解析 还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合． 易知GH与EF异面，BD与MN异面．

连接GM，∵△GMH为等边三角形， ∴GH与MN成60°角，

易证DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE. 因此正确命题的序号是②③④.

11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线

EF与BD是异面直线．

25

(2)解 取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，

所以相交直线EF与EG所成的角， 即为异面直线EF与BD所成的角． 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG. 在Rt△EGF中，由EG＝FG 1

＝AC，求得∠FEG＝45°， 2

即异面直线EF与BD所成的角为45°.

π

12.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC2＝23，PA＝2.求：

(1)三棱锥P－ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

26

111

解 (1)S△ABC＝×2×23＝23，三棱锥P－ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×23×2＝

23343

. 3

(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，

所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，

AD2＋DE2－AE222＋22－23

cos∠ADE＝＝＝. 2×AD×DE2×2×24

3

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 4

13．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )

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A.

32312B.2C.3D.3

答案 A

解析 如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，

∵α∥平面CB1D1，则m1∥m， 又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 平面CB1D1∩平面A1B1C1D1 ＝B1D1，∴B1D1∥m1， ∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.

故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又∵B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)， ∴∠CDBπ11＝3，

得sin∠CD1B1＝

3

2

，故选A. 14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

28