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作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交（1）求证：DC=DP；

于点F，交过点C的切线于点D．

（2）若直径AB=12cm，∠CAB=30°， ①当E是半径OA中点时，切线长DC= 4 cm：

②当AE= 3 cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．

【解答】解：（1）连接OC． ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵PE⊥AB， ∴∠PEA=90°，

∴∠OAC+∠APE=90°，∠OCA+∠PCD=90°， ∴∠APE=∠PCD， ∵∠APE=∠CPD， ∴∠PCD=∠CPD， ∴DC=DP．

（2）①连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90° ∵∠A=30°，AB=12， ∵AC=AB?cos30°=6

，

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在Rt△APE中，∵AE=OA=3， ∴AP=AE÷cos30°=2∴PC=AC﹣AP=4

，

，

∵∠APE=∠DPC=60°，DP=DC， ∴△DPC是等边三角形， ∴DC=4

，

．

故答案为4

②当AE=EO时，四边形AOCF是菱形． 理由：连接AF、OF． ∵AE=EO，FE⊥OA， ∴FA=FO=OA，

∴△AFO是等边三角形， ∴∠FAO=60°，∵∠CAB=30°， ∴∠FAC=30°，∠FOC=2∠FAC=60°， ∴△FOC是等边三角形， ∴CF=CO=OA=AF， ∴四边形AOCF是菱形，

∴AE=3cm时，四边形AECF是菱形． 故答案为3．

18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE． （1）求证：CE是⊙O的切线；

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（2）填空：①当CE= 2 时，四边形AOCE为正方形； ②当CE=

时，△CDE为等边三角形．

【解答】（1）证明：连接AC、OE，如图（1）， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°，

∴△ACD为直角三角形， 又∵E为AD的中点， ∴EA=EC，

在△OCE和△OAE中，

，

∴△OCE≌△OAE（SSS）， ∴∠OCE=∠OAE=90°， ∴CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：①C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形．理由如下： 当C为边BD的中点，而E为AD的中点， ∴CE为△BAD的中位线， ∴CE∥AB，CE=AB=OA， ∴四边形OAEC为平行四边形， ∵∠OAE=90°，

∴平行四边形OCEA是矩形， 又∵OA=OC，

∴矩形OCEA是正方形，

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∴CE=OA=2， 故答案为：2；

②连接AC，如图（2）， ∵△CDE为等边三角形，

∴∠D=60°，∠ABD=30°，CE=CD， 在Rt△ABC中，AC=AB=2， 在Rt△ACD中，∵tan∠D=∴CD=∴CE=

，

． =

=

，

，

故答案为：

19．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．

（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由； （2）填空：

①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是

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