1
设h(x)＝－lnx－1(x>0)，
x11
则h′(x)＝－2－<0，
xx所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h(1)＝0知，当0
12．(2018·信阳高级中学模拟)已知函数f(x)＝x－1(b∈R，e为自然对数的底数)在点(0，
e
bf(0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F(x)＝f(x)＋ax(a∈R)的单调性．
解 因为f(0)＝b－1，所以过点(0，b－1)，(2，－2)的直线的斜率为k＝
b－1－?－2?
0－2
＝－b＋1
bb＋1
，而f′(x)＝－x，由导数的几何意义可知，f′(0)＝－b＝－， 2e2
1
所以b＝1，所以f(x)＝x－1.
e11
则F(x)＝ax＋x－1，F′(x)＝a－x，
ee当a≤0时，F′(x)<0恒成立； 当a>0时，由F′(x)<0，得x<－lna， 由F′(x)>0，得x>－lna.
故当a≤0时，函数F(x)在R上单调递减； 当a>0时，函数F(x)在(－∞，－lna)上单调递减， 在(－lna，＋∞)上单调递增．
21
13．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x) f?2? <16 f?1?f?2? <4 f?1? B．4 f?2? <8 f?1?f?2? <3 f?1? 答案 B 解析 ∵xf′(x)－2f(x)>0，x>0， f′?x?·x－2xf?x?xf′?x?－2f?x??f?x??∴?2?′＝＝>0， x4x3?x? 令g(x)＝∴g(x)＝∴ >2 f?x? ， x2 f?x? 在(0，＋∞)上单调递增， x2 2 f?2?f?1? 2 2 1 ， 又由2f(x)<3f(x)，得f(x)>0，即∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0， f?2? >4. f?1? f′?x?·x－3xf?x?xf′?x?－3f?x??f?x??∴?3?′＝＝<0， x6x4?x? 令h(x)＝∴h(x)＝32 f?x? ， x3 f?x? 在(0，＋∞)上单调递减， x3 22 ∴ f?2?f?1? 2 3 <1 3 ，即 f?2? <8. f?1? 综上，4< f?2? <8. f?1? 1312?2?14．若函数f(x)＝－x＋x＋2ax在?，＋∞?上存在单调递增区间，则a的取值范围是32?3?________． ?1?答案 ?－，＋∞? ?9? 解析 对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋x＋2a 2 ?1?21 ＝－?x－?＋＋2a. ?2?4 ?2?由题意知，f′(x)>0在?，＋∞?上有解， ?3? ?2??2?2 当x∈?，＋∞?时，f′(x)的最大值为f′??＝＋2a. ?3??3?9 21?1?令＋2a>0，解得a>－，所以a的取值范围是?－，＋∞?. 99?9? 15．对于三次函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝2x－6x＋4，则g? 3 2 3 2 ?1?＋g?2?＋… ????100??100? ?199?＋g??＝________. ?100? 答案 0 23 解析 g′(x)＝6x2 －12x，∴g″(x)＝12x－12， 由g″(x)＝0，得x＝1，又g(1)＝0， ∴函数g(x)的对称中心为(1,0)，故g(x)＋g(2－x)＝0， ∴g? ?1?100???＋g??2?100???＋…＋g??199?100??? ＝g(1)＝0. 16．已知函数f(x)＝12ax2 －(a＋1)x＋lnx(a>0)，讨论函数f(x)的单调性． 解 f′(x)＝ax－(a＋1)＋1?ax－1??x－1? x＝x(x>0)， ①当0 a>1， 由f′(x)>0，解得x>1 a或0 由f′(x)<0，解得1 a. ②当a＝1时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立． ③当a>1时，0<1 a<1， 由f′(x)>0，解得x>1或0 a， 由f′(x)<0，解得1 a 综上，当0 和(0,1)上单调递增，在??1? 1，a??? 上单调递减；当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当a>1时，f(x)在(1，＋∞)和??1? 0，a??? 上单调递增，在??1?a，1??? 上单调递减． 24