第一章 集合与函数概念

§1．1集合

1.1.1 集合的含义与表示（第一课时）

教学目标：1.理解集合的含义。

2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。

教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题

问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？

问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。

归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。 复习问题

问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式x?7?3的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。 （II）讲授新课

1．集合含义 观察下列实例 （1）1~20以内的所有质数； （2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星； （3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； （4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形； （6）到直线l的距离等于定长d的所有的点； （7）方程x?3x?2?0的所有实数根； （8）银川九中2004年8月入学的高一学生全体。 通过以上实例，指出：

（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。

（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？

2. 集合元素的三个特征

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2

问题： （1）A={1，3}，问3、5哪个是A的元素？ （2）A={所有素质好的人}，能否表示为集合？B={身材较高的人}呢？ （3）A={2，2，4}，表示是否准确？ （4）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，是否表示为同一集合？ 由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性：

设A是一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）

“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合

元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于?”及“不属于?两种) 若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a?A； 若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 如A={2，4，8，16}，则4?A，8?A，32?A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。

说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)=0的解集表示为?1,-2

2

?,而不是?1,1,-2

?

（3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。 3.常见数集的专用符号

N：非负整数集（自然数集） N*或N+：正整数集，N内排除0的集 Z：整数集 Q：有理数集 R：全体实数的集合 （III）课堂练习

1.课本P2、3中的思考题 2.补充练习： （1） 考察下列对象是否能形成一个集合？ ① 身材高大的人 ②所有的一元二次方程 ③ 直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体 ⑤ 比2大的几个数 ⑥2的近似值的全体 ⑦ 所有的小正数 ⑧所有的数学难题 （2） 给出下面四个关系:3?R,0.7?Q,0?{0},0?N,其中正确的个数是:( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （3） 下面有四个命题: ①若-a?Ν,则a?Ν ②若a?Ν,b?Ν,则a+b的最小值是2 2③集合N中最小元素是1 ④ x+4=4x的解集可表示为{2,2} 其中正确命题的个数是( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

（IV）课时小结

1.集合的含义；

2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。

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3.常见数集的专用符号. （V）课后作业 一、

书面作业

1. 教材P11，习题1.1 A组第1题 2. 由实数-a, a, a,a, -5a为元素组成的集合中,最多有几个元素? 分别为25什么? 3. 求集合{2a,a+a}中元素应满足的条件? 4. 若21?t?{t},求t的值. 1?t

1.1.1 集合的含义与表示（第二课时）

教学目标：

1.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）

2.通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用

教学重点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法） 教学难点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）的理解 教学方法：尝试指导法和讨论法 教学过程： （I）复习回顾

问题1：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明. 问题2：集合与元素关系是什么？如何表示？ 问题3：常用的数集有哪些？如何表示？ （II）引入问题

问题4：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数 4.8,-3,2,-0.5,

1,+73,3.1 3

4.8,1,+73,3.1, 3 方法1:

2 方法2: {4.8,2,

1,+73,3.1} 3问题5：在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示为:x<3） (III) 讲授新课

一、集合的表示方法

问题4中，方法1为图示法，方法2为列举法.

1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法. 说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开； (2)一般不必考虑元素之间的顺序； (3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； 3 第 页

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；

例1．用列举法表示下列集合： (1)小于5的正奇数组成的集合； (2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)从51到100的所有整数的集合； (4)小于10的所有自然数组成的集合； (5)方程x?x的所有实数根组成的集合； (6)由1~20以内的所有质数组成的集合。 问题6：能否用列举法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。

2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写

在大括号里的方法)。

表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则x?A；若x?A,则x具有性质p。

说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示； (2)应防止集合表示中的一些错误。 如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示R。 例2．用描述法表示下列集合：

(1) 由适合x-x-2>0的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; (3) 抛物线y=x上的点; (4) 抛物线y=x上点的横坐标; (5) 抛物线y=x上点的纵坐标; 22222例3．试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程x?2?0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

二、集合的分类

例4．观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x?R∣0

?有限集:含有有限个元素的集合?集合的分类?无限集:含有无限个元素的集合

?空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)?三、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下： 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：

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