5
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝. 13所以X的分布列为
X P 0 5 131 4 132 4 1354412
故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
13131313
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
20.（本小题满分12分）
（理）[2013·山东卷] 如图1－4所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，联结GH.
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角D－GH－E的余弦值．
【解】(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC.
又EF平面PCD，DC平面PCD， 所以EF∥平面PCD.
又EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH. 又EF∥AB，所以AB∥GH.
(2)方法一：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ， 所以∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ.
因为PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.又BP∩BQ＝B，
图1－5
所以AB⊥平面PBQ.由(1)知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.又FH平面PBQ，所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC，所以∠FHC为二面角D－GH－E的平面角．
设BA＝BQ＝BP＝2.联结FC，
在Rt△FBC中，由勾股定理得FC＝2，在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝5.又H为155△PBQ的重心，所以HC＝PC＝.同理FH＝. 333
55
＋－2994
在△FHC中，由余弦定理得cos∠FHC＝＝－.即二面角D－GH－E的余弦值为－
552×94. 5
方法二：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ＝90°.又PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA＝BQ＝BP＝2，则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，→→
0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)．所以EQ＝(－1，2，－1)，FQ＝(0，2，－1)，→→
DP＝(－1，－1，2)，CP＝(0，－1，2)．
设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， →→
由m·EQ＝0，m·FQ＝0，
??－x1＋2y1－z1＝0，得?取y1＝1，得m＝(0，1，2)． ?2y1－z1＝0，?
设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)， →→
由n·DP＝0，n·CP＝0，
??－x2－y2＋2z2＝0，得? ?－y2＋2z2＝0，?
取z2＝1，得n＝(0，2，1)． 所以cos〈m，n〉＝
m·n4
＝. |m||n|5
因为二面角D－GH－E为钝角， 4
所以二面角D－GH－E的余弦值为－.
5
（文）[2013·江苏卷] 如图1－2，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA.
图1－2
证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB， 又AF平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC.
因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA平面SAB，所以BC⊥SA. 21.（本小题满分12分）
x2y2
（理）【2012高考真题福建理19】如图1－4，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，
ab1
右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.
2（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点
Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求
出点M的坐标；若不存在，说明理由.
图1－4
【解】解法一：
（1）因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a， 所以4a＝8，a＝2.
1c1
又因为e＝，即＝，所以c＝1，
2a2所以b＝a－c＝3. 故椭圆E的方程是＋＝1.
43
2
2
x2y2
y＝kx＋m，??22
（2）由?xy＋＝1，??43
2
得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0.
222
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0， 即64km－4(4k＋3)(4m－12)＝0，化简得4k－m＋3＝0.(*) 4k3?4km4k3?－，?. 此时x0＝－2＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P?4k＋3mm?mm?
??x＝4，
由???y＝kx＋m22
2
2
2
得Q(4,4k＋m).