题组二 教材改编

2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 答案 C

解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数． 3．函数f(x)＝e－x的单调递增区间是________． 答案 (0，＋∞)

解析 由f′(x)＝e－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)． 4．当x>0时，lnx，x，e的大小关系是________． 答案 lnx

1

解析 构造函数f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯

xxxxx一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以lnx

5．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案

23a 27

2

xx解析 容积V＝(a－2x)x,0

2

a2

5

由V′＝0得x＝或x＝(舍去)，则x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，

62623

此时Vmax＝a.

27题组三 易错自纠

6．函数f(x)＝x＋ax－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案 [－3,0]

解析 f′(x)＝3x＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0]．

1332

7．(2018·郑州质检)若函数f(x)＝x－x＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的

32值为________． 答案 －4

解析 f′(x)＝x－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，

∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4.

13

8．若函数f(x)＝x－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________.

3答案 4

解析 f′(x)＝x－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.

132

9．已知函数f(x)＝x＋x－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围

3为________．

22

2

2

2

3

2

aaa?3?答案 ?，4? ?2?

解析 f′(x)＝x＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在

??f′?1?＝3－2a<0，

(1,2)上是单调递增函数，因此?

?f′?2?＝8－2a>0，?

2

3

解得

2

?3，4?. ?2???

6

第1课时 导数与函数的单调性

题型一 不含参函数的单调性

1．函数y＝4x2

＋1x的单调增区间为( )

A．(0，＋∞) B.??1?2，＋∞???

C．(－∞，－1) D.??1?

－∞，－2???

答案 B

解析 由y＝4x2

＋1x，得y′＝8x－1x2(x≠0)，

令y′>0，即8x－11

x2>0，解得x>2

，

7

1?1?2

∴函数y＝4x＋的单调增区间为?，＋∞?.故选B.

x?2?2．函数f(x)＝x·e－eA．(－∞，e) C．(e，＋∞) 答案 D

解析 由f(x)＝x·e－e

xx＋1

xx＋1

的递增区间是( )

B．(1，e) D．(e－1，＋∞)

，

得f′(x)＝(x＋1－e)·e， 令f′(x)>0，解得x>e－1，

所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．

3．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调递减区间是________．

x?1?答案 ?0，?

?e?

解析 因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)， 所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)，

1?1?当f′(x)<0时，解得0

4．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是______________________． π??π??答案 ?－π，－?和?0，?

22

????

解析 f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx. 令f′(x)＝xcosx>0，

π??π??则其在区间(－π，π)上的解集为?－π，－?∪?0，?，

2??2??π??π??即f(x)的单调递增区间为?－π，－?和?0，?.

2??2??思维升华确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)．

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

8