(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用(第1课时)教案(含解析) 下载本文

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设h(x)=-lnx-1(x>0),

x11

则h′(x)=-2-<0,

xx所以h(x)在(0,+∞)上单调递减.

由h(1)=0知,当00,所以f′(x)>0; 当x>1时,h(x)<0,所以f′(x)<0. 综上,f(x)的单调递增区间是(0,1), 单调递减区间是(1,+∞).

12.(2018·信阳高级中学模拟)已知函数f(x)=x-1(b∈R,e为自然对数的底数)在点(0,

e

bf(0))处的切线经过点(2,-2).讨论函数F(x)=f(x)+ax(a∈R)的单调性.

解 因为f(0)=b-1,所以过点(0,b-1),(2,-2)的直线的斜率为k=

b-1-?-2?

0-2

=-b+1

bb+1

,而f′(x)=-x,由导数的几何意义可知,f′(0)=-b=-, 2e2

1

所以b=1,所以f(x)=x-1.

e11

则F(x)=ax+x-1,F′(x)=a-x,

ee当a≤0时,F′(x)<0恒成立; 当a>0时,由F′(x)<0,得x<-lna, 由F′(x)>0,得x>-lna.

故当a≤0时,函数F(x)在R上单调递减; 当a>0时,函数F(x)在(-∞,-lna)上单调递减, 在(-lna,+∞)上单调递增.

21

13.定义在区间(0,+∞)上的函数y=f(x)使不等式2f(x)

f?2?

<16 f?1?f?2?

<4 f?1?

B.4

f?2?

<8 f?1?f?2?

<3 f?1?

答案 B

解析 ∵xf′(x)-2f(x)>0,x>0,

f′?x?·x-2xf?x?xf′?x?-2f?x??f?x??∴?2?′==>0,

x4x3?x?

令g(x)=∴g(x)=∴

>2

f?x?

, x2

f?x?

在(0,+∞)上单调递增, x2

2

f?2?f?1?

2

2

1

又由2f(x)<3f(x),得f(x)>0,即∵xf′(x)-3f(x)<0,x>0,

f?2?

>4. f?1?

f′?x?·x-3xf?x?xf′?x?-3f?x??f?x??∴?3?′==<0,

x6x4?x?

令h(x)=∴h(x)=32

f?x?

, x3

f?x?

在(0,+∞)上单调递减, x3

22

f?2?f?1?

2

3

<1

3

,即

f?2?

<8. f?1?

综上,4<

f?2?

<8. f?1?

1312?2?14.若函数f(x)=-x+x+2ax在?,+∞?上存在单调递增区间,则a的取值范围是32?3?________.

?1?答案 ?-,+∞?

?9?

解析 对f(x)求导,得f′(x)=-x+x+2a

2

?1?21

=-?x-?++2a.

?2?4

?2?由题意知,f′(x)>0在?,+∞?上有解, ?3?

?2??2?2

当x∈?,+∞?时,f′(x)的最大值为f′??=+2a.

?3??3?9

21?1?令+2a>0,解得a>-,所以a的取值范围是?-,+∞?. 99?9?

15.对于三次函数f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x-6x+4,则g?

3

2

3

2

?1?+g?2?+…

????100??100?

?199?+g??=________. ?100?

答案 0

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解析 g′(x)=6x2

-12x,∴g″(x)=12x-12, 由g″(x)=0,得x=1,又g(1)=0,

∴函数g(x)的对称中心为(1,0),故g(x)+g(2-x)=0, ∴g?

?1?100???+g??2?100???+…+g??199?100???

=g(1)=0.

16.已知函数f(x)=12ax2

-(a+1)x+lnx(a>0),讨论函数f(x)的单调性.

解 f′(x)=ax-(a+1)+1?ax-1??x-1?

x=x(x>0),

①当0

a>1,

由f′(x)>0,解得x>1

a或0

由f′(x)<0,解得1

a.

②当a=1时,f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立. ③当a>1时,0<1

a<1,

由f′(x)>0,解得x>1或0

a,

由f′(x)<0,解得1

a

综上,当0

和(0,1)上单调递增,在??1?

1,a???

上单调递减;当a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,

当a>1时,f(x)在(1,+∞)和??1?

0,a???

上单调递增,在??1?a,1???

上单调递减.

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