热系数很高，可以不必采用强化措施。但对氟里昂蒸汽或有机蒸汽而言，氟利昂是低沸点工质，潜热很小，沸腾换热系数和它们的凝结换热系数比水蒸气小的多。 9. 太阳能集热器吸热表面选用具有什么性质的材料为宜? 为什么?

答：太阳能集热器是用来吸收太阳辐射能的，因而其表面应能最大限度地吸收投射来的太阳辐射能，同时又保证

得到的热量尽少地散失，即表面尽可能少的向外辐射能。但太阳辐射是高温辐射，辐射能量主要集中于短波光谱(如可见光)，集热器本身是低温辐射，辐射能量主要集中于长波光谱范围(如红外线)。所以集热器表面应选择具备对短波吸收率很高，而对长波发射(吸收)率极低这样性质的材料。 10.为什么锅炉中高温过热器一般采用顺流式和逆流式混合布置的方式？

答:因为在一定的进出口温度条件下，逆流的平均温差最大，顺流的平均温差最小，即采用逆流方式有利于设备

的经济运行。 但逆流式换热器也有缺点，其热流体和冷流体的最高温度集中在换热器的同一端，使得该处的壁温较高，即这一端金属材料要承受的温度高于顺流型换热器，不利于设备的安全运行。所以高温过热器一般采用顺流式和逆流式混合布置的方式，即在烟温较高区域采用顺流布置，在烟温较低区域采用逆流布置。

1. 有一台1-2型管壳式换热器（壳侧1程，管侧2程）用来冷却11号润滑油。冷却水在管内流动，

'\t2?20?C,t2?50?C,流量为3kg/s；可认为管壳式换热器是一种交叉流换热，热油的进出口温度为： \t1?100?C,t1?60?C,k?350W/m2?C。

试计算： ①油的流量； ②所传递的热量； ③所需的传热面积。

解: (1) 油的流量:

查得润滑油及水的比热分别为：c1=2148 J/kg℃；c2=4174 J/kg℃

G2c2?t23?4174?(50?20)G1???4.37(kg/s)c?t2148?(100?60)11 则:

(2) 所传递的热量:

??G2c2?t2?3?4174?(50?20)?375.66(kW)

(3) 所需的传热面积:

\'t?t?t?60?20?40?C l12

'\t?t?t?100?50?50?C r12

tl?tr40?50?tm???44.8?Ctl40lnln50tr

t2\?t2'50?20P?'??0.375100?20t1?t2't1'?t1\100?60R?\??1.33350?20t2?t2'PR?1.333?0.375?0.5由图10-23： 1/R?1/1.333?0.75查得： ?=0.9

?tm=44.8×0.9=40.32 ℃

2. 压力为1.5×105Pa的无油饱和水蒸汽在卧式壳管式冷凝器的壳侧凝结。经过处理的循环水在外径为20mm、厚为1mm的黄铜管内流过，流速为1.4m/s，其温度由进口出处的56℃升高到出口处的94℃。黄铜管成叉排布置，在每一竖直排上平均布置9根。冷却水在管内的流动为两个流程，管内已积水垢。试确定所需的管长、管子数及冷却水量。Φ=1.2×107W。 解：(1)平均传热温差：

由附录10查得饱和蒸汽温度为111.32℃，则： ?tm?94?56?32.72 (℃)

11132.?56ln11132.?94(2)管外凝结换热系数：

设管外壁温度tw=105℃，则tm=(111.32+105)/2=108.2 ℃ 由附录查得凝结水物性参数：

?l?952.3(kg/m3)?l?0.685(W/m?C)??263.2?10(kg/m?s)r?2235(kJ/kg)?6

由公式6-4：

??gr?l2?3l ho?0.729????ld(ts?tw)?n?=8809 (W/m2℃) (3)管内换热系数：

tf=(56+94)/2=75 ℃

由附录查得水物性参数:

1/4?9.8?2235?103?952.32?0.6853??0.729???65?9??263.2?10?0.02(111.32?10)1/4

??0.671(W/m?C);??0.39?10?6(m2/s); Pr?2.38

hi?0.023?Re0f.8?Pr0.4d0.671?1.4?0.018??0.023???0.018?0.39?10?6?0.8??2.380.4?8552(W/m2?C)(4)

热阻：

蒸汽侧污垢热阻：r0=0.0001 ; 水侧污垢热阻： ri=0.0002

管壁热阻：(黄铜 ?=131 W/m℃)

d0.020.022d2?6 ln?ln??8102?d21?310.0181(5)

k?传热系数：

1?ddd?11??r0?2ln2?2??ri??h02?d1d1?hi?1? ??1743W/m2?C?

120?1??0.0001?8?10?6???0.0002?880918?8552?由传热方程：q1=k?tm=1743×32.72=57030 (W/m2℃) 由凝结换热: q2=h0?t=8809×(111.32-105)=55673 (W/m2℃) q1与q2仅相差 2? ; ?上述计算有效。

(6) (7)

传热面积：

A??/(k?tm)?1.2?107/?1743?32.72??210冷却水量：（查附录10：cp=4191 J/kgK）

m2

?1.2?107??75.35 G?\ ?4191?94?56?cpt2?t2???kg/s?

(8)

流动截面：（查附录10：ρ=974.8 kg/m3）

f?G75.35?2 ??5.521?0??u974.81?.44f4?552.?10?2 单程管数：n?2?2?216.9?217 (根)

??d31416.?0.018 两个流程共需管子434根。 管子长度：l?A210??7.7 (m) n??d434?3.1416?0.023 一蒸汽管道的保温层外包了油毛毡, 表面温度为330K，外径为0.22m。该管道水平地穿过室温为22℃的房间，在房内长度为6m。试计算蒸汽管道在该房间内的总散热量。 解：空气定性温度

57?22?39℃，选取空气的物性参数， 2??17.95?10?6，Pr?0.699，??2.76*10?2W/(m?K)，

tf?Gr=g?r?td3?29.8?1/(373?39.5)?(57?22)?0.223 ??36272980(17.95?10?6)Nu=0.48（GrPr）1/4=0.48×（36272980×0.699）1/4=34.06 h= Nu ?d/ ?=34.06×0.22/0.0276=271.5W/(m?K))

φ=Ah?t=3.14×0.22×6×271.5×(57-22)=39386W

4. 对于如图所示的结构，试计算下列情形下从小孔向外辐射的能量： （1）所有内表面均是500K的黑体；

（2）所有内表面均是ε=0.6的漫射体，温度均为500K。 解：设小孔面积

A1=11111222π?d2??dH??(d-d)??3.14?0.04?3.14?0.04?0.04??3.14?(0.042?0.0322)22214444412?42= ?3.14?0.032?8.04?10m 4

A2=112π?d1= ?3.14?0.0322?8.04?10?4m2 44A2X218.25?10?6?1X12=1, A1X12=A2X21，X12=??0.1194

?3A16.732?10TTC0[(1)4?(2)4]100100φ12= 1??11??21???1A1A2X21?2A2?=1，φ12=2.85w;

(2) ?1=0.6，?2=1,φ12=2.64W

(1)

5．白天，投射到—大的水平屋顶上的太阳照度Gx＝1100W/m，室外空气温度t1＝27℃，有风吹过时空气与屋顶的表面传热系数为h＝25W/(m·K)，屋顶下表面绝热，上表面发射率ε＝0.2，且对太阳辐射的吸收比 αs＝0.6。求稳定状态下屋顶的热平衡温度。设太空温度为绝对零度。 如图所示，

稳态时屋顶的热平衡：对流散热量:

2

2

qrqc?sGsTw 辐射散热量:太阳辐射热量:代入(1)中得:采用试凑法，解得

1.在某固体内部导热过程中，无内热源，稳态，一元，侧面绝热。沿传热方向的截面的直径是线性变化的，即：dx= kx+d0, 其中k为常数, d0为坐标x=0处圆截面直径, da为坐标x= a处圆截面直径, 如图1所示。 x=0处温度为t0, x= a处温度为ta。 设导热系数

?=m+nt，其中m和n为常数。求物体内部的温度分布t(x)以及热流分布q(x)。

解：该问题为变截面无内热源一维稳态导热问题，其导热微分方程为：

1.

d?dt?Ax??????0, 0?x?a （1-1） dx?dx?式中：A(x)??4d2??4(kx?d0)2。

其边界条件为

??x?0, t?t0?x?a, t?t a将?=?0(1+a t )与A(x)??4d2??4(kx?d20)代入（1-1），得

d?dx???0?4?1?at??kx?d2dt?0?dx???0, 0?x?a 对上式进行两次积分得

??0t4(1?a2t)??C1k(kx?d)?C2 0将式（1-2）代入式（1-4）解得

????0d0(??C1??ka?d0)(t?t0?ta0?ta)1?a??4a??2? ??C???0?t?at2??C1?24??020??kd0故

??t?at2?????ta2?t0?ta?0?t0???1?at0?ta??(ka+d0)x?2??2?a?2?kx?d 0整理得

2(t2t(x)??10?ta)?t0?a?a2??1?ata?(ka+d0)x2??kx?d???t1?0?? 0?a?则

（1-2） （1-3）

1-4） （1-5）

（1-6） （1-7） （

q(x)???dt??dx?0(1?at)(t0?ta)(ka+d0)d0?1?aa2(kx?d0)2??t0?ta??2?2（1-8）

2(t0?ta)?t0?ta?(ka+d0)x?1?1?a?t??0???a22?kx?d0?a??

图1 图2 图3

2.采用积分法计算如图2所示的角系数X1,2。 解：根据

d?dA1,dA2?由几何关系知

cos?1cos?2dA2cos?1d?1? （2-1）

?r2?r2?l2?x2,cos?1?lcos?lcos? （2-2） ?22rl?xlld?dxcos?cos??,d?? （2-3）

rr2则

d?dA1?,dA2?lcos?l2d?dx1l3cos?d?dx?? 3rr??r4l3cos?d?dx （2-4） ?222?(l?x)于是

?dA?,A??12l3cos?d??dxcos?d?? ???(l2?x2)22??dsin? （2-5） 2由于微元表面dA1可处于A1任何位置，根据角系数性质，有

?A?,A???dA?,A??1212dsin? （2-6） 2再由角系数定义

?1,2??A?,A?1121a?2dsin????d?dx A10?121a(sin?2?sin?1)??dx （2-7）

0A12又由几何关系知

2a?x?sin??2?4a2?(2a?x)2? （2-8） ?a?x?sin??1?4a2?(a?x)2?则式（2-7）可化为

?a1?a2a?xa?x?11,2?dx??dx???2222002A1?4a?(2a?x)4a?(a?x)????a1?ax?2ax?a ?dx??dx????2222002A1?4a?(2a?x)4a?(a?x)???

aa1?2222? ??(x?2a)?4a?(x?a)?4a?00?2A1??1? ??5a?22a?2a?5a???2A1?1?2?5则

??a （2-9） A1a aX1,2?1?2?5???1?2?5

3.试由固体壁面辐射换热定向单色反射率的定义，推导单色半球入射定向反射的反射率计算式。 解：

双向反射率：在入射方向(?i,?i)，入射立体角d?i内，单位时间、单位面积的投射光谱能量为G?(?i,?i)d?i?I?(?i,?i)cos?id?i,，其中I?(?i,?i)为入射光谱强度。在反射方向(?r,?r)上，它引起的光谱辐射强度为I?(?i,?i,?r,?r)，则此入射、反射方向光谱双向反射率的定义为两能量之比，即

'

??(?i,?i,?r,?r)=I?'(?i,?i,?r,?r)I?(?i,?i)cos?d?i （6-1）

光谱半球-定向反射率??(2?,?r,?r)表示半球空间投射来的能量向(?r,?r)方向反射的性

'质。其定义为：半球空间投射辐射在(?r,?r)方向的反射光谱辐射强度I?(2?,?r,?r)与半

''球空间的平均投射光谱辐射强度G?/?之比。I?(2?,?r,?r)等于I?(?i,?i,?r,?r)对所有

入射方向的积分。由式（6-1）得

I?'(2?,?r,?r) ??(2?,?r,?r)=?1G??????(?,?,?,?)I?(?,?)cos?d?1I(?,?)cos?d?????2iirriii2iiiii （6-2）

如果半球空间投射辐射强度是均匀的，则式（6-2）可写成

???(?i,?i,?r,?r)I?(?i,?i)cos?id?i?2??(2?,?,?)?rrI? ?I????(?i,?i,?r,?r)cos?id?i2?

I?2? ????(?i,?i,?r,?r)cos?id?i??2?0?0?/2??(?i,?i,?r,?r)cos?isin?id?id?i （6-3）

老师题中所述反射率不明确，所以把光谱定向-半球反射率也写下：

光谱定向-半球反射率??(?i,?i,2?)是表示某一方向投射来的光谱能量，向半球空间反射的性质。其定义为：投射方向(?i,?i)上、d?i立体角内、单位时间、单位面积投射光谱能量引起的半个空间的光谱反射辐射力，与引起它的投射能量之比，即

??I??(?,?,2?)?2ii2?'?(?i,?i,?r,?r)cos?rd?rI?(?i,?i)cos?id?i

????(?i,?i,?r,?r)cos?rd?r??

2?0??/20??(?i,?i,?r,?r)cos?rsin?rd?rd?r

4.某半无限大物体，物性参数为常数，内部无热源。初始温度分布均匀，为t0。当τ>0时，边界受到恒热流q0的加热。试建立该物体非稳态导热问题的数学模型，并用拉普拉斯积分变换法进行求解。 解：该问题的数学描述为：

??t?2t??a2, 0?x??,??0?x????t?t0, x?0,??0 （7-1） ???t??q0, x?0??x??t?t, x??,??00?引入过余温度，即??t?t0，则上述问题转化为

????2??a2, 0?x??,??0????x????0, x?0,??0 （7-2） ??????q0, x?0??x????0, x??,??0?对上式作拉氏变换得

?d2??s??a2, 0?x??dx??d?q0?? （7-3） ?dx?s????0, x????解得

??查拉氏变换得

q0a?sexp(?x?32s) （7-4） a?x2q0a?x?x???????(x,?)?2exp??erfc?? （7-5） ??????a?2a?????4??a?x?故

?x2q0a?x?x??????t?t0?2exp??erfc???? （7-6） ????a?2a?????x??4??a

5.对非齐次边界条件的二维无内热源常物性稳态导热体 ，可以采用叠加法进行求解。试写出如图3所示问题的数学模型，并采用上述方法进行求解。 解：该问题的数学描述为

??2t?2t??0??x2?y2?x?a, t?ta1??x??a, t?ta2? （8-1） y?b, t?ta3??y??b, t?ta4???令x'?x?a,y'?y?b，则上述问题可转化为

??2t?2t??0??x?2?y?2?x??2a, t?ta1??x??0, t?ta2? （8-2） y??2b, t?ta3??y??0, t?ta4???令t = t1+ t2+ t3+ t4，t1，t2，t3和t4分别是以下定解问题的解

?2t?2t??0?x?2?y?2x??2a, t1?0x??0, t1?0?????? （8-3）

y??2b, t1?0??y??0, t1?ta4????2t?2t??0?x?2?y?2x??2a, t2?0x??0, t2?0?????? （8-4）

y??2b, t2?ta3??y??0, t2?0?????2t?2t??0??x?2?y?2?x??2a, t3?0??x??0, t3?ta2? （8-5） y??2b, t3?0??y??0, t3?0???用分离变量法求解各个方程组，结果如下

??2t?2t??0??x?2?y?2?x??2a, t4?ta1??x??0, t4?0? （8-6） y??2b, t4?0??y??0, t4?0???1?sh[m?(2b?y')/2a]?m??2ata4方程组（8-3）的解为：t1??sin?x'?(1?cosm?)

am?1sh(m?b/a)?2a?m?1?sh(m?y'/2a)?m??2ata3方程组（8-4）的解为：t2??sin?x'?(1?cosm?)

am?1sh(m?b/a)?2a?m?

1?sh[m?(2a?x')/2b]?m??2ata2?m?b?方程组（8-5）的解为：t3??sin?y'?1?cos??

bm?1sh(m?a/b)a??2b?m??1?sh(m?x'/2b)?m??2ata1?m?b?方程组（8-6）的解为：t4??sin?y'?1?cos??

bm?1sh(m?a/b)a??2b?m??因t = t1+ t2+ t3+ t4 故该问题的解为

1?sh[m?(2b?y')/2a]?m??2ata4t(x',y')??sin?x'?(1?cosm?)?am?1sh(m?b/a)?2a?m?1?sh(m?y'/2a)?m??2ata3 ?sin?x'?(1?cosm?)?am?1sh(m?b/a)?2a?m?1sh[m?(2a?x')/2b]?m??2ata2?m?b?siny'1?cos?sh(m?a/b)?????bm?12bm?a????1?sh(m?x'/2b)m?b??m??2ata1? ?sin?y'?1?cos??bm?1sh(m?a/b)a??2b?m???

?r046. 试证明：圆管内充分发展流动的体积流量可表示为： V??pi?p0?

8?L

7.分析讨论室内与外界通过玻璃窗的热交换过程。

8. 叙述非稳态导热分析的格林函数法的原理，并对下列方程及边界条件的导热问题采用格林函数法进行求解。一维平壁由初始温度分布F(x)和内热源qv(r,?)=?cg(x,?)，平壁的一个边界维持绝热，边界受到热流f(?)的作用。该问题的数学描述为

??t?2t?a2?g?x,??,0?x?L,??0????x?t?F?x?,0?x?L,??0?? ??t???f???,x?0,??0??x??t??0,x?L,??0??x?

9.试述投影法求解辐射换热角系数的基本原理，并推导由有限面积向空间微元面积的辐射角系数的求解公式。

10.在稳态层流常物性管内充分发展流动过程中，设流速分布为u/um= [1- (r/r0)2]，其中um为管内平均流速，r0为管道半径，r为管内距中心线径向坐标。求管内阻力系数Cf, 并求恒热流边界条件下的换热努谢尔特数Nu。

11.写出正交坐标系中拉梅系数的定义式,并求出柱坐标和球坐标系中的拉梅系数。 见书上P9

12.试用数量级分析方法证明：考虑能量耗散时，无内热源的常物性不可压缩流体掠过平壁

的边界层能量方程为：

?T?T??2T???u?u?v???? ?x?y?cp?y2cp??y?2

1-5 椭球坐标系（?,?,?)由?=常数的椭球面，?=常数的双曲线面和?=常数的平面组成。如果椭球坐标系与直角坐标系的关系为：

x?Ash?sin?cos?y?Ash?sin?sin? z?Ach?cos?试证明该椭球坐标系的拉梅系数为：

2222 H1=H?=Ach?sin??sh?cos? 2222 H1?H??Ach?sin??sh?cos?

H1?H??Ash?sin?

并证明椭球坐标系中拉普拉斯算子的表达式为：

??2t1?t?2t?t??? ?t?2?cth???cot?2222?22?A(ch?sin??sh?cos?)??????????2?2t ?2222Ash?sin???1解：（1）由式1 -2-18知 H1?H??(?x2?y?z)?()2?()2 ???????A2sh?2cos?2cos?2?A2sh?2cos?2sin?2?A2ch?2sin?2

?Ash?sin?

（2）由式1 -2 - 25知

1?t?H2?H?t(2)(i?1,2,3)??xH?xi?1iii3?1?H?t?H?t?H?t[(2)?(2)? ()H??H1????H2????H32???H3?t1?2t?H3?t?2t?H1H2?tH1H2?2t?[?H3??H32?()?]22H1H2H3??????????????H3??H3??1?2t1?H3?t?2t1?H3?t1?2t?[2??2?]?22H1H2??H3??????H3????H3????2tAch?sin??t?2tAch?cos??t?1?2???2?2?2222?A(ch?sin??sh?cos?)???Ash?sin?????Ash?sin?????1?2t?2Ash?2sin?2?2???2t1?t?2t?t????2?cth???cot?2222?22A(ch?sin??sh?cos?)???????????1?2t?2Ash?2sin?2?2?

3-2 大平壁的初始温度均匀为t0，从某一时刻起其两表面的温度突然降为tw并保持不变，试求:

（1）写出该导热问题的数学描述；

（2）用分离变量法求解平壁中的温度场。 解:(1)

δδ

如图所示，设大平壁的厚度为2?，并建立坐标系，原点置于平壁中心截面上，由于对称可对平壁的一半进行研究，取x?0的一半作为研究对象，则该导热问题的数学描述为：

?t?2t?a2 0?x?? ???x??0

初始条件为：t(x,0)?t0 0?x??

?t(x,?)?0 ?x?t(x,?)?0 x??,??0 ??x边界条件为：x?0,??0

(2) 由以上的数学描述，引入过余温度??t(x,?)?tw，则以上四式可化为：

???2??a2 0?x?? ???x

??0 1

○

○

??(x,?)?0 ○ x?0,??0 3 ?x??(x,?)?0 ○ x??,??0 ?4 ?x?(x,0)??0 0?x?? 2

因微分方程和边界条件都为齐次的，满足使用分离变量法的条件。 设解的形式为??x,???X?x?????? 把上式代入1得：X(x)???????aX???x?????? 分离变量得到

○

1?X??????2 a??X因为等式两边分别为?的函数和x的函数，它们要相等只能是都等于某个常数，记为

??2，? 是待定常数称为特征值，则上式就变为下面两个微分方程：

????a??0 5

2○

○

方程○5的解是?(?)?Cexp???a?? ○7

X????X?0 6

22由题意可知，当???时，过余温度应有界，由此得?前取负号，并由此条件解6方程可得 X =Acos(?x)+B sin (?x),且有X′ =-A?sin(?x)+?B cos (?x),

把边界条件代入上式可得：

2○

○

9 x??,?X??0 ○

由○8式可得B?0，并由○9式得?A?sin(??)?0，因?,A,??0，则得sin(??)?0，

x?0,X??0 8

可知?有无穷多个解：Xm?Amcos(?mx)，

则满足原偏微分方程和边界条件的分离变量形式的解为：

2?m?Amcos(?mx)exp???ma??

由于问题的线性，无穷多解的叠加仍满足方程和边界条件，即

2???Amcos(?mx)exp???ma??，

m?1?其中，系数Am由初始条件可确定。

6.4 常物性流体在两无限大平行平板之间作稳态层流流动，下板静止不动，上板在外力作用下以恒定速度U运动，试推导连续性方程和动量方程。

解：按照题意

v?0,故连续性方程

?v?v??0 ?y?x 可简化为

?u?v??0 ?x?y?u?0 ?x因流体是常物性，不可压缩的，N-S方程为 x方向：

?u?uFx1?p?2u?2uu?v???v(2?2) ?x?y???y?x?y

可简化为

?p?2vFx???2?0

?x?yy方向

?v?vFy1?p?2v?2vu?v???v(2?2) ?x?y???y?x?y可简化为

Fy?

?p?0 ?y7.5 常物性不可压缩流体掠过全板长换热平壁，当?t??时，试证明：

??t0u(t?t?)dy??u(t?t?)dy?u?(t?t?)dy

0??t?并有，pr?0时

Nux?常数 1312RexPr证明：因为?t??，根据积分可加性有

??t0u(t?t?)dy??u(t?t?)dy??u(t?t?)dy

0??t?在y??处有u?U，U是主流速度，它仅是x的函数，故

??t0u(t?t?)dy??u(t?t?)dy?u?(t?t?)dy，证毕1

0??t?○

常物性不可压缩流体掠过全板长换热平壁时，边界层能量积分方程为

d?t?tu(t?t)dy??a?dx?0?y边界条件为

y?0 2

○

y?0,x?0,t?t? y??,t?t?

利用1中的结论，当pr?0时，?t???，1式中的第一个积分远小于第二个积分的值，因此可以略去第一个积分，而

○○

??t0u(t?t?)dy?u??(t?t???t○

)dy ○3

U?u??常数，这样1式可写为

又由于??0,???t(t?t?)dy可近似表示为?(t?t?)dy，于是3式可写为

0?t○

??tu(t?t?)dy?u??(t?t?)dy 4

?t○

00将○4式带入○

2式得

ud?t?dx?0u(t?t?t?)dy??a?yy?0

令??t?tw,???t??tw，则上式可写为

ud?t?t?dx?0u(????)dy??a?yy?0

设??b0?b1y?b22y?b3y3 利用边界条件

0,?2y?0,????y2?0

y??t,??????,?y?0 可以确定待定系数b0,b1,b2,b3与?t间的关系，再带入○

5式得

ud??t?3y1y3??3a?????dx???1?2(?)?()?dy ??0??t2?t??2?t简化得到

因

，带入上式有

因Pr

，可近似简化为

○

5

进一步可得局部Nu数为

可证

8-2 常物性不可压缩流体在两平行平板间作层流流动，下板静止，上板以匀速U运动，

uyb2dp?y?y??板间距为2b，试证明充分发展流动的速度分布为??2???? ?U2b2?dx?b?b??证：二维流体质量、动量方程

?u?v??0 ① ?x?y??2u?2u??u?u?p ② ?(u?v)??????2?2???x?y?x?y???x??2v?2v??v?v?p?(u?v)??????2?2?? ③ ?x?y?y?x?y??在充分发展区，截面上只有沿流动方向的速度u在断面上变化，法向速度v可以忽略，因此可由方程①得:

v?0,

?u?0 ④ ?x将式④代入③得到，力是均匀一致的

?p?0，表明压力P只是流动方向x的函数，即流道断面上压?ydp?2u进一步由式②得，??2?constant ⑤

dx?y相应的边界条件：

y?0,u?0y?2b,u?U对⑤积分得：

??u1dp?y?C1 ?dx?y1dp2y?C1y?C2

2?dxU?

C1?ubdp，C2?0 ?2b?duyb2dp?y?y?????2???? ?U2b2?dx?b?b??9-2采用普朗特两层流模型，设热边界层两层交界处y?=13.2，取Pr=0.9，k=0.41，试

证

明

外

掠

平

壁

湍

流

边

界

?1层对流换热时有

?Cfwx?CfwxNuxStx??(13.2Pr?10.16)?0.9? ?RexPr2?2???证：外掠平壁湍流边界层流动的总应力与距离壁面的距离y无关，而等于壁面处的切应力?w，即：

?wdu?????t? ?dy?uu*y???wu?*，y?u? ?，uv*??→?1?t???du???1 ① ?dy???普朗特两层模型：

粘性底层，????t，由式①得，u?y

?tdu?湍流核心区，????t，由式①得，?1 ②

?dy?du???普朗特混合长度理论：ky，从粘性底层外缘=10.8开始积分，到湍?1u?y?dy?流核心区得：

u??111lny??y??lny??lny?5 （k=0.41） ③ kkk壁面处温度分布：

??dt1?t???dT?1 qw???cp?a?at????cp??prpr??dydyt??*uuy???w由u?，u?*，y?，T???Tw?T?得：

?qwuv?cp*??w?

???dT??1t????1 ④ ?prpr??dy?t??对④式积分得到

13.2??y???1?t?1?t???????dy? ⑤ T???dy????pr013.2?pprt??prt?????r??1?1根据粘性底层和湍流核心区分子扩散与湍流扩散的相互关系式⑤改写为：

T????13.20prdy??prdy??????prdy?，由式②得

13.2?ty?tT??13.20?prdy? ⑥

13.2?ty?t将式②代入⑥，T??13.20Prdy???y?13.2?prtdu??13.2Pr?Prtu?11.29

??T??Tw?T????w?qw?cp??cpu*hx??cp?u?xu*RexPr1 ???hxx??u?Nuxu?→

Nux111111???? ????21RexPru?Tu?13.2Pr?Prtu?11.29u?Pr?(13.2Pr?11.29Prt)tu????u?2??2,Pr=0.9 Cf?1?Cf?CfNux→Stx??(13.2Pr?10.16)?0.9? ?RexPr2?2???

11-2 黑体的温度需要多高才能有四分之一的辐射在可见光范围内？ 解：可见光的波段范围是0.38—0.76?m，

C1??5普朗克定律为：Eb??

exp[C2/(?T)]?1其中：C1?2?hC0?3.7417749?10W?m； C2?hC0/k?1.4388?10m?K；

?2?162

C0?5.67?10?8W/(m2?K4)；

?10 k?1.380662?23J/K。

斯忒藩·玻尔兹曼定律：Eb??T4，

C1?4其中，???5.67?10?8W/(m2?K4)。 415C2由题意，物体的1/4的辐射能在可见光范围内，则得：

1Eb(0?0.76)?Eb(0?0.38)??f(?2T)?f(?1T)。 4Eb其中，?2?0.76?m，?1?0.38?m。

通过查黑体辐射函数表，经试算可确定T为14210.53K。

12-2 有一无限长的三表面组成的空腔，截面为三角形。已知面积分别是A1、A2、A3 ；A1温度为T1，发射率为?1；A2的热流密度为q2，发射率为?2；A3为绝热表面。试求q1、T2和T3。

解：由代数法可分别求得三表面间的角系数为：

?1,2?A?A2?A1A1?A2?A3A?A3?A2，?1,3?1，?2,3?3

2A32A12A1三个表面的辐射网络图如图所示：

其中，R1,2?1A1?1,2，R1,3?1A1?1,3，R2,3?1A2?2,3为已知量。

由于表面三为绝热表面，不参与辐射换热，是温度浮动的热表面，所以Eb3?J3。 对节点J1，J2，J3分别用直流电路的基尔霍夫定律得：

q1A1?J2?J1J3?J1??0 1 R1,2R1,3○

q2A2?J1?J2J3?J2??0 2 R1,2R2,3○

J1?J3J2?J3??0 3 R1,3R2,3○

三式相加可得：q1A1?q2A2?0，则q1??q2A2， A1因为q1?Eb1?J11??1，所以可算得J1?Eb1?q1，

1??1?1?1由于对节点J1又可写出关系式：

q1A1?J2?J1J?J1?2?0 R1,2R1,3?R2,3J1(R1,2?R1,3?R2,3)?q1A1R1,2(R1,3?R2,3)所以可算得J2?。

R1,2?R1,3?R2,3由于Eb2?J2?q2步算得T2，

由3式得Eb3?J3?出T3。

12-3 两无限大平行平板，表面1温度为1500K，单色发射率在0???2?m波段为0.4，在2???9?m波段为0.9，其他波段为0。表面2温度为1000K，单色0???6?m波段为0.7，其他波段为0.3.试求辐射换热。

解：由题可得表面1的发射率为

1??2?2，则把J2代入可算出Eb2，又因Eb2?C0(T24)，可进一100J1R2,3?J2R1,3T4，把J1，J2代入，并由Eb3?C0(3)，可算

100R1,3?R2,3?1??20??Eb?d?????Eb?d?1922Eb???1?20Eb?d?Eb???2?92Eb?d?Eb

???1Fb(0?2)???2[1?Fb(0?2)]?0.246

其中，??1?0.4，??2?0.9，Fb(0?2)?f(2?1500)?0.27322，

同理可得表面2的发射率为?2?0.595。

由斯忒藩·玻尔兹曼定律得同温下黑体的总辐射量分别为：

T15004Eb1?C0(1)4?5.67?()W/m2?287043.45W/m2

100100T10004Eb2?C0(2)4?5.67?()W/m2?56700W/m2

100100因为表面1与表面2平行，且为无限大平板，所以单位平板的辐射换热量为：

q1?2??1

Eb1?Eb2?48.54KW/m2。

11??1?2第一章

1-4、试写出各向异性介质在球坐标系(r、?、?)中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。

解：球坐标微元控制体如图所示：

热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：

?T?1?T?1?T?q??k?T??kri?k?j?k?k （1-1）

?rr??rsin???''根据能量守恒：Ein?Eg?Eout?Est

??q??q??qr?T2?dr?d??d??qr2sin?drd?d???cprsin?drd?d? （1-2） ?r?????t????导热速率可根据傅里叶定律计算：

qr??kr?Trd??rsin?d? ?tk?Tq????dr?rsin?d? （1-3）

r??q????Tdr?rd?

rsin???k?将上述式子代入（1-4-3）可得到

k??T?k??T??T(kr?r2)dr?d??sin?d??(sin?)dr?d??rd??(?)dr?rd??d??r?r??r????rsin?????T2?qr2sin?drd?d???cprsin?drd?d?(1?5)?t对于各向异性材料，化简整理后可得到：

k?k?kr?2?T??T?2T??T （1-6） (r)?(sin?)??q??cp22222r?r?rrsin?????rsin????t第二章

2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为t1和t2，两侧面(y??L)向温度为t1的周围介质散热，表面传热系数为h。试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。

解：根据题意画出示意图：

（1）设??t?tf,?1?t1?tf,?2?t2?tf，根据题意写出下列方程组

??2??2??2?0?2?x?y?x?0???1??x?????2????y?0?0??y????h??0?y?L??y?（2-1）

解上述方程可以把θ分解成两部分?I和??两部分分别求解，然后运用叠加原理???I???得出最终温度场，一下为分解的?I和??两部分：

??2?I?2?I?2?0?2?x?y?x?0?I??1?? x???I??2???I?y?0?0??y????y?L?I?h?I?0?y?（2）首先求解温度场?I

??2???2????0?22?x?y?x?0??????? ?x?????0?????y?0?0??y????y?L???h???0??y?用分离变量法假设所求的温度分布?I(x,y)可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积，即

?I(x,y)?X1(x)Y1(y) （2-2）

d2X1d2Y1X1''Y1''将上式代入?I的导热微分方程中，得到Y1?2X1?0，即????2，上式2dxdyX1Y1等号左边是x的函数，右边是y的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为?。由此得到一个待定常数的两个常微分方程

2d2X12 ??X1?02dx解得

d2Y12??Y1?0 （2-3） 2dy X1(x)?Ach(?x)?Bsh(?x) （2-4） Y1(y)?Ccos(?y)?Dsin(?y) （2-5）

把边界条件y?0,??I?0代入（2-3-4）得到A=0，所以有 ?y X1(x)?Bsh(?x) （2-6） 把边界条件y?L,??I?0代入（2-3-5）得到D=0，所以有 ?y Y1(y)?Ccos(?y) （2-7） 把边界条件y?L,???I?h?I?0联立（2-3-7）得到 ?y cot(?L)??LhL/? （2-8）

设?L??,hL/??Bi，则有cot(?)??/Bi，这个方程有无穷多个解，即常数β有无穷多个值，即?n(n?1,2,3?)，所以对应无穷多个?，即?n(n?1,2,3?)，所以有 Y1(y)?Cncos(?ny) （2-9） 联立（2-3-6）可得

?I(x,y)??Kncos(?ny)sh(?nx) （2-10）

n?1?把边界条件x??,?I??2代入上式可得 解得

Kn?其中?n??nL

??0L2cos(?ny)dy??Knsh(?n?)cos2(?ny)dy （2-11）

0L2?2sin(?n) （2-12）

sh(?n?/L)[sin(?n)cos(?n)??n]?I(x,y)??2?2sin?(n)??cos(ny)sh(nx) （2-13）

nn()cos?(n)??n]LLn?1sh(?n?/L)[si??（3）求解温度场??

与解?I一样用分离变量法，假设所求温度分布??(x,y)可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积

??(x,y)?X2(x)Y2(x) （2-14）

''d2X2d2Y2X2Y2''2将该式子代入??的导热微分方程中得到，即，由Y?X?0????2222dxdyX2Y2此可得到两个常微分方程

d2X2??X2?0 （2-15） 2dxd2Y2 ??2Y2?0 （2-16） 2dy解式（2-3-15）时根据x的边界条件可以把解的形式写为

X2(x)?Ach[?(??x)]?Bsh[?(??x)] （2-17） 把边界条件x??,???0代入上式，得到A=0，所以有

X2(x)?Bsh[?(??x)] （2-18） 其中?nL??n,cot(?n)??n/Bi

?I(x,y)??kncos(?ny)sh[?n(??x)] （2-19）

n?1?把边界条件x?0,????1代入上式可得

?L0'?1cos(?ny)dy??Knsh[?n(??x)]cos2(?ny)dy （2-20）

0'L Kn??2?1sin(?n) （2-21）

sh(?n?/L)[sin(?n)cos(?n)??n]

??(x,y)??2?1sin(?n)??cos(ny)sh[n(??x)] （2-22）

?n)cos(?n)??n]LLn?1sh(?n?/L)[sin(（4）最终求得稳态温度场

?(x,y)??I(x,y)???(x,y)

?????2?2sin(?n)??cos(ny)sh(nx)?LLn?1sh(?n?/L)[sin(?n)cos(?n)??n]?

2?1sin(?n)??cos(ny)sh[n(??x)]LLn?1sh(?n?/L)[sin(?n)cos(?n)??n]

2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热

源。当运行的时间足够长以后，系统可以达到基本稳定的状态。设土地是均匀的半无限大介质，线热源单位长度的发热量为ql，地表面的温度均匀，维持为t0。使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。

解：根据题意画出示意图如下：

设有限长热源长度为H，单位长度热源发热量为ql，电源强度为ql?dz0(w)，设地面温度维持恒定温度t0,??t?t0。

（1）求解点热源dz0产生的温度场

有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加，因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为：

解微分方程可得

??c2?1d2d?(r)?0 （3-1） r2drdrc1 （3-2） r把边界条件r??,??0代入上式得到c2?0，所以有

???c1 （3-3） r在球坐标系点热源dz0单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量Q，即 Q???所以得到c1?d?4?r2??4??c1?qldz0 （3-4） dr?qldz0 4??由此可得到球坐标系中点热源dz0产生的温度场为 ??*ql1dz0 （3-5） 4??r（2）分别求出两个线热源产生的温度场

线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有 地下有限长线热源产生的温度场 ?1?对称的虚拟热源产生的温度场为 ?2??H0ql1dz0 （3-6） 4??r?ql1dz0 （3-7） 4??r?0?H（3）虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场

0?q1ql1ldz0??dz004??r?H4??r?qlH?11 ???dz0 （3-8） ?224???0??2?(z?z0)2??(z?z0)??????H?H?z?(H?z)2??2z2??2?z?ql?ln??4???H?z?(H?z)2??2z2??2?z???第三章

3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为1mm的圆球，其材料的密度为8900kg/m3，比热容为390J/(Kg?K)，测温记录最高和最低温度分别为130℃和124℃，周期为20s。若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为20W/(m2?K)，试确定气流的真实温度变化范围。

解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为 式中B??*?Bcos(w???) （4-1）

Af1?w?22r???arctan(w?r)

2?2???cv8900?390?1?10?3????28.925s，按题目要求w?，?r?T2010hA6?20h?20w/(m2?k)，根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的

温度变化的振幅如下式

Af1?w2?r2?130?124?3 （4-2） 2把w,?r的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅Af?27.4，所以真实气体温度变化的最大值、最小值为

tmax? tmin

130?124?27.4?154.40C （4-3） 2130?124??27.4?99.60C （4-4）

2

3-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度

?ql?r2t(r,?)?Ei()4??4a?场由式子确定。若线热源的加热不是连续的而是间歇的，即

从??0的时刻起，线热源进行周期性的间歇加热，周期为T，其中加热的时段为T1，其余的T-T1时间不加热。试利用线性叠加原理确定介质中的温度响应。

解：无限大介质连续恒定发热的线热源引起的温度场：

qi?r2Ei() （5-1） t(r,?)?t???4??4a?eudu 其中：Ei(z)????uz对于随时间变化的热流可以用一系列连续的矩形脉冲热流来近似如图所示：

由叠加原理得到?时刻的温度变化为：

n

r2 t?t????(qli?qli?1)Ei[?],(ql0?0) （5-2）

4??4a(???i?1)i?11对于间歇性的脉冲，令C?Tl/T为运行份额，如果在整个运行期间的平均热负荷为ql，则脉冲加热的强度为ql/C，具体见下图：

由叠加原理得到：

?qlql?r2?r2t?t????Ei[]???Ei[]4??4a(??nT)n?04??4a(??nT?Tl)n?0??????r2??ql?r2??Ei????Ei???4??Cn?0??4a(??nT?Tl?4a(??nT)???? （5-3）

即温度响应为

???r2??4??(t?t?)1????r2?????Ei??Ei???? （5-4）

Cn?0??4a(??nT?Tl?ql?4a(??nT)??

第四章 4-1、处在x>0的半无限大空间内的一固体，初始温度为溶解温度tm。当时间??0时，在x=0的边界上受到一个恒定的热流q0的作用。使用积分近似解得方法确定固液界面位置随时间变化的关系式。温度分布按二次多项式近似。

解：设过余温度??t?tm，边界条件为 x?0??0,q0???d? （6-1） dx x?x(?)??0,??0 （6-2） 热平衡方程为 ?d?dX(?)??L,x?X(?),??0 （6-3） dxd?其中L是潜热，a??/?L

用二次多项式近似固相区中的温度分布，设

?(x,?)?A(x?X)?B(x?X)2 （6-4）

由边界条件（6-1）可知，x?0,d??A?2B(x?X)，则 dx q0???[A?2B(x?X)2]???(A?2BX) （6-5） 由边界条件（6-2）变形，

d?????X?[X(?),?]??，代入（6-3）式可得 d????X???2????2 a2?()?0 （6-6）

?x?L?x将（6-4）代入上式得到

?2A?2aB?0 （6-7） ?L联立（6-5）和（6-7）两个式子，可解得

?L?a24aq0a???? （6-8） A??22???LXX??X?将（6-4）代入（6-3）得到

?[A?2B(x?X)]??L其中x?X(?)，所以有?A??LdX （6-9） d?dX，代入A的值即得 d?1?a24aq0a?dX???? ? （6-10） 22??LXX??X?d?变形可得到

2XdX?4aq0a2??a?L2X(a2?4aq0X?a)?L （6-11）

dX4aq0?X?Ld??积分可得到

?2aq0?L24aq03/2??aX?(a?) （6-12） ?L6aq0?LX化简整理可得界面随时间的变化方程为

2aq024aq03?2L22 (aX??)?(a?) （6-13） 22?L36aq0?LX

第六章

6-4、常物性流体在两无限大平板之间作稳态层流运动，下板静止不动，上板在外力作用下以恒定速度U运动，试推导连续性方程和动量方程。

解：按照题意可以写出

v?0,故连续性方程为

可以简化为

?v?v??0 （7-1） ?y?x?u?v??0 （7-2） ?x?y?u?0 （7-3） ?x

因流体是常物性，不可压缩，N—S方程为 X方向上：

?u?uFx1?P?2u?2u u?v????(2?2) （7-4）

?x?y???y?x?y简化为

?P?2u Fx???2?0 （7-5）

?x?yY方向上：

?v?vFy1?P?2v?2v u?v????(2?2) （7-6）

?x?y???y?x?y可简化为

Fy??P?0 （7-7） ?y第七章

7-3、试证明：当Pr?1时流体外掠平板层流动边界层换热的局部努塞尔数为 Nux?1?Re1/2Pr1/2

证明：适用于外掠平板的层流边界层的能量方程为

?t?t?2t u?v??2 （8-1）

?x?y?y常壁温的边界条件为

y?0,t?tw （8-2） y??,t?t? （8-3） 引入一量纲温度 ??t?tw，则上述能量方程变为

t??tw

?????2? u?v??2 （8-4）

?x?y?y引入相似变量 ??yyU?，得到 ?Re1/2?y?(x)x?x

??????1U11?'???'(?)(?y?)???(?) （8-5） ?x???x2?xx2x??????U?'???(?) （8-6） ?y???y?x

?2?U?'' ??(?) （8-7）

?y2?x将上面的三个式子代入（8-4）可得到 ??\1Pr?f?'?0 （8-8） 2当Pr?1时，速度边界层厚度远小于温度边界层厚度，可近似认为温度边界层内速度为主流速度，即f?1,f??，由此可得

'd?''Pr' (')??f （8-9）

d??2求解得到 ?(?)?erf()Pr?1/22,?'(0)?(Pr?)1/2

/21/2则 Nux?0.564Re1 （8-10） xPr第八章

8-2、常物性不可压缩流体在两平行平板之间作层流流动，下板静止，上板以匀速U运动，板间距为2b，证明充分发展流动的速度分布为

uyb2dp?yy? ??(2?)? ?U2b2?dx?bb?解：二维流体质量、动量方程为

?u?v ??0 （9-1）

?x?y?u?u?p?2u?2u ?(u?v)????(2?2) （9-2）

?x?y?x?x?y?v?v?p?2v?2v ?(u?v)????(2?2) （9-3）

?x?y?y?x?y在充分发展区，截面上只有沿流动方向上的速度u在断面上变化，法向速度v可以忽略

不计，因此可由（9-1）得到

v?0,?u?0 （9-4） ?x将（9-4）式代入（9-3）得到面上压力是均匀一致的

进一步由（9-2）可得

?p?0，表明压力P只是流动方向x的函数，即流道断?ydp?2u ??2?C （9-5）

dx?y相应的边界条件为

y?0,u?0 （9-6） y?2b,u?U （9-7） 对（9-5）积分可得到 ??u1dp?y?C1 （9-8） ?y?dx1dp2y?C1y?C2 （9-9）

2?dx U?代入边界条件得到C1?ubdp?,C2?0，因此有 2b?dxuyb2dpyy ??[(2?)] （9-10）

U2b2?dxbb第九章

9-3、流体流过平壁作湍流边界层流动，试比较粘性底层、过渡区和湍流核心区的大小。

解：流体流过平壁作湍流边界层流动时，一般将边界层分为3个区域： 粘性底层： y?5 缓冲层： 5?y?30 湍流核心： y?30

???u*y其中y?

v?因此可以得出，湍流核心区最大，缓冲层其次，粘性底层最小。粘性底层是靠近壁面处极薄的一层，速度耗损大。过渡区处于粘性底层与湍流核心区之间，范围很小。

第十章

10-3、一块平板，高0.5m，宽0.5m，壁温保持在30℃，竖直放入120℃的油池中，求冷却热流。

T?T?30?120??750C （11-1） 解：物性取膜温Tf?s22查油的物性表得到： ??41.7?10?6m2/s,??0.763?10?7m2/s,??0.7?10?3K?1 Pr?546,k?138?10?3w/m?k 瑞利数为

RaL?GrLPr?

g?(Ts?T?)L3??10?0.7?10?3?(120?30)?0.53 （11-2） ?41.7?10?6?0.763?10?7?2.475?1010???466.4 (11-3) 8/27???平均努塞尔数为

/6?0.387Ra1?L NuL??0.825??1?(0.492/Pr)9/16???因此

NuL?k466.4?138?10?3??128.7w/(m2?k) (11-4) h?L0.5得到

q?hA(Ts?T?)?128.7?0.5?0.5?(120?30)?2896w (11-5)

第十一章

11-3、有一漫辐射表面，单色吸收比??如下图所示。在太空中，正面受到太阳辐射，辐射力为1394w/㎡，背面绝热。试求表面的平衡温度。

解：假定太阳辐射相当于5800K的黑体辐射

全波长半球向吸收率为

? ???0??(?)G?(?)d???0G?(?)d? （12-1）

利用G??E?,b(Tf)?E?,b(?,5800K)，得到

????,1??10E?,b(?,5800K)d?Eb(5800K)???,2??E?1?,b(?,5800K)d? （12-2）

Eb(5800K)???,1F(0??1)???,2[1?F(0??1)]由?1Tf?1.5?5800um?K 得到F(0??1)?0.88，因此

??0.9?0.88?0.1?(1?0.88)?0.804 （12-3） 由于漫射性质，?????，因此可得到

????,1F(0??)???,2[1?F(0??)] （12-4）

11假定最终平板的温度在600K以下，F(0??1)?0，得到

????,2?0.1 （12-5）

平板背面绝热，由平板能量平衡方程得到 代入数据后解得

Ts?667K （12-7）

?G???Ts4 （12-6）

第十二章

13-3、两无限大平行平板，表面1温度为1500K，单色发射率在0???2um波段为0.4，在2um???9um波段为0.9，其他波段为0。表面2温度为1000K，单色发射率在0???9um波段为0.7，其他波段为0.3。试求辐射换热。

解：由题可得表面1的发射率为

?1??20??Eb,?d?????Eb,?d?1922Eb???1?20Eb,?d?Eb???2?92Eb,?d?Eb （13-1）

???1F(0?2)???2[1?F(0?2)]?0.246其中，??1?0.4,??2?0.9,F(0?2)?f(2?1500)?0.27 同理求得表面2的发射率为

'''' ?2???F(0?9)???[1?F(0?9)]?0.595 （13-2）

12其中，??1?0.7,??2?0.3,F(0?2)?f(9?1000)?0.89 由玻尔兹曼定律可求得同温下黑体的总辐射量为

T15004Eb1?C0(1)4?5.67?()W/m2?287043.45W/m2 （13-3）

100100T10004Eb2?C0(2)4?5.67?()W/m2?56700W/m2 （13-4）

100100因为表面1与表面2平行，且为无限大平板，所以单位平板的辐射热量为： q1?2??1

第十三章

Eb1?Eb2?48.54KW/m2 (13-5)

11??1?213-1、一把烙铁，端部表面积为0.0013㎡，表面发射率为0.9，功率为20W，与环境的对流表面传热系数为11W/(㎡?K)。周围环境和空气的温度为25℃。试计算烙铁端部的温度。

解：由能量平衡得到

P?hA(Tf?T?)??C0A(Tf4?Tb4)

?hA(Tf?T?)?hr(Tf?T?)?(h?hr)A(Tf?T?)

其中 hr??C0(Tf?T?)(Tf?T?)

估计Tf的值，计算出hr然后代入能量平衡方程，判断是否成立。 当Tf?698K时，得 hr?29.26W/(m?K)，此时

222)?20.93W P?(29.26?11)?0.0013?(698?298所得的结果与已知近似。因此，烙铁端部温度为698K。