又A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E,C,D1,F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF 则由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点. 思维升华共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②证两平面重合. (2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 跟踪训练1如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2. 9 (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.证明 (1)∵E,F分别为AB,AD的中点, ∴EF∥BD. ∵在△BCD中,BGDH1 GC=HC=2 , ∴GH∥BD,∴EF∥GH. ∴E,F,G,H四点共面. (2)∵EG∩FH=P,P∈EG,EG?平面ABC, ∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC∩平面ADC=AC, ∴P∈AC,∴P,A,C三点共线. 10 题型二 判断空间两直线的位置关系 例2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 答案 D 解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.故选D. (2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是( ) A.相交但不垂直 11 B.相交且垂直 C.异面 D.平行 答案 D 解析 连接D1E并延长,与AD交于点M,由A1E=2ED,可得M为AD的中点, 连接BF并延长,交AD于点N,因为CF=2FA,可得N为AD的中点,所以M,N重合,所以 ME1MF1MEMFEF和BD1共面,且=,=,所以=,所以EF∥BD1. ED12BF2ED1BF 思维升华空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线可采用直接法或反证法;平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决. 跟踪训练2(1)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交;若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A. (2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论: 12