(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用(第1课时)教案(含解析) 下载本文

题组二 教材改编

2.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列判断正确的是( )

A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数 B.在区间(1,3)上f(x)是减函数 C.在区间(4,5)上f(x)是增函数 D.当x=2时,f(x)取到极小值 答案 C

解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立,∴f(x)是增函数. 3.函数f(x)=e-x的单调递增区间是________. 答案 (0,+∞)

解析 由f′(x)=e-1>0,解得x>0,故其单调递增区间是(0,+∞). 4.当x>0时,lnx,x,e的大小关系是________. 答案 lnx

1

解析 构造函数f(x)=lnx-x,则f′(x)=-1,可得x=1为函数f(x)在(0,+∞)上唯

xxxxx一的极大值点,也是最大值点,故f(x)≤f(1)=-1<0,所以lnx

5.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________. 答案

23a 27

2

xx解析 容积V=(a-2x)x,0

2

a2

5

由V′=0得x=或x=(舍去),则x=为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,

62623

此时Vmax=a.

27题组三 易错自纠

6.函数f(x)=x+ax-ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是________. 答案 [-3,0]

解析 f′(x)=3x+2ax-a≥0在R上恒成立,即4a+12a≤0,解得-3≤a≤0,即实数a的取值范围是[-3,0].

1332

7.(2018·郑州质检)若函数f(x)=x-x+ax+4恰在[-1,4]上单调递减,则实数a的

32值为________. 答案 -4

解析 f′(x)=x-3x+a,且f(x)恰在[-1,4]上单调递减,∴f′(x)=x-3x+a≤0的解集为[-1,4],

∴-1,4是方程f′(x)=0的两根, 则a=(-1)×4=-4.

13

8.若函数f(x)=x-4x+m在[0,3]上的最大值为4,m=________.

3答案 4

解析 f′(x)=x-4,x∈[0,3],当x∈[0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,3]时,f′(x)>0,所以f(x)在[0,2)上是减函数,在(2,3]上是增函数.又f(0)=m,f(3)=-3+m.所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=4,所以m=4.

132

9.已知函数f(x)=x+x-2ax+1,若函数f(x)在(1,2)上有极值,则实数a的取值范围

3为________.

22

2

2

2

3

2

aaa?3?答案 ?,4? ?2?

解析 f′(x)=x+2x-2a的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x=-1,则f′(x)在

??f′?1?=3-2a<0,

(1,2)上是单调递增函数,因此?

?f′?2?=8-2a>0,?

2

3

解得

2

?3,4?. ?2???

6

第1课时 导数与函数的单调性

题型一 不含参函数的单调性

1.函数y=4x2

+1x的单调增区间为( )

A.(0,+∞) B.??1?2,+∞???

C.(-∞,-1) D.??1?

-∞,-2???

答案 B

解析 由y=4x2

+1x,得y′=8x-1x2(x≠0),

令y′>0,即8x-11

x2>0,解得x>2

7

1?1?2

∴函数y=4x+的单调增区间为?,+∞?.故选B.

x?2?2.函数f(x)=x·e-eA.(-∞,e) C.(e,+∞) 答案 D

解析 由f(x)=x·e-e

xx+1

xx+1

的递增区间是( )

B.(1,e) D.(e-1,+∞)

得f′(x)=(x+1-e)·e, 令f′(x)>0,解得x>e-1,

所以函数f(x)的递增区间是(e-1,+∞).

3.已知函数f(x)=xlnx,则f(x)的单调递减区间是________.

x?1?答案 ?0,?

?e?

解析 因为函数f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞), 所以f′(x)=lnx+1(x>0),

1?1?当f′(x)<0时,解得0

4.(2018·开封调研)已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间是______________________. π??π??答案 ?-π,-?和?0,?

22

????

解析 f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx. 令f′(x)=xcosx>0,

π??π??则其在区间(-π,π)上的解集为?-π,-?∪?0,?,

2??2??π??π??即f(x)的单调递增区间为?-π,-?和?0,?.

2??2??思维升华确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f′(x).

(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

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