非常数。这使得传统的时间序列分析对实际问题并不有效。
但是ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的 实证研究中应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在 风险价值（VALUE AT RISK）理论中，在华尔街是人尽皆知的工具。
所谓ARCH模型，按照英文直译是自回归条件异方差模型。粗略地说，该模 型将当前一切可利用信息作为条件，并采用某种自回归形式来刻划方差的变异， 对于一个时间序列而言，在不同时刻可利用的信息不同，而相应的条件方差也不 同，利用ARCH 模型，可以刻划出随时间而变异的条件方差。
ARCH(m)模型： （条件方差) （条件平均值)
2 2 2 2 2 1 1 0 2 m t m t t t t t t x y ?6?1 ?6?1 ?6?1 + + + + = + = ε γ ε γ ε γ γ ζ ε β 其中， 2 ε 是残差平方和（波动率)
i γ 是ARCH模型的系数 GARCH(m,k)模型：
2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 0 2 k t k t t m t m t t t t t t x y ?6?1 ?6?1 ?6?1 ?6?1 ?6?1 ?6?1 + + + + + + + + = + = ζ δ ζ δ ζ δ ε γ ε γ ε γ γ ζ ε β 其中， i γ 是ARCH模型的系数； i δ 是GARCH系数 3.1 ARCH模型应用 例子：
. use http://www.stata-press.com/data/r11/wpi1,clear . regress D.ln_wpi Source | SS df MS Number of obs = 123 -------------+------------------------------ F( 0, 122)
= 0.00 Model | 0 0 . Prob > F = . Residual | .02521709 122 .000206697 R-squared = 0.0000 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0000 Total | .02521709 122 .000206697 Root MSE = .01438 ------------------------------------------------------------------------------ D.ln_wpi | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------- _cons | .0108215 .0012963 8.35 0.000 .0082553 .0133878 ------------------------------------------------------------------------------ 10 . estat archlm,lags(1)
LM test for autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) --------------------------------------------------------------------------- lags(p)
| chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 | 8.366 1 0.0038 --------------------------------------------------------------------------- H0：
no ARCH effects vs. H1： ARCH(p)
disturbance 通过对WPI的对数差分进行常数回归，接着用LM检验来判断ARCH(1)效应, 在该例子中，检验的结果 PROB > CHI2＝0.0038<0.05，所以拒绝没有 ARCH(1)
效应的虚无假设。因此，我们可以通过指定ARCH(1)模型来估计ARCH(1)的系数。
. arch D.ln_wpi,arch(1) garch(1)
ARCH family regression Sample：
1960q2 - 1990q4 Number of obs = 123 Distribution： Gaussian Wald chi2(.)
= . Log likelihood = 373.234 Prob > chi2 = . ------------------------------------------------------------------------------ | OPG D.ln_wpi | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------- ln_wpi | _cons | .0061167 .0010616 5.76 0.000 .0040361 .0081974 -------------+---------------------------------------------------------------- ARCH | arch | L1. | .4364123 .2437428 1.79 0.073 -.0413147 .9141394 | garch | L1. | .4544606 .1866605 2.43 0.015 .0886126 .8203085 | _cons | .0000269 .0000122 2.20 0.028 2.97e-06 .0000508 ------------------------------------------------------------------------------ 这样，我们就可以估计出了 ARCH(1)的系数是 0.436,GARCH(1)的系数是 0.454,所以我们可以拟合出GARCH(1,1)模型：
2 1 2 1 2 454 . 0 436 . 0 0061 . 0 ?6?1 ?6?1 + = + = t t t t t y ζ ε ζ ε )
ln( )
ln( 1 ?6?1 ?6?1 = t t t wpi wpi y 其中， 接下来我们可以对变量的进行预测：
predict xb,xb /*对差分变量的预测*/ 11 predict y,y /*对未差分变量的预测*/ predict variance,var /*对条件方差的预测 */ predict res,residuals /*对差分变量残差的预测*/ predict yres,yresiduals /*对未差分变量残差的预测*/ 3.2 ARCH模型的确定以及检验 例子：
use http://www.stata-press.com/data/r11/wpi1,clear *- 检验 ARCH 效应是否存在：archlm 命令 regress D.ln_wpi archlm, lag(1/20)
regress D.ln_wpi L(1/3).D.ln_wpi archlm, lag(1/20) * 图形法——自相关函数图 (ac)
reg D.ln_wpi predict e, res gen e2 = e^2 ac e2, lag(40)
gen dlnwpi=D.ln_wpi gen dlnwpi2 = dlnwpi^2 ac dlnwpi2, lag(40) * 精简模型：ARCH(1) * 保守模型：ARCH(4)
*- 预测值 arch D.ln_wpi, arch(1/4)
predict ht, variance /*条件方差*/ * ht = c + a_1*e2_t-1 + a_2*e2_t-2 + ... + a_5*e2_t-5 line ht t predict et, residual /*均值方程的残差*/ *- 模型的评估 * 基本思想：
* 若模型设定是合适的，那么标准化残差 * z_t = e_t/sqrt(h_t) * 应为一个 i.i.d 的随机序列，即不存在序列相关和ARCH效应； gen zt =
et / sqrt(ht)
/*标准化残差*/ gen zt2 = zt^2 /*标准化残差的平方*/ 12 * 序列相关检验 pac zt corrgram zt /*Ljung-Box 统计量*/ pac zt2 corrgram zt2 * 正态分布检验 histogram zt, normal wntestb zt wntestb zt2 * 评论：均值方程的设定可能需要改进，因为 zt 仍然表现出明显的序列相关。
* 条件方差方程的设定基本满足要求，zt2 不存在明显的序列相关。
3.3 ARIMA过程的ARCH模型 我们可以对条件方差模型保持 ARCH(1,1)模型而均值模型采用 ARMA过程的自回 归一阶和移动平均一阶农以及移动平均四阶来控制季节影响：
. use http://www.stata-press.com/data/r11/wpi1,clear . arch D.ln_wpi,ar(1)
ma(1 4) arch(1) garch(1)
ARCH family regression -- ARMA disturbances Sample： 1960q2 - 1990q4 Number of obs = 123 Distribution： Gaussian Wald chi2(3)
= 153.56 Log likelihood = 399.5144 Prob > chi2 = 0.0000 ------------------------------------------------------------------------------ | OPG D.ln_wpi | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------- ln_wpi | _cons | .0069541 .0039517 1.76 0.078 -.000791 .0146992 -------------+---------------------------------------------------------------- ARMA | ar | L1. | .7922673 .1072225 7.39 0.000 .582115 1.002419 | ma | L1. | -.3417738 .1499944 -2.28 0.023 -.6357574 -.0477902 L4. | .2451725 .1251131 1.96 0.050 -.0000446 .4903896 -------------+---------------------------------------------------------------- ARCH | 13 arch | L1. | .2040451 .1244992 1.64 0.101 -.039969 .4480591 | garch | L1. | .694968 .189218 3.67 0.000 .3241075 1.065829 | _cons | .0000119 .0000104 1.14 0.253 -8.52e-06 .0000324 ------------------------------------------------------------------------------ 为使上述的模型估计变得清楚明了，我们可以将模型表示为：
虽然arch系数0.204是不显著，但是ARCH(1)和GARCH(1)系数整体是显著的。
我们可以通过下面来进行检验：
. test [ARCH]L1.arch [ARCH]L1.garch ( 1) [ARCH]L.arch = 0 ( 2)
[ARCH]L.garch = 0 chi2( 2)
= 84.92 Prob > chi2 = 0.0000 3.4 非对称效应的EGARCH模型 还是以美国的WPI数据为例，我们可能认为整个经济对于整体物价的异常上涨产 生的波动要比异常的下降大。可能异常的上涨导致影响存货的现金流问题从而导 致更大的波动。数据中存在这种不对称效应，就需要对原先的 ARCH模型加以修 正，EGARCH模型就是修正的结果。
. use http://www.stata-press.com/data/r11/wpi1,clear . arch D.ln_wpi,ar(1)
ma(1 4) earch(1) egarch(1)
ARCH family regression -- ARMA disturbances Sample： 1960q2 - 1990q4 Number of obs = 123 Distribution： Gaussian Wald chi2(3)
= 156.04 Log likelihood = 405.3145 Prob > chi2 = 0.0000 ------------------------------------------------------------------------------ | OPG D.ln_wpi | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------- ln_wpi | 14 _cons | .0087355 .0034008 2.57 0.010 .0020702 .0154009 -------------+---------------------------------------------------------------- ARMA | ar | L1. | .76923 .0968298 7.94 0.000 .579447 .959013 | ma | L1. | -.3554615 .1265657 -2.81 0.005 -.6035258 -.1073972 L4. | .2414685 .0863807 2.80 0.005 .0721655 .4107715 -------------+---------------------------------------------------------------- ARCH | earch | L1. | .4064263 .1163501 3.49 0.000 .1783842 .6344684 | earch_a | L1. | .2467514 .1233374 2.00 0.045 .0050145 .4884883