①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) 答案 ③④

解析 因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.

题型三 求两条异面直线所成的角

例3(2019·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )

13

1A. 53C. 5答案 D

解析 连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由

2

A1B2＋BC241－A1C1

AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos∠A1BC1＝＝，即异面2×A1B×BC15

2

B. 54D. 5

4

直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 5

引申探究

9

将上例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，10

14

试求

AA1

的值． ABAA1

＝t(t>0)，则AA1＝tAB. AB解 设

∵AB＝1，∴AA1＝t.

∵A1C1＝2，A1B＝t＋1＝BC1，

2

A1B2＋BC21－A1C1

∴cos∠A1BC1＝

2×A1B×BC1

2

t2＋1＋t2＋1－29＝＝. 22

2×t＋1×t＋110

∴t＝3，即

AA1

＝3. AB思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角．

跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( ) A.

2357B.C.D. 2222

答案 C

解析 如图，因为AB∥CD，

所以AE与CD所成角为∠EAB. 在Rt△ABE中，设AB＝2，

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则BE＝5， 则tan∠EAB＝＝BEAB5， 2

5. 2

所以异面直线AE与CD所成角的正切值为

立体几何中的线面位置关系

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．

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例如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝AD，BE∥FA且BE＝FA，G，H22分别为FA，FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

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