①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ①③

解析 如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所以正确；④MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.

29

15.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．

答案

3 6

解析 取DE的中点H，连接HF，GH.

30

1

由题设，HF∥AD且HF＝AD，

2

∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)． 在△GHF中，可求HF＝22，

GF＝GH＝26，

HF2＋GF2－GH2

∴cos∠GFH＝ 2×HF×GF?22?＋?26?－?26?3＝＝.

62×22×26

16.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，

2

2

2

F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.

(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?

(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦

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值．

解 (1)方法一 如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.

因为EC⊥AC，OM，EC?平面ACC1A1， 所以OM∥EC.

又因为EC＝2FB＝2，EC∥FB， 所以OM∥FB且OM＝1

2EC＝FB，

所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF. 因为OF?平面AEF，BM?平面AEF， 故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．

方法二 如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.

因为EC＝2FB＝2，

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