平均流速

即流体在圆管内层流流动时，其平均流速为管中心最大流速的一半。以R＝d/2代入上式经整理得

显然，流体在圆形直管内层流时，摩擦系数λ仅是雷诺数Re的函数，经实验证明与实际完全符合。

3.湍流时的速度分布与摩擦系数

(1)湍流时的速度分布

由于湍流流动的复杂性，目前尚不能像层流那样完全从理论分折来推导其速度公式，大都是综合了实验数据所得出的经验公式或半经验公。常见的是尼库拉则(J.Nikuradse)在光滑管中进行了大量的实验基础上提出的比较简单的计算湍流时速度分布的近似指数方程，即

式中n与雷诺数Re有关，其值随Re的增加在6-10之间变化。当Re=105左右，n=7，则有：

称为普兰持(Prandtl)1/7次方速度分布方程。

上两式表明了流体在圆管内湍流流动时的速度分布规律。但在管路计算中，更为有用的则是平均流速u。根据湍流时速度分布的指数方程，进行与层流时相同的推导，则可得到湍流时的平均流速u与最大流速umax的关系。湍流流动时通过截面积dA的流体体积流量dV为:

积分得

平均流速

由以上分析可知，u/umax随n值的增大而增加，由于随Re的增大n值在6-10之间变化，因此u/umax在0.791~0.865之间。通常，流体在圆管内达到完全湍流流动(Re＝1×105左右)时，其平均流速约为最大流速的0.82倍。 前已述及，湍流流动中存在层流底层，层流底层的厚度δ尽管很薄，通常只有几分之一mm，但它对湍流流动的阻力损失和流体与壁面间的传热等物理现象有着重要的影响，且这种影响与管子的相对粗糙程度有关。

将管道壁面的凸出部分的平均高度称为管壁绝对粗糙度，以ε表示；而将绝对粗糙度与管径

的比值ε/d称为管壁的相对粗糙度。按照管道的材质种类和加工方法，大致可将管道分为光滑管与粗糙管。通常把玻璃管、钢管、塑料管等列为光滑管；将钢管、铸铁管等列为粗糙管。 因此，在阻力损失的计算中，不但要考虑雷诺数的大小，还要考虑管壁相对粗糙度的大小。

(2)湍流时的摩擦系数—因次分析法的应用

从前面讨论可知，湍流时的摩擦系数不但与雷诺数有关，而且还与管壁的相对粗糙度有关。但由于湍流流动情况比层流流动复杂得多，因此湍流时的摩擦系数还不能像层流那样完全用理论分析法推导其计算公式。工程上大量这些类似的复杂问题，虽然可以通过实验知道影响过程的主要因素，但由于影响因素比较多，只靠实验建立诸因素之间的关系式，实验工作量必然很大，而且要把实验结果关联成一个形式比较简单实用的公式住往也比较困难。工程技术上解决这类问题的途径，首先在通过实验分析确定影响过程主要因素(变量或参数)的基础上，用因次分析法、相似论等方法将诸影响因素间的关系转换为少数几个独立的无因次数群间的函数关系，然后再通过实验建立无因次数群之间的具体关系式。 因次分析法的基础是因次一致性的原则和π定理。因次一致性原则表明任何一个物理方程式两边或方程式中的每一项均具有相同的因次，此即为因次一致性或因次和谐性。从这一基本点出发，任何物理方程式都可以转化为无因次形式。π定理系指任何一个物理方程式必可转化为以无因次数群的函数关系式代替原物理方程式，而无因次数群(πi)的个数等于原物理方程式中的变量(参数)数减去所用到的基本因次数m，即 i=n-m

通过实验分析可知，影响流体在圆形直管内湍流流动的阻力损失hf的主要因素有流体的密度ρ、粘度μ、管道的直径d、长度l、和管壁粗糙度ε；流体的流速u。则待求的关联式可以写成一般的不定函数形式，即 hf=f(ρ,μ, d ,l,ε,u)

将上式的因数式写成指数方程式，即

上式中有7个待定数，即系数K和指数a,b,c,x,y,z；变量数n=7,即hf,d,l,u,ρ,μ和ε，其因次分别为[L2T-2]、[L]、 [L] 、 [LT-1] 、[ML-3] [ML-1T-1] 、[L]；基本因次数m=3，即L、M、T。式(1-85)的因次形式是

[L2T-2]= [L]a [L]b[LT-1]c[ML-3]x[ML-1T-1]y[L]z 或[L2][T-2]= [L]a+b+c-3x-y+z[M]x+y[T]-c-y

根据因次一致性原理，欲使等式中各项因次相等，必须满足 对[L] a+b+c-3x-y+z-2=0 对[M] x+y=0 对[L] -c-y+2=0

该方程组中，有6个未知数(指数)，但只有3个方程式，显然不能联立解出每个未知数，只能联立解出3个未知数。为此，将其中3个指数用另外3个来表示，如将a、c、x通过b 、y、z来表示，可联立解出a、c、x，即 a=-y c=2-y a=-b-y-z

将a、c、x值代人式(1—85)，则得

将上式中指数相同的变量合并，则得

=

显而易见，通过因次分析法将表示湍流时阻力损失的一般函数式(1—84)转变成了一个符合π定理的无因次数群函数式(1—87)。关于各无因次数群之间关系的具体形式，因次分析法并不能解决，要通过实验确定。将式(1—87)与式(1—84)比较可见，经过因次分析法处理之后，自变量由6个减少为3个，这样进行实验时无需一个个地改变式(1—84)中的6个自变量，而只要逐个地改变式(1—87)中的3个自变量即可。显然，实验的次数大大地减少。避免了大量的实验工作。尤其重要的是，若按式(1—84)进行实验时，为改变ρ或μ，就必须更换多种流体；为改变d，就必须更换实验管道，这样进行实验非常麻烦。若按式(1—87)进行实验时，要改变duρ/μ大小，只要通过改变流体流量来改变流体流速即可；若改变l/d，只要改变两测压点问的距离l即可。这样，还可以将通过水、空气等的实验结果推广应用到其它流体，将小型实验装置的实验结果应用于大型装置。 由以上讨论可见，因次分析法仅从变量的因次着手，纯粹从形式上对待求函数进行转化处理，不需要对物理过程的机理的深入理解，因次分析法也无助于对物理过程机理的深化认识，只是使实验工作量大大减少。因此，因次分析法是规划一个简单可行的实验步骤的一种有效手段，应用非常广泛。

因次分析法的可靠性取决于所确定的主要影响因素(物理量)是否齐全和淮确以及实验测量的准确性。如果遗漏了对所研究的物理过程有重要影响的物理量，则得到的无因次数群无法通过实验建立起确定的关系；如果引进了不必要的物理量，则可能得到没有意义的无因次数群，与其它无因次数群无联系。另外，最终所得到的无因次数群的形式，与联立方程组时所保留的指数有关，若不是以b，y，z表示a、c、x，而是采用其它方案，就会得到与前不同的无因次数群。因此，为了确定与研究对象有关的物理量和希望所得到的各个无因次数群尽可能有明确的物理意义，需要对所研究的物理过程作比较详细的分析考察。 在以上的例子中所得到的无因次数群，具有明确的意义，其中

─表示压力与惯性力之比,称为欧拉(Euler)准数

─表示惯性力与粘滞力之比，称为雷诺(Reynold)准数；

l/d和ε/d均为特定几何形状中各有关尺寸的无因次比值，其中ε/d为对摩擦系数有重要影响的管壁相对粗糙度。

实验结果证明，当d、u、ρ、μ及ε一定时，阻力损失与管长成正比，即故式(1—86)中的指数b＝1，则有

或

。