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14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为 1 ． 【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】由题意可得x＞

，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求

出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．

【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞0，

又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），

其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0， 即y3﹣y2≥﹣y，

当且仅当y=时取得等号，

设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2）， 当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=可得f（x）在x=处的切线方程为y=由x3﹣x2≥

，

，y＞

x﹣．

x﹣?（x﹣）2（x+2）≥0，

当x=时，取得等号．

则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥当且仅当x=，y=时，取得最小值1．

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x﹣﹣y≥﹣=1．

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故答案为：1．

二.解答题：本大题共6小题，共计90分

15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=

（1）求边c的长； （2）求角B的大小．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．

a2﹣b2=8．（2）由（1）可得：由正弦定理可得：可得A=B+﹣16sin2B=

C=，

，可得sinC=sin，化简即可得出．

=3，b×

=1，

==．代入可得

，又A﹣B=，

【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c． 相加可得：2c2=8c，解得c=4． （2）由（1）可得：a2﹣b2=8． 由正弦定理可得：又A﹣B=

，∴A=B+

=

=

，

，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin ．

∴a=，b=．

∴∴1﹣

=

∴﹣2

﹣16sin2B=

，

，即cos2B﹣

﹣（1﹣cos2B）=

， ═

，

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∴解得：B=

．

=0或=1，B∈．

16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1 （1）求证：E是AB中点；

（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．

【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．

（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．

【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′， ∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O， ∴O为AC1的中点， ∵E′是AB的中点， ∴OE′∥BC1；

∵OE′?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1， ∴OE′∥平面BCC1B1， ∵OE∥平面BCC1B1， ∴E，E′重合， ∴E是AB中点；

（2）∵侧面AA1C1C是菱形，

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∴AC1⊥A1C，

∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC， ∴AC1⊥平面A1BC， ∵BC?平面A1BC， ∴AC1⊥BC．

17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l． （1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）； （2）问当α为何值时l最小？并求最小值．

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；

（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．

【解答】解：（1）设上底长为a，则S=∴a=﹣∴l=﹣

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，

， +

（0＜α＜

）；