答:广场中间小路的宽为1米.
23.如图,在等边△ABC中,AB=6,AD是高.
(1)尺规作图:作△ABC的外接圆⊙O(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)所作的图中,求线段AD,BD与
所围成的封闭图形的面积.
【分析】(1)作BH⊥AC交AD于O,以O为圆心,OB为半径作⊙O即可. (1)线段AD,BD与
所围成的封闭图形的面积=S扇形OAB+S△BOD.
【解答】解:(1)如图,⊙O即为所求.
(2)∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,BH⊥AC,
∴BD=CD=3,∠OBD=∠ABC=30°,∠AOB=2∠C=120°, ∴OD=BD?tan30°=∴线段AD,BD与
,OB=2OD=2
,
+
所围成的封闭图形的面积=S扇形OAB+S△BOD=.
×3×=2π+
24.已知抛物线y=x2+(1﹣2a)x﹣2a(a是常数). (1)证明:该抛物线与x轴总有交点;
(2)设该抛物线与x轴的一个交点为A(m,0),若2<m≤5,求a的取值范围; (3)在(2)的条件下,若a为整数,将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,其
余部分保持不变,得到一个新图象G,请你结合新图象,探究直线y=kx+1(k为常数)与新图象G公共点个数的情况.
【分析】(1)令抛物线的y值等于0,证所得方程的△>0即可; (2)将点A坐标代入可求m的值,即可求a的取值范围; (3)分k>0和k<0两种情况讨论,结合图象可求解. 【解答】解:(1)设y=0,则0=x2+(1﹣2a)x﹣2a, ∵△=(1﹣2a)2﹣4×1×(﹣2a)=(1+2a)2≥0, ∴x2+(1﹣2a)x﹣2a=0有实数根, ∴该抛物线与x轴总有交点;
(2)∵抛物线与x轴的一个交点为A(m,0), ∴0=m2+(1﹣2a)m﹣2a, ∴m=﹣1,m=2a, ∵2<m≤5, ∴2<2a≤5, ∴1<a≤;
(3)∵1<a≤,且a为整数, ∴a=2,
∴抛物线解析式为:y=x2﹣3x﹣4, 如图,当k>0时,
若y=kx+1过点(﹣1,0)时,直线y=kx+1(k为常数)与新图象G公共点有3个, 即k=1,
当0<k<1时,直线y=kx+1(k为常数)与新图象G公共点有4个, 当k>1时,直线y=kx+1(k为常数)与新图象G公共点有2个, 如图,当k<0时,
若y=kx+1过点(4,0)时,直线y=kx+1(k为常数)与新图象G公共点有3个, 即k=﹣,
当﹣<k<0时,直线y=kx+1(k为常数)与新图象G公共点有4个, 当k<﹣时,直线y=kx+1(k为常数)与新图象G公共点有2个,
25.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点(点C不与A,B重合),连接CA,CB.∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D. (1)求∠ACD的度数;
(2)探究CA,CB,CD三者之间的等量关系,并证明;
(3)E为⊙O外一点,满足ED=BD,AB=5,AE=3,若点P为AE中点,求PO的长.
【分析】(1)由圆周角的定义可求∠ACB=90°,再由角平分线的定义得到∠ACD=45°; (2)连接CO延长与圆O交于点G,连接DG、BG,延长DG、CB交于点F;先证明△BGF是等腰直角三角形,得到BG=BF,AG=BF,再证明△CDF是等腰三角三角形,得到CF=
CD,即可求得BC+AC=
CD;
(3)过点A作AM⊥ED,过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N,连接BE;先证明Rt
△AMD≌Rt△DNB(AAS),再证明△AED是等腰三角形,分别求得EN=BN=
,在Rt△EBN中,BE=
,OP=BN=
.
+,
【解答】解:(1)∵AB是直径,点C在圆上, ∴∠ACB=90°,
∵∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D, ∴∠ACD=45°; (2)BC+AC=
CD,
连接CO延长与圆O交于点G,连接DG、BG,延长DG、CB交于点F; ∴∠CDG=∠CBG=90°, ∵∠ACB=90°, ∴AC∥BG, ∴∠CGB=∠ACG, ∴∠CGB=45°+∠DCG, ∵∠CBF=90°+∠DCG, ∴∠BGF=45°,
∴△BGF是等腰直角三角形, ∴BG=BF,
∵△ACO≌△BGO(SAS), ∴AG=BF,
∵△CDF是等腰三角三角形, ∴CF=
CD,
CD;
∴BC+AC=
(3)过点A作AM⊥ED,过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N,连接BE; ∵∠ACD=∠ABD=45°,∠ADB=90°, ∴AD=BD, ∵AB=5, ∴BD=AD=
,
∵∠MAD=∠BDN,
∴Rt△AMD≌Rt△DNB(AAS),
∴AM=DN,MD=BN, ∵ED=BD,
∴△AED是等腰三角形, ∵AE=3, ∴AM=∴EN=
+,DM=
,
, ,
,BN=
在Rt△EBN中,BE=
∵P是AE的中点,O是AB的中点, ∴OP=BN, ∴OP=
.